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摘 要： 近年来，关于函数的高考压轴题越来越难，而且含有参数，很多人发现，高考题给出来的标准答案都看不懂，连答案都看不懂的题目，怎么会做呢？不过高考给出的标准答案基本没有采用分离参数的方法，参数讨论的分类标准自然不好把握，但是很多题目是可以分离参数的，只是分离后新的函数并不太好处理，有的需要用到零点定理，有的需要多次求导，有的需要用罗必塔法则，等等.作者认为只要题目能分离参數，就可以解出，只是道路可能比较坎坷，就这些问题作者做了研究，与大家分享.
关键词： 分离参数 参数范围 高考压轴题
例1.已知a＞0，函数f（x）=x-2ax-2alnx，方程f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解，求a的值.
解：分离参数求解：2a=（x＞0）有唯一解，下面只需画出g（x）=（x＞0）的草图即可.
错解：g′（x）=（x＞0），x∈（0，1）时g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）单调递减，x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，则g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（x）=g（1）=1，∴2a=1∴a=.
仔细分析，发现g（x）=0，但是g（1）=1，那么g（x）在（0，1）内怎么可能单调递减呢？
正解：g（x）=（x＞0）的分母h（x）=x+lnx（x＞0）在（0，1）内有零点（这可以通过零点定理验证，也可以通过作出两个函数y=lnx及y=-x的图像发现）.设这个零点为x，x∈（0，x）时g′（x）＜0，则g（x）在（0，x）单调递减；x∈（x，1）时g′（x）＜0，则g（x）在（x，1）单调递减.又g（x）=-∞，g（x）=+∞，即x=x为函数g（x）=（x＞0）的渐近线，x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，因此，可以作出g（x）=（x＞0）的草图，又g（1）=1，∴2a=1，a=.
例2.（2011新课标全国卷最后一题）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.（1）求a，b的值；（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．
分析：对于第（1）问，易得a=b=1，而对于第（2）问，分离参数后所得函数需要多次求导，最终使用罗必塔法则解决.
解：（2）∵x＞0∴分离参数得k＜+1对?坌x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
令g（x）=+1（x＞0且x≠1），∴g′（x）=（x＞0且x≠1）.
令h（x）=xlnx+lnx-x+1（x＞0且x≠1），∴h′（x）=（x＞0且x≠1）.
令q（x）=2xlnx-x+1（x＞0且x≠1），∴q′（x）=4xlnx（x＞0且x≠1）.
∵x∈（0，1）时，q′（x）＜0，∴q（x）在（0，1）单调递减；x∈（1，+∞）时，q′（x）＞0，∴q（x）在（1，+∞）单调递增，∴q（x）＞q（1）=0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）与（1，+∞）均单调递增，∴x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（x）而g（x）=+1=+1=-1+1=0（这由罗必塔法则得到），∴g（x）值域为（0，+∞），∴k≤0.
附：罗必塔法则：当x→a（或x→∞）时，如果两个函数f（x）与F（x）都趋于零或趋于无穷大，那么，它们的比的极限可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为或．如果极限为“”型或“”型未定式的极限，并且存在或为∞，则=.
例3.已知函数f（x）=，?坌x∈［0，+∞），f（x）≤ax，求实数a的取值范围.
解：分离参数求解：x=0时，显然成立.
?坌x∈（0，+∞）时，a≥恒成立，令g（x）=（x＞0），
下面求g（x）的上界，g′（x）=（x＞0），
令h（x）=2xcosx+x-2sinx-sinxcosx（x＞0），
h′（x）=2sinx（sinx-x）（x＞0），易证x＞0时，sinx＜x，∴sinx-x＜0
∴sinx＞0即x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈N）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
sinx＜0即x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈N）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
又h（2kπ）=6kπ＞0，h（2kπ+π）=-2kπ-π＜0，∴h（x）在每个区间（2kπ，2kπ+π）（k∈N）内必有零点，这些零点从小到大记为x，x，x，…，且它们都是极大值点，所以g（x）的上界要么在x=0处取，要么在极大值点x（i=1，2，3，…）处取.
而g（x）===，
令g′（x）=0，∴2xcosx+x-2sinx-sinxcosx=0，∴sinx=代入g（x）===，i=1，2，3，…
易求y=（2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N）值域为（-1，），所以g（x）＜.
对于分离参数求解，既有利又有弊，利在于思路清晰，弊在于有些问题分离过参数后很复杂，但是很多问题如果不分离参数，则连答案都看不懂，还不如分离参数试试，希望本文对几个问题的研究，能对读者以后遇到类似问题有所帮助.
关键词： 分离参数 参数范围 高考压轴题
例1.已知a＞0，函数f（x）=x-2ax-2alnx，方程f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解，求a的值.
解：分离参数求解：2a=（x＞0）有唯一解，下面只需画出g（x）=（x＞0）的草图即可.
错解：g′（x）=（x＞0），x∈（0，1）时g′（x）＜0，则g（x）在（0，1）单调递减，x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，则g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（x）=g（1）=1，∴2a=1∴a=.
仔细分析，发现g（x）=0，但是g（1）=1，那么g（x）在（0，1）内怎么可能单调递减呢？
正解：g（x）=（x＞0）的分母h（x）=x+lnx（x＞0）在（0，1）内有零点（这可以通过零点定理验证，也可以通过作出两个函数y=lnx及y=-x的图像发现）.设这个零点为x，x∈（0，x）时g′（x）＜0，则g（x）在（0，x）单调递减；x∈（x，1）时g′（x）＜0，则g（x）在（x，1）单调递减.又g（x）=-∞，g（x）=+∞，即x=x为函数g（x）=（x＞0）的渐近线，x∈（1，+∞）时g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，因此，可以作出g（x）=（x＞0）的草图，又g（1）=1，∴2a=1，a=.
例2.（2011新课标全国卷最后一题）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0.（1）求a，b的值；（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．
分析：对于第（1）问，易得a=b=1，而对于第（2）问，分离参数后所得函数需要多次求导，最终使用罗必塔法则解决.
解：（2）∵x＞0∴分离参数得k＜+1对?坌x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
令g（x）=+1（x＞0且x≠1），∴g′（x）=（x＞0且x≠1）.
令h（x）=xlnx+lnx-x+1（x＞0且x≠1），∴h′（x）=（x＞0且x≠1）.
令q（x）=2xlnx-x+1（x＞0且x≠1），∴q′（x）=4xlnx（x＞0且x≠1）.
∵x∈（0，1）时，q′（x）＜0，∴q（x）在（0，1）单调递减；x∈（1，+∞）时，q′（x）＞0，∴q（x）在（1，+∞）单调递增，∴q（x）＞q（1）=0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）与（1，+∞）均单调递增，∴x∈（0，1）时，h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＞h（1）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）单调递增，∴g（x）＞g（x）而g（x）=+1=+1=-1+1=0（这由罗必塔法则得到），∴g（x）值域为（0，+∞），∴k≤0.
附：罗必塔法则：当x→a（或x→∞）时，如果两个函数f（x）与F（x）都趋于零或趋于无穷大，那么，它们的比的极限可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为或．如果极限为“”型或“”型未定式的极限，并且存在或为∞，则=.
例3.已知函数f（x）=，?坌x∈［0，+∞），f（x）≤ax，求实数a的取值范围.
解：分离参数求解：x=0时，显然成立.
?坌x∈（0，+∞）时，a≥恒成立，令g（x）=（x＞0），
下面求g（x）的上界，g′（x）=（x＞0），
令h（x）=2xcosx+x-2sinx-sinxcosx（x＞0），
h′（x）=2sinx（sinx-x）（x＞0），易证x＞0时，sinx＜x，∴sinx-x＜0
∴sinx＞0即x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈N）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
sinx＜0即x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈N）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
又h（2kπ）=6kπ＞0，h（2kπ+π）=-2kπ-π＜0，∴h（x）在每个区间（2kπ，2kπ+π）（k∈N）内必有零点，这些零点从小到大记为x，x，x，…，且它们都是极大值点，所以g（x）的上界要么在x=0处取，要么在极大值点x（i=1，2，3，…）处取.
而g（x）===，
令g′（x）=0，∴2xcosx+x-2sinx-sinxcosx=0，∴sinx=代入g（x）===，i=1，2，3，…
易求y=（2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N）值域为（-1，），所以g（x）＜.
对于分离参数求解，既有利又有弊，利在于思路清晰，弊在于有些问题分离过参数后很复杂，但是很多问题如果不分离参数，则连答案都看不懂，还不如分离参数试试，希望本文对几个问题的研究，能对读者以后遇到类似问题有所帮助.