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摘要：基于向量式有限元基本原理，首先推导了4节点膜单元的基本公式，详细阐述了通过逆向运动获得单元节点纯变形位移的过程，以及进一步通过变形坐标系获得单元节点内力的求解方法；同时对4节点膜单元的位置模式和内力计算的数值积分等问题提出了合理可行的处理方法。在此基础上编制了4节点膜单元的计算分析程序，通过算例分析验证了理论公式和所编制程序的正确性和有效性，进而将本文方法应用于气枕充气和布料悬垂等膜结构大变形大转动问题的计算分析。
关键词：膜结构；向量式有限元；4节点膜单元；变形；位置模式
中图分类号：TU383
文献标志码：A
文章编号：1674-4764（2013）04-0060-08
膜结构是一种被广泛使用的柔性结构，仅有很小的抗压或抗弯刚度，面外荷载作用下容易产生大变形大转动甚至发生皱折，具有较强的几何非线性效应。传统的非线性有限元法基于拉格朗日应变方程和Newton-Raphson迭代技术，采用忽略抗弯刚度的薄膜单元进行膜结构分析。文献[1]进行了张拉膜结构的找形和荷载分析，文献[2]对正交异性的预应力膜结构进行了荷载及褶皱分析，文献[3]比较了平面三角形膜单元和曲面三角形等参元在膜结构找形分析中的优劣，文献[4]对具有自适应网格的布料运动进行了数值模拟。有限元法计算精度较高，但在大变形大转动下容易由于刚体位移导致刚度矩阵奇异而迭代不收敛。在建筑膜结构领域，力密度法[5]和动力松弛法[6]也是重要的分析方法。力密度法将膜离散为等代的索网结构，引入力密度并转化为线性方程组问题来获得近似求解结果。文献[7]将力密度法由索杆单元扩展至三角形面单元。该法计算简单，但得到的找形初始位形会存在较大误差。动力松弛法通过加入阻尼对节点采用动力学过程来获得最终静力平衡状态，主要应用于索网结构的找形分析，文献[8]采用平面三角形膜单元进行了膜结构的找形分析。在布料运动仿真模拟领域，为满足实时性要求，通常采用简化的质点-弹簧模型[9-10]进行布料运动数值模拟。文献[11]引入对弹簧的约束机制来克服由于弹簧强度过大造成的布料抖动和强度过小造成的超弹性现象。该法计算简单快速，但在力学建模和数值计算的精确度上较差。文献[12]则采用有限体积法对织物布料的运动进行了分析模拟。
向量式有限元[13-15]是一种基于点值描述和向量力学理论的新型分析方法。该方法以质点的运动来描述体系行为，其计算流程是逐点逐步循环，不存在单元刚度矩阵和矩阵奇异问题，且无需求解复杂的非线性联立方程组，即也不存在迭代不收敛问题。通过引入逆向运动和变形坐标系，可消除刚体位移所带来的数值误差。因此向量式有限元非常适合于大变位大转动的结构和机构运动问题的分析。已有学者在向量式有限元膜单元开发方面做了一些工作[16-17]。
本文首先推导4节点膜单元的向量式有限元基本公式，描述运动解析的原理及变形坐标系下单元节点内力的求解方法，同时对4节点膜单元的位置模式和内力计算的数值积分等问题提出合理可行的处理方法；编制计算分析程序，并通过算例分析验证理论公式和程序的正确性和有效性。
1基本公式推导
向量式有限元的基本原理是将结构离散为有质量的质点和质点间无质量的单元，通过质点的动力运动过程来获得结构的位移和应力情况，质点间的运动约束通过单元连接来实现（本文为平面4节点4边形等参单元）。质点a的运动满足质点平动微分方程（α=0时即为牛顿第二定律）：
图12给出了布料在重力作用下几个典型时刻（t=0.10、 0.20、0.25、0.30、0.35、0.40 s）的悬垂变形图。由图12可知，布料在重力作用下四角首先开始出现对称性悬垂下摆，并出现4条明显的折痕线；接着布料四角下摆变形逐渐增大，各部分交界处相互靠近趋于明显；最后布料下摆变形继续增大直至角端处于最低点位置的变形状态为止。
由于本例并未考虑布料自身的接触行为，在t=0.30 s后布料各部分交界已出现非真实的相互穿透现象，需通过加入碰撞机制才能进行消除。尽管如此，本例仍体现了本文方法可有效模拟物体运动而进行结构大变形仿真运动分析。
4结论
1） 基于向量式有限元，推导了4节点膜单元的基本公式，详细阐述了通过逆向运动处理膜单元的平面内、外刚体位移从而获得单元节点纯变形位移的过程，以及进一步通过变形坐标系获得单元节点内力的求解方法；同时对4节点膜单元的位置模式和内力计算的数值积分等问题提出了合理可行的处理方法。
2） 编制了向量式有限元4节点膜单元的计算分析程序，并通过算例分析验证了理论推导和所编制程序的正确性和有效性。进而将本文方法应用于气枕充气和布料仿真运动模拟，跟踪获得其大变形大转动全过程。
3） 向量式有限元可有效克服传统有限元中由于刚体运动及大变形引起的刚度矩阵奇异和计算不收敛等问题，在膜结构的大变形大转动分析中具有一定的优势。
参考文献：
[1]Bletzinger K U， Ramm E. A general finite element approach to the form finding of tensile structures by the updated reference strategy [J]. International Joumal of Space Struetures， 1999， 14（2）： 131-145.
[2]Valdés J G， Miquel J， Onate E. Nonlinear finite element analysis of orthotropic and prestressed membrane structures [J]. Finite Elements in Analysis and Design， 2009， 45（6/7）： 395-405. [3]伞冰冰，武岳，沈世钊. 膜结构有限元分析中的平面单元与曲面单元的比较[J]. 工程力学，2008， 25（2）： 168-173.
[4]Li L， Volkov V. Cloth animation with adaptively refined meshes [C]//ACSC， 2005：107-114.
[5]Pauletti R M O， Pimenta P M. The natural force density method for the shape finding of taut structures [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2008， 197（49/50）： 4419-4428.
[6]Han S E， Lee K S. A study of the stabilizing process of unstable structures by dynamic relaxation method [J]. Computers & Structures， 2003， 81： 1677-1688.
[7]Maurin B， Motro R. Surface stress density method as a form-finding tool for tensile membranes [J]. Engineering Structures， 1998， 20（8）： 712-719.
[8]张华，单建. 张拉膜结构的动力松弛法研究[J]. 应用力学学报，2002， 19（1）： 84-86.
[9]刘凌霞，宋强. 基于简化的指点-弹簧模型织物变形仿真研究[J]. 计算机仿真，2011， 28（5）：406-409.
[10]Natsupakpong S， avuogˇlu M C. Determination of elasticity parameters in lumped element （mass-spring） models of deformable objects [J]. Graphical Models， 2010， 72（6）： 61-73.
[11]Bridson R， Fedkiw R， Anderson J. Robust treatment of collisions， contact and friction for cloth animation [J]. ACM Transactions on Graphics， 2002， 21（3）： 594-603.
[12]Teng J G， Chen S F， Hu J L. A finite-volume method for deformation analysis of woven fabrics [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1999， 46（12）： 2061-2098.
[13]Ting E C， Shih C， Wang Y K. Fundamentals of a vector form intrinsic finite element. Part I： Basic procedure and a plane frame element [J]. Journal of Mechanics， 2004， 20（2）： 113-122.
[14]Ting E C， Shih C， Wang Y K. Fundamentals of a vector form intrinsic finite element. Part II： Plane solid elements [J]. Journal of Mechanics， 2004， 20（2）： 123-132.
[15]Ting E C， Shih C， Wang Y K. Fundamentals of a vector form intrinsic finite element. Part III： Convected material frame and examples [J]. Journal of Mechanics， 2004， 20（2）： 133-143.
[16]Wu T Y， Wang C Y， Chuang C C， et al. Motion analysis of 3D membrane structures by a vector form intrinsic finite element [J]. Journal of the Chinese Institute of Engineers， 2007， 30（6）： 961-976.
[17]Wu T Y， Ting E C. Large deflection analysis of 3D membrane structures by a 4-node quadrilateral intrinsic element [J]. Thin-Walled Structures， 2008， 46： 261-275.
[18]江见鲸， 何放龙， 何益斌，等. 有限元法及其应用[M]. 北京： 机械工业出版社， 2006.
[19]王勖成. 有限单元法[M]. 北京： 清华大学出版社， 2008.
[20]Tsiatas G C， Katsikadelis J T. Large deflection analysis of elastic space membranes [J]. International Journal for Numerical Method in Engineering， 2006， 65（2）： 264-294.
[21]Noguchi H， Kawashima T， Miyamura T. Element free analysis of shell and spatial structures [J]. International Journal for Numerical Method in Engineering， 2000， 47（6）： 1215-1240.
（编辑郭飞）
关键词：膜结构；向量式有限元；4节点膜单元；变形；位置模式
中图分类号：TU383
文献标志码：A
文章编号：1674-4764（2013）04-0060-08
膜结构是一种被广泛使用的柔性结构，仅有很小的抗压或抗弯刚度，面外荷载作用下容易产生大变形大转动甚至发生皱折，具有较强的几何非线性效应。传统的非线性有限元法基于拉格朗日应变方程和Newton-Raphson迭代技术，采用忽略抗弯刚度的薄膜单元进行膜结构分析。文献[1]进行了张拉膜结构的找形和荷载分析，文献[2]对正交异性的预应力膜结构进行了荷载及褶皱分析，文献[3]比较了平面三角形膜单元和曲面三角形等参元在膜结构找形分析中的优劣，文献[4]对具有自适应网格的布料运动进行了数值模拟。有限元法计算精度较高，但在大变形大转动下容易由于刚体位移导致刚度矩阵奇异而迭代不收敛。在建筑膜结构领域，力密度法[5]和动力松弛法[6]也是重要的分析方法。力密度法将膜离散为等代的索网结构，引入力密度并转化为线性方程组问题来获得近似求解结果。文献[7]将力密度法由索杆单元扩展至三角形面单元。该法计算简单，但得到的找形初始位形会存在较大误差。动力松弛法通过加入阻尼对节点采用动力学过程来获得最终静力平衡状态，主要应用于索网结构的找形分析，文献[8]采用平面三角形膜单元进行了膜结构的找形分析。在布料运动仿真模拟领域，为满足实时性要求，通常采用简化的质点-弹簧模型[9-10]进行布料运动数值模拟。文献[11]引入对弹簧的约束机制来克服由于弹簧强度过大造成的布料抖动和强度过小造成的超弹性现象。该法计算简单快速，但在力学建模和数值计算的精确度上较差。文献[12]则采用有限体积法对织物布料的运动进行了分析模拟。
向量式有限元[13-15]是一种基于点值描述和向量力学理论的新型分析方法。该方法以质点的运动来描述体系行为，其计算流程是逐点逐步循环，不存在单元刚度矩阵和矩阵奇异问题，且无需求解复杂的非线性联立方程组，即也不存在迭代不收敛问题。通过引入逆向运动和变形坐标系，可消除刚体位移所带来的数值误差。因此向量式有限元非常适合于大变位大转动的结构和机构运动问题的分析。已有学者在向量式有限元膜单元开发方面做了一些工作[16-17]。
本文首先推导4节点膜单元的向量式有限元基本公式，描述运动解析的原理及变形坐标系下单元节点内力的求解方法，同时对4节点膜单元的位置模式和内力计算的数值积分等问题提出合理可行的处理方法；编制计算分析程序，并通过算例分析验证理论公式和程序的正确性和有效性。
1基本公式推导
向量式有限元的基本原理是将结构离散为有质量的质点和质点间无质量的单元，通过质点的动力运动过程来获得结构的位移和应力情况，质点间的运动约束通过单元连接来实现（本文为平面4节点4边形等参单元）。质点a的运动满足质点平动微分方程（α=0时即为牛顿第二定律）：
图12给出了布料在重力作用下几个典型时刻（t=0.10、 0.20、0.25、0.30、0.35、0.40 s）的悬垂变形图。由图12可知，布料在重力作用下四角首先开始出现对称性悬垂下摆，并出现4条明显的折痕线；接着布料四角下摆变形逐渐增大，各部分交界处相互靠近趋于明显；最后布料下摆变形继续增大直至角端处于最低点位置的变形状态为止。
由于本例并未考虑布料自身的接触行为，在t=0.30 s后布料各部分交界已出现非真实的相互穿透现象，需通过加入碰撞机制才能进行消除。尽管如此，本例仍体现了本文方法可有效模拟物体运动而进行结构大变形仿真运动分析。
4结论
1） 基于向量式有限元，推导了4节点膜单元的基本公式，详细阐述了通过逆向运动处理膜单元的平面内、外刚体位移从而获得单元节点纯变形位移的过程，以及进一步通过变形坐标系获得单元节点内力的求解方法；同时对4节点膜单元的位置模式和内力计算的数值积分等问题提出了合理可行的处理方法。
2） 编制了向量式有限元4节点膜单元的计算分析程序，并通过算例分析验证了理论推导和所编制程序的正确性和有效性。进而将本文方法应用于气枕充气和布料仿真运动模拟，跟踪获得其大变形大转动全过程。
3） 向量式有限元可有效克服传统有限元中由于刚体运动及大变形引起的刚度矩阵奇异和计算不收敛等问题，在膜结构的大变形大转动分析中具有一定的优势。
参考文献：
[1]Bletzinger K U， Ramm E. A general finite element approach to the form finding of tensile structures by the updated reference strategy [J]. International Joumal of Space Struetures， 1999， 14（2）： 131-145.
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[4]Li L， Volkov V. Cloth animation with adaptively refined meshes [C]//ACSC， 2005：107-114.
[5]Pauletti R M O， Pimenta P M. The natural force density method for the shape finding of taut structures [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2008， 197（49/50）： 4419-4428.
[6]Han S E， Lee K S. A study of the stabilizing process of unstable structures by dynamic relaxation method [J]. Computers & Structures， 2003， 81： 1677-1688.
[7]Maurin B， Motro R. Surface stress density method as a form-finding tool for tensile membranes [J]. Engineering Structures， 1998， 20（8）： 712-719.
[8]张华，单建. 张拉膜结构的动力松弛法研究[J]. 应用力学学报，2002， 19（1）： 84-86.
[9]刘凌霞，宋强. 基于简化的指点-弹簧模型织物变形仿真研究[J]. 计算机仿真，2011， 28（5）：406-409.
[10]Natsupakpong S， avuogˇlu M C. Determination of elasticity parameters in lumped element （mass-spring） models of deformable objects [J]. Graphical Models， 2010， 72（6）： 61-73.
[11]Bridson R， Fedkiw R， Anderson J. Robust treatment of collisions， contact and friction for cloth animation [J]. ACM Transactions on Graphics， 2002， 21（3）： 594-603.
[12]Teng J G， Chen S F， Hu J L. A finite-volume method for deformation analysis of woven fabrics [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 1999， 46（12）： 2061-2098.
[13]Ting E C， Shih C， Wang Y K. Fundamentals of a vector form intrinsic finite element. Part I： Basic procedure and a plane frame element [J]. Journal of Mechanics， 2004， 20（2）： 113-122.
[14]Ting E C， Shih C， Wang Y K. Fundamentals of a vector form intrinsic finite element. Part II： Plane solid elements [J]. Journal of Mechanics， 2004， 20（2）： 123-132.
[15]Ting E C， Shih C， Wang Y K. Fundamentals of a vector form intrinsic finite element. Part III： Convected material frame and examples [J]. Journal of Mechanics， 2004， 20（2）： 133-143.
[16]Wu T Y， Wang C Y， Chuang C C， et al. Motion analysis of 3D membrane structures by a vector form intrinsic finite element [J]. Journal of the Chinese Institute of Engineers， 2007， 30（6）： 961-976.
[17]Wu T Y， Ting E C. Large deflection analysis of 3D membrane structures by a 4-node quadrilateral intrinsic element [J]. Thin-Walled Structures， 2008， 46： 261-275.
[18]江见鲸， 何放龙， 何益斌，等. 有限元法及其应用[M]. 北京： 机械工业出版社， 2006.
[19]王勖成. 有限单元法[M]. 北京： 清华大学出版社， 2008.
[20]Tsiatas G C， Katsikadelis J T. Large deflection analysis of elastic space membranes [J]. International Journal for Numerical Method in Engineering， 2006， 65（2）： 264-294.
[21]Noguchi H， Kawashima T， Miyamura T. Element free analysis of shell and spatial structures [J]. International Journal for Numerical Method in Engineering， 2000， 47（6）： 1215-1240.
（编辑郭飞）