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【摘 要】 创设和谐的解题氛围，激励学生自主学习、积极探索；培养良好的思维习惯，促进形成良好的思维策略；充分挖掘并展现数学美，激发学习兴趣；通过变式教学，训练发散思维；通过逆向思考的教学，提升逆向思维能力有利于培养学生的创造性思维能力.
【关键词】 解题教学 创造性思维 发散思维 逆向思维
提高学生的数学思维能力是当前素质教育的基本目标之一. 而创造性思维是数学思维的最高境界. 激发和培养学生的创造性思维是当前高等数学教育的重要任务. 创造性思维，又称超常规思维或突破性思维. 指突破原有的思维模式，重新组织积累的知识、经验、信息等要素，在大脑思维反应场中超序激活后，提出新的方案，创造出新的思维成果的思维方式，其实质是对原有思维方式的成功突破.只有经常进行思维训练，才能让人越来越聪明，思维的独创性就会越来越强. 数学解题不但是“锻炼思维的体操”，也是培养学生创造性思维的重要途径. 笔者认为高等数学解题教学中宜从以下方面培养大学生的创造性思维能力.
一、创设和谐的解题氛围，激励学生自主学习、积极探索
人在进行创造性活动时，不希望受到外人的干扰、限制；渴望能自由自在地进行思维，有自己的心理空间，即需要一个和谐的解题氛围. 所以在教学中，首先要创造性地设问，营造一种让学生通过观察、讨论，独立地去发现问题、解决问题的氛围；其次，教师要以平等的态度与学生积极开展双向交流，各抒己见，袒露彼此对解题的认识、观点、看法，让学生了解教师解题的思维过程，常用肯定、赞扬、鼓励的语言去激励学生；再次，要营造一个个性得以自由发展的宽松氛围，让优生发挥特长优势的同时，也能使后进生不因为有错误而受到冷落，从而消除后进生对学习的“恐惧”心理，力争使每一名学生都体验到解题成功的快乐和喜悦. 这样，学生在愉悦和自信中思维会更灵活敏捷，就会不断闪烁创造性思维的火花.
二、培养良好的思维习惯，促进学生形成良好的思维策略
心理学家曾经观察过许多通过大量思维训练而获得所谓简缩思维的例子. 简缩思维者对外来刺激有一种特别敏捷的反应，他们对一些问题简直用不着思考，就会提出解决的办法.这是因为他们形成了思维习惯和相应的策略. 数学的思想方法是数学知识的灵魂，掌握了数学思想方法，就能使人形成一种科学的思维方式. 数学解题能培养人的良好的思维习惯，增强反应能力. 每一道数学题、每一个数学概念都为学生提供了一个思维项目，学生经过长期的训练，就会形成良好的思维习惯. 因此，在数学解题教学中，不仅需要传授有用的数学知识，还应重视调动学生思维的积极性，培养学生良好的思维习惯，使学生的思维能力得到有效的提高，从而为创造性思维打下基础.
对问题的敏感和鉴别是思维过程的起点，没有质疑就没有高质量的思维，也就不可能创造. 一般对于搞不懂的问题，一旦问题明白了，就会有一种成就感、顿悟感、进步感. 悟性是在解决问题中形成的，并且质疑还能扫除理解上的障碍，提出新的设想. 所以在数学教学中必须重视培养学生提问题的习惯，为学生提供一个积极提问的氛围. 同时，在解题过程中，也只有一步一步质疑，问题才能得到解决. 有了疑问就会自觉去观察，去分析和探究，通过观察、分析，抓住问题的本质，进而得到更新的问题，这样，不仅防止了就题解题、浅尝辄止，而且使学生的分析问题、解决问题的能力得到提高，并培养了其上升为思维的习惯，优化了学生的思维品质，增强了学生的探索能力，从而为创造性思维的培养打下良好的基础.
三、充分挖掘并展现数学美，激发学生的学习兴趣 数学美比比皆是，
哪里有数，哪里就有美. 然而，人们常常只重视它的实用，而忽视它的“美”，从而导致抽象、单调、乏味成了数学的代名词. 如果教师在教学中能够充分挖掘解题之美，就不仅可以使学生加深对数学知识的理解，同时也使他们获得美的享受，从而激发学生的学习兴趣，诱发学生的求知欲. 只要学生满怀兴趣地去解题，就不会感到解题是一种沉重的负担，而是一种享受，于是就有一直保持学习新知识、钻研新课题的热情，主动构造自己的知识体系，寻觅奇异的数学美，从而驱动内心的创造性思维.
奇异性是指结论的新颖奇巧，出乎意料，往往会引起思想上的震动. 数学的独特令人陶醉神往. 教师在引导学生挖掘奇异美的同时，也培养了学生的创造性思维. 例如：利用函数的奇、偶性的对称美求定积分. 求dx的值. 可以利用 在（－ａ，ａ）上是奇函数，图像关于原点对称，它与x轴、 y轴及直线x = -a和x = a所围成图形的面积的代数和为零，所以 dx = 0. 如果理解这一性质，则很快可以得出 dx的值为零的结论. 又因为函数 在- ，- 上是偶函数，所以 dx =
2 dx.
同时，还可引导学生从中感受到数学的奇异美，感受到创造的喜悦和成功的乐趣，为创造性思维能力的养成提供良好的驱动力.
四、通过变式教学，训练学生的发散思维
发散思维是一种开拓性、创新性的思维，它是创造性思维的主要形式，加强发散思维的训练无疑对创造性思维的培养具有重要意义.发散思维就是通过想象，让思想自由驰骋，通过对信息的分析和组合，得出两个或多个可能的答案、设想或者方案.发散思维是一种开放性的思维. 思考者从不同方向、不同方面去思考，得到多个答案，其中有些性质相同的就是同种类的，也有的是别人没有考虑到的独创性的答案，而这正是我们所追求的创造性思维的结果.
1. 关于一题多解
在解题中要针对不同层次的学生，通过对比联想、采取一题多解的方法进行发散思维的训练.
同一道题目，三种不同的解法，得到三个不同形式的答案，到底哪种方法是对的呢？我们可以告诉学生，这三种解法都是对的，并引导他们在解题时应尽量选择自己喜欢的、熟悉的、简单的方法去做.
通过一题多解的教学，学生可看出其中蕴涵着丰富的数学思想及多种数学常用方法. 故在教学中，遇到典型的一题多解时，应不失时机地启发，引导学生寻求不同解法，让学生自己总结归纳最佳方法. 这样，通过一题多解训练了学生的发散思维，更有利于学生的创造性思维能力的培养.
2. 关于一题多变
如果说一题多解给学生的创造性思维提供了良好的横向发展机会，那么一题多变则为创造性思维提供了良好的纵向发展机会.
要引导学生仔细观察三个题目的特点，发现它们的共同点是所求极限的函数是相同的，不同点是它们的极限过程不同，而正由于极限的过程不同，这三个题目计算方法却截然不同. 第（１）题可以直接把x = 1代入函数式中求得极限；而第（２）、（３）两题却要用到重要极限 = 1及其变式 x sin== 1. 如果学生对这个重要极限及其变式理解不透彻，就会出现以下错误解法：
sin x+xsin=sin x + = 1 + 1 = 2.
sin x+xsin= + = 1 + 1 = 2.
错误的根源是忽视了重要极限的极限过程的变化. 正确解法为：
解 （１）sin x+xsin=sin1+1sin =2sin1.
虽然（２）与（３）题的答案相同，但它们的计算原理却是不同的.
通过对例题的多种证法及引伸变换，不但使多方面的知识在同一题中得以充分体现，拓宽了学生的视野，而且能使学生的思维始终处于一种应该再从另一个角度思考问题的状态，层层深入地由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一，由统一到转化，从而激发学生的发散思维，为创造性思维能力的培养提供良好的纵向发展机会.
五、通过逆向思考的教学，提升学生的逆向思维能力
逆向思考是改变了人们通常探索问题总是喜欢按照事物发展的顺序来思考的习惯，不是“顺向”，而是从相反的方向来认识事物，当然更容易引起新的思考，往往会产生出其不意的效果.
例如：在学习数列极限的性质定理“ xn = a的充要条件是：｛xn｝的任何子列｛xn ｝都收敛，且都以a为极限”时，对于它的用途，直接应用太麻烦了. 因为我们根本无法找全一个数列的“任何子列”. 但可以引导学生逆向思维，用该定理来判定数列｛xn ｝是否发散却极为方便. 即如果在数列｛xn ｝中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断定｛xn ｝是发散的.
又如：在求 时，可以逆向求出 = 0，由无穷小量与无穷大量的关系可得 = ∞.
逆向思维最重要的是要逆向去思考，正所谓“不怕做不到，只怕想不到”. 一旦想到后就会恍然大悟. 而这正是创造性思维能力所需要的重要思维环节，所以，教学中，要不断鼓励、培养学生“正难则逆”地去逆向思维，久而久之，学生的创造性思维能力也逐渐的得到广阔的发展和锻炼.
【参考文献】
［1］ 刘银萍，王宪昌. 高等数学创造性思维教学的策略优化［J］. 大学数学，2006（6）.
［2］ 郭思乐，喻伟. 数学思维教育论［M］.上海：上海教育出版社，2000（13）.
［3］ 叶立军，方均斌，林永伟. 现代数学教学论［M］. 杭州：浙江大学出版社，2006（254）.
［4］ 宋新民. 创造训练［M］.武汉：华中理工大学出版社，1999.P155.
［5］ 宋新民. 创造训练［M］.武汉：华中理工大学出版社，1999.P153.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】 解题教学 创造性思维 发散思维 逆向思维
提高学生的数学思维能力是当前素质教育的基本目标之一. 而创造性思维是数学思维的最高境界. 激发和培养学生的创造性思维是当前高等数学教育的重要任务. 创造性思维，又称超常规思维或突破性思维. 指突破原有的思维模式，重新组织积累的知识、经验、信息等要素，在大脑思维反应场中超序激活后，提出新的方案，创造出新的思维成果的思维方式，其实质是对原有思维方式的成功突破.只有经常进行思维训练，才能让人越来越聪明，思维的独创性就会越来越强. 数学解题不但是“锻炼思维的体操”，也是培养学生创造性思维的重要途径. 笔者认为高等数学解题教学中宜从以下方面培养大学生的创造性思维能力.
一、创设和谐的解题氛围，激励学生自主学习、积极探索
人在进行创造性活动时，不希望受到外人的干扰、限制；渴望能自由自在地进行思维，有自己的心理空间，即需要一个和谐的解题氛围. 所以在教学中，首先要创造性地设问，营造一种让学生通过观察、讨论，独立地去发现问题、解决问题的氛围；其次，教师要以平等的态度与学生积极开展双向交流，各抒己见，袒露彼此对解题的认识、观点、看法，让学生了解教师解题的思维过程，常用肯定、赞扬、鼓励的语言去激励学生；再次，要营造一个个性得以自由发展的宽松氛围，让优生发挥特长优势的同时，也能使后进生不因为有错误而受到冷落，从而消除后进生对学习的“恐惧”心理，力争使每一名学生都体验到解题成功的快乐和喜悦. 这样，学生在愉悦和自信中思维会更灵活敏捷，就会不断闪烁创造性思维的火花.
二、培养良好的思维习惯，促进学生形成良好的思维策略
心理学家曾经观察过许多通过大量思维训练而获得所谓简缩思维的例子. 简缩思维者对外来刺激有一种特别敏捷的反应，他们对一些问题简直用不着思考，就会提出解决的办法.这是因为他们形成了思维习惯和相应的策略. 数学的思想方法是数学知识的灵魂，掌握了数学思想方法，就能使人形成一种科学的思维方式. 数学解题能培养人的良好的思维习惯，增强反应能力. 每一道数学题、每一个数学概念都为学生提供了一个思维项目，学生经过长期的训练，就会形成良好的思维习惯. 因此，在数学解题教学中，不仅需要传授有用的数学知识，还应重视调动学生思维的积极性，培养学生良好的思维习惯，使学生的思维能力得到有效的提高，从而为创造性思维打下基础.
对问题的敏感和鉴别是思维过程的起点，没有质疑就没有高质量的思维，也就不可能创造. 一般对于搞不懂的问题，一旦问题明白了，就会有一种成就感、顿悟感、进步感. 悟性是在解决问题中形成的，并且质疑还能扫除理解上的障碍，提出新的设想. 所以在数学教学中必须重视培养学生提问题的习惯，为学生提供一个积极提问的氛围. 同时，在解题过程中，也只有一步一步质疑，问题才能得到解决. 有了疑问就会自觉去观察，去分析和探究，通过观察、分析，抓住问题的本质，进而得到更新的问题，这样，不仅防止了就题解题、浅尝辄止，而且使学生的分析问题、解决问题的能力得到提高，并培养了其上升为思维的习惯，优化了学生的思维品质，增强了学生的探索能力，从而为创造性思维的培养打下良好的基础.
三、充分挖掘并展现数学美，激发学生的学习兴趣 数学美比比皆是，
哪里有数，哪里就有美. 然而，人们常常只重视它的实用，而忽视它的“美”，从而导致抽象、单调、乏味成了数学的代名词. 如果教师在教学中能够充分挖掘解题之美，就不仅可以使学生加深对数学知识的理解，同时也使他们获得美的享受，从而激发学生的学习兴趣，诱发学生的求知欲. 只要学生满怀兴趣地去解题，就不会感到解题是一种沉重的负担，而是一种享受，于是就有一直保持学习新知识、钻研新课题的热情，主动构造自己的知识体系，寻觅奇异的数学美，从而驱动内心的创造性思维.
奇异性是指结论的新颖奇巧，出乎意料，往往会引起思想上的震动. 数学的独特令人陶醉神往. 教师在引导学生挖掘奇异美的同时，也培养了学生的创造性思维. 例如：利用函数的奇、偶性的对称美求定积分. 求dx的值. 可以利用 在（－ａ，ａ）上是奇函数，图像关于原点对称，它与x轴、 y轴及直线x = -a和x = a所围成图形的面积的代数和为零，所以 dx = 0. 如果理解这一性质，则很快可以得出 dx的值为零的结论. 又因为函数 在- ，- 上是偶函数，所以 dx =
2 dx.
同时，还可引导学生从中感受到数学的奇异美，感受到创造的喜悦和成功的乐趣，为创造性思维能力的养成提供良好的驱动力.
四、通过变式教学，训练学生的发散思维
发散思维是一种开拓性、创新性的思维，它是创造性思维的主要形式，加强发散思维的训练无疑对创造性思维的培养具有重要意义.发散思维就是通过想象，让思想自由驰骋，通过对信息的分析和组合，得出两个或多个可能的答案、设想或者方案.发散思维是一种开放性的思维. 思考者从不同方向、不同方面去思考，得到多个答案，其中有些性质相同的就是同种类的，也有的是别人没有考虑到的独创性的答案，而这正是我们所追求的创造性思维的结果.
1. 关于一题多解
在解题中要针对不同层次的学生，通过对比联想、采取一题多解的方法进行发散思维的训练.
同一道题目，三种不同的解法，得到三个不同形式的答案，到底哪种方法是对的呢？我们可以告诉学生，这三种解法都是对的，并引导他们在解题时应尽量选择自己喜欢的、熟悉的、简单的方法去做.
通过一题多解的教学，学生可看出其中蕴涵着丰富的数学思想及多种数学常用方法. 故在教学中，遇到典型的一题多解时，应不失时机地启发，引导学生寻求不同解法，让学生自己总结归纳最佳方法. 这样，通过一题多解训练了学生的发散思维，更有利于学生的创造性思维能力的培养.
2. 关于一题多变
如果说一题多解给学生的创造性思维提供了良好的横向发展机会，那么一题多变则为创造性思维提供了良好的纵向发展机会.
要引导学生仔细观察三个题目的特点，发现它们的共同点是所求极限的函数是相同的，不同点是它们的极限过程不同，而正由于极限的过程不同，这三个题目计算方法却截然不同. 第（１）题可以直接把x = 1代入函数式中求得极限；而第（２）、（３）两题却要用到重要极限 = 1及其变式 x sin== 1. 如果学生对这个重要极限及其变式理解不透彻，就会出现以下错误解法：
sin x+xsin=sin x + = 1 + 1 = 2.
sin x+xsin= + = 1 + 1 = 2.
错误的根源是忽视了重要极限的极限过程的变化. 正确解法为：
解 （１）sin x+xsin=sin1+1sin =2sin1.
虽然（２）与（３）题的答案相同，但它们的计算原理却是不同的.
通过对例题的多种证法及引伸变换，不但使多方面的知识在同一题中得以充分体现，拓宽了学生的视野，而且能使学生的思维始终处于一种应该再从另一个角度思考问题的状态，层层深入地由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一，由统一到转化，从而激发学生的发散思维，为创造性思维能力的培养提供良好的纵向发展机会.
五、通过逆向思考的教学，提升学生的逆向思维能力
逆向思考是改变了人们通常探索问题总是喜欢按照事物发展的顺序来思考的习惯，不是“顺向”，而是从相反的方向来认识事物，当然更容易引起新的思考，往往会产生出其不意的效果.
例如：在学习数列极限的性质定理“ xn = a的充要条件是：｛xn｝的任何子列｛xn ｝都收敛，且都以a为极限”时，对于它的用途，直接应用太麻烦了. 因为我们根本无法找全一个数列的“任何子列”. 但可以引导学生逆向思维，用该定理来判定数列｛xn ｝是否发散却极为方便. 即如果在数列｛xn ｝中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断定｛xn ｝是发散的.
又如：在求 时，可以逆向求出 = 0，由无穷小量与无穷大量的关系可得 = ∞.
逆向思维最重要的是要逆向去思考，正所谓“不怕做不到，只怕想不到”. 一旦想到后就会恍然大悟. 而这正是创造性思维能力所需要的重要思维环节，所以，教学中，要不断鼓励、培养学生“正难则逆”地去逆向思维，久而久之，学生的创造性思维能力也逐渐的得到广阔的发展和锻炼.
【参考文献】
［1］ 刘银萍，王宪昌. 高等数学创造性思维教学的策略优化［J］. 大学数学，2006（6）.
［2］ 郭思乐，喻伟. 数学思维教育论［M］.上海：上海教育出版社，2000（13）.
［3］ 叶立军，方均斌，林永伟. 现代数学教学论［M］. 杭州：浙江大学出版社，2006（254）.
［4］ 宋新民. 创造训练［M］.武汉：华中理工大学出版社，1999.P155.
［5］ 宋新民. 创造训练［M］.武汉：华中理工大学出版社，1999.P153.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”