随着部分高等数学知识下放到中学数学，高考试卷中蕴涵凸函数性质的题目逐步出现，而教师在平时对该知识点的讲解时不到位，学生又不太重视，导致在高考数学中失分严重，因此让中学生了解一些凸函数性质，并能利用它解决一些简单问题是非常必要的。
　　1．定义
　　设 是定义在区间 上的连续函数如果对于 上任两点 及 有 其中 为正实数 则称 是区间 上的下凸函数，如果 则称 是区间 上的上凸函数。
　　2．性质
　　定理1：设 在区间 上连续，在 内有二阶导数，且 或（ ）则 是区间 上的下（或上）凸函数
　　定理2：设 是正实数， 是 上的下凸函数则对任意 有
　　当且仅当 时等号成立，若 是上凸函数，则不等号取反向。
　　定理3： 是 上的上（或下）凸函数，如果对 有 是定值，那么
　　L= 在 时，达到最大（小）值是 以上三个定理凸函数独特的性质，证明从略。
　　3．应用
　　（1）判断函数图像
　　例1（2002北京理，12）如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x1和x2，任意λ∈［0，1］，f［λx1+（1－λ）x2］≤λf（x1）+（1－λ）f（x2）恒成立”的只有（ ）
　　A.f1（x），f3（x） B.f2（x）
　　C.f2（x），f3（x） D.f4（x）
　　（答案：A）
　　（2） 求极值
　　例2 若 ，其中 是使 有意义的实数试确定 最大值。
　　解：考虑函数 所以 是 上的上凸函数，而 是一定植且 在 内则由定理3得 当 时 取最大值。所以，当 时 。