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摘 要：数学抽象素养是数学六大核心素养的最重要的素养，是指通过对数量关系与空间形式的抽象，体现了能从本质上认识事物特点，表达关系、规律，驾驭核心要素，这也是高端人才的首要素养。本文依据数学抽象活动的三个阶段的特点，以“实数”教学为例，从问题情境、图式结构、信息技术、类比弱抽象、实际建模五个方面，谈谈在数学课堂上如何培养学生的抽象素养。
关键词：数学抽象素养;数学课堂教学
未来的智能化高科技社会，需要高素养的人才，未来社会的公民既要掌握专业知识技能，还要有维持个人终身发展，和适应社会可持续发展的必备品格和关键能力。中学各个学科都在结合学科本质特点，各有侧重地培养学生的核心素养。
数学抽象是对图形、数量及其关系的抽象，从现实世界的事物中抽取出数学的规律、结构、概念、本質，并用数学语言对之予以表征，它是一种数学思维的过程，也是一种非常重要的数学核心素养。数学学科具有很强的抽象性和概括性，是最适合培养学生的抽象素养的，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学学科六大核心素养中，数学抽象素养居于首位。数学抽象素养是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，或者具备用符号代表事物，用法则揭示事物运动规律，这样描述出一副事物运动的清晰图景的能力。数学抽象素养体现了能从本质上认识事物特点，表达关系、规律，驾驭核心要素，这也是高端人才的首要素养。
数学抽象素养体现在：认识数学结构与体系，获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想。数学抽象活动可分为三个阶段：约简阶段、符号阶段和普适阶段。在约简阶段，从具体事物中抽象出数学对象的本质特征;在符号阶段，要会用符号、图示表达出数学对象的本质特征，及在数学知识系统中的位置;在普适阶段，在应用数学对象解决问题的过程中，深化对数学对象的内涵与外延的认识，进一步提高抽象能力。在数学课堂教学中，以数学知识的学习为载体，要分阶段、讲方法地落实数学抽象素养的培养。下面以人教版教材第六章第3节“实数”为例，来谈一谈落实数学抽象素养的策略。
一、在最近发展区创设数学问题情景，在比较中抽象出概念
数学抽象最基本的方面，是通过对概念的解析构建来获得对事物本质属性的认识。对一些问题从具体到一般地抽象，才能得到数学概念，有的概念是从实际事物现象抽象得来的，有的是对数学内部知识进一步抽象得到的，后者是数学发展的必要，在数学概念中占有更大的比重，是培养抽象素养的重要知识载体，对此类概念的学习过程，是培养抽象素养的重要契机。实数概念的学习，即是如此。
本章前两节，学生已学习了平方根、立方根的概念，接触到带根号的数，数的形式丰富了，立足于学生知识结构的最近发展区，本节课一开始，我就创设了一个数学问题情境：
请举例说说学过哪些类型的数。
学生很有热情地举出例子，如：1.37、2、-2、3、、10、π、-π、、、0.3、0、0.434334333…等。
学生举例比较全面，有小数、分数、整数，有正数、负数，有偶数、奇数，有质数、合数，还有带根号的数等。
我提出问题：
1.这些数中，哪些是有理数？
2.其他的不是有理数的几个数，与有理数有什么不同？
对第2个问题，有学生说，其他的不是有理数的几个数，不能化成整数或分数的形式。
我肯定这样的回答后，又问：
它们能化成小数形式吗？与有理数化成小数的形式后，有什么不同？
学生回答：有理数都能化成有限小数或无限循环小数的形式，而其他的不是有理数的几个数，化成小数形式是无限不循环小数。
此时，我顺势给出无理数的概念：无限不循环小数是无理数，并总结几种常见的无理数形式，然后给出实数的概念：有理数与无理数统称为实数。
本例在学生的最近发展区设计数学情境问题，激起学生回答问题的热情，并自然形成无理数与有理数在本质特征上的比较：1.无理数不能化成分数（整数此时看成分母是1的分数）;2.无理数在小数形式上是无限不循环小数。这两种回答只是用两种形式说明同一个本质特点。这个设计在学生最近发展区的问题情境，促使学生很自然地从具体的数的例子中，抽象出无理数的本质特点，形成概念。
二、用图示方法固着概念，构建认知结构
布尔巴基学派提出的结构主义思想，蜚声近代数学界，认为数学是研究结构的科学，数学的各种理论之间的关系是可以系统化的。数学每章节的知识相对独立，但各个知识间又存在着紧密的联系，根据结构主义思想，能够通过抽象出这些联系而建立、描述出知识体系，是学好数学的必经途径，也是在更高水平上发展抽象素养。
知道概念的来龙去脉，及概念的本质特点后，还要知道此新概念与其他数学对象之间的关系，新概念在知识网络中的位置，此时，用图示的方法画出导图，能够强化对概念本质的认识，固着概念，如图1：
建构主义学习理论认为学习是主动建构的过程，要求学生通过主动感知、消化和改造，将新知识合理地纳入到自己的认知结构中，来完善自己的数学认知体系。鉴于此理论，我请学生自己根据实数的有关概念，从实数分类的角度，画出结构图，学生画的图会有多种，请学生互相学习，交流补充，这个过程，是对概念的更高层次的抽象，将新知纳入已有的知识结构，丰富、重组自己的认知结构，这个心理上的“顺应”的过程，也是更高层次的抽象过程。
三、用信息技术手段辅助抽象概念的表征
数形结合，是挖掘概念内涵的重要手段，用信息技术手段，可以方便地画出丰富的、动态的图形，让数学结合变得容易、直观。像研究有理数一样，我们仍需要用数轴作为工具来研究实数，当在数轴上找出表示无理数的点时，如果只用传统纸笔方法画图，耗时比较长，这时就可以发挥几何画板等软件画图的优势了，请学生用PAD上的几何画板类的软件（如GeoGebraapp）作图，如图2，以数轴上的1个单位长度为边长，做出正方形OABC，画出对角线OB，再以点O为圆心，以OB为半径画弧，与数轴的两个交点D、E，表示的数就是-、。 在七年级上期有理数的学习中，学生已经知道有理数都可以用数轴上的点来表示，本节课，几何画板课件演示，帮助了学生直观想象出无理数也可以用数轴上的点来表示，数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，学生就能够抽象出实数与数轴上的点的一一对应的关系。
四、用类比的方法进行“弱抽象”，探索概念的外延
弱抽象也可以叫做概念“扩张式抽象”，即从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。从有理数，抽象到实数，就是弱抽象的过程，在逻辑化推理的前提下，抽象前的原型对象的一些特征，可以类比迁移到弱抽象后得到的对象上。
由实数与数轴上的点的一一对应关系可知，有理数的大小比较法则、相反数、绝对值的概念，有理数的运算性质、运算律，都适用于实数，学生对实数的这些特征，就可以直接类比有理数去应用了，降低了抽象的难度。如：化简||，由“一个负实数的绝对值是它的相反数”，我们可以得到：||=﹣（）=。
五、解决实际问题，在建模中提升抽象素养
数学建模，是用数学语言表达现实问题、用数学科学方法构建模型解决现实问题，数学与现实是构建数学模型的两个出发点，数学模型的构建往往需要多个知识模块，学生需要把实际生活的要素，恰当地抽象成数学的知识，理清各個要素间的关系，在整个认知系统中找准相应的数学模型去解决问题。建模的过程，促进对数学概念的内涵、外延进行更深刻的认识，及对数学知识间逻辑关系的再认识，是培养数学抽象素养的最高层次，也是最行之有效的方法。在本节课的最后，我们解决了这样一个实际问题：
天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：km）的平方等于眼睛离海平面的高度（单位：m）的16.88倍，如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.5米时，能看到多远（精确到0.01km）？如果登上一个观望台，当眼睛离海平面的高度是35m时，能看到多远（精确到0.01km）？
学生理清实际问题中的量，设一个人能看到大海的最远距离为skm，眼睛离海平面的高度为hm，根据各量的关系，建立起数学方程模型：s2=16.88h，借助科学计算器进行开方运算，可得到实际问题的答案：当眼睛离海平面的高度是1.5米时，能看到大约5.03km远;当眼睛离海平面的高度是35m时，能看到大约24.31km远.眼睛离海平面的高度只增加了三十多米，而能看到大海的最远距离却增加了二十多千米，学生明白了“登高望远”的数学含义，在解决这个有趣的实际问题的过程中，学生能够将新知与旧知恰当的无缝衔接，巩固并优化了认知结构，还体会到知识的价值和自我的价值的增长。
数学抽象素养是学习数学所必不可少的，也是立足于未来社会生活所不可或缺的，而它的培养不是一撮而就的，需要教师改变教育理念，改进教学模式，捕捉课堂上的每一次培养抽象素养的契机，精心设计教学，激发兴趣，发挥学生主观能动性，以适应学生心理特点和数学学科特点的教学方法，培养学生的数学眼光、数学思维、数学应用能力，提升学生的数学抽象素养。
参考文献
[1]郑松.基于数学抽象素养的初中数学教学改进策略[J].教育观察，2020，9（44）：25-27.DOI：10.16070/j.cnki.cn45-1388/g4s.2020.44.009
[2]董伟，朱立明，靳小玲.高中生数学抽象素养生成路径探析[J].唐山师范学院学报，2020，42（06）：144-147.
[3]刘之兵，王新民，杨正义.数学抽象的心理过程及其教学启示[J].内江师范学院学报，2020，35（10）：23-29.DOI：10.13603/j.cnki.51-1621/z.2020.10.005
[4]杨秀丽.发展数学抽象能力提升学科核心素养[J].福建教育学院学报，2020，21（08）：47-49.
[5]盛奖利.高一学生数学抽象素养现状的调查研究[D].曲阜师范大学，2020.
关键词：数学抽象素养;数学课堂教学
未来的智能化高科技社会，需要高素养的人才，未来社会的公民既要掌握专业知识技能，还要有维持个人终身发展，和适应社会可持续发展的必备品格和关键能力。中学各个学科都在结合学科本质特点，各有侧重地培养学生的核心素养。
数学抽象是对图形、数量及其关系的抽象，从现实世界的事物中抽取出数学的规律、结构、概念、本質，并用数学语言对之予以表征，它是一种数学思维的过程，也是一种非常重要的数学核心素养。数学学科具有很强的抽象性和概括性，是最适合培养学生的抽象素养的，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的数学学科六大核心素养中，数学抽象素养居于首位。数学抽象素养是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养，或者具备用符号代表事物，用法则揭示事物运动规律，这样描述出一副事物运动的清晰图景的能力。数学抽象素养体现了能从本质上认识事物特点，表达关系、规律，驾驭核心要素，这也是高端人才的首要素养。
数学抽象素养体现在：认识数学结构与体系，获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想。数学抽象活动可分为三个阶段：约简阶段、符号阶段和普适阶段。在约简阶段，从具体事物中抽象出数学对象的本质特征;在符号阶段，要会用符号、图示表达出数学对象的本质特征，及在数学知识系统中的位置;在普适阶段，在应用数学对象解决问题的过程中，深化对数学对象的内涵与外延的认识，进一步提高抽象能力。在数学课堂教学中，以数学知识的学习为载体，要分阶段、讲方法地落实数学抽象素养的培养。下面以人教版教材第六章第3节“实数”为例，来谈一谈落实数学抽象素养的策略。
一、在最近发展区创设数学问题情景，在比较中抽象出概念
数学抽象最基本的方面，是通过对概念的解析构建来获得对事物本质属性的认识。对一些问题从具体到一般地抽象，才能得到数学概念，有的概念是从实际事物现象抽象得来的，有的是对数学内部知识进一步抽象得到的，后者是数学发展的必要，在数学概念中占有更大的比重，是培养抽象素养的重要知识载体，对此类概念的学习过程，是培养抽象素养的重要契机。实数概念的学习，即是如此。
本章前两节，学生已学习了平方根、立方根的概念，接触到带根号的数，数的形式丰富了，立足于学生知识结构的最近发展区，本节课一开始，我就创设了一个数学问题情境：
请举例说说学过哪些类型的数。
学生很有热情地举出例子，如：1.37、2、-2、3、、10、π、-π、、、0.3、0、0.434334333…等。
学生举例比较全面，有小数、分数、整数，有正数、负数，有偶数、奇数，有质数、合数，还有带根号的数等。
我提出问题：
1.这些数中，哪些是有理数？
2.其他的不是有理数的几个数，与有理数有什么不同？
对第2个问题，有学生说，其他的不是有理数的几个数，不能化成整数或分数的形式。
我肯定这样的回答后，又问：
它们能化成小数形式吗？与有理数化成小数的形式后，有什么不同？
学生回答：有理数都能化成有限小数或无限循环小数的形式，而其他的不是有理数的几个数，化成小数形式是无限不循环小数。
此时，我顺势给出无理数的概念：无限不循环小数是无理数，并总结几种常见的无理数形式，然后给出实数的概念：有理数与无理数统称为实数。
本例在学生的最近发展区设计数学情境问题，激起学生回答问题的热情，并自然形成无理数与有理数在本质特征上的比较：1.无理数不能化成分数（整数此时看成分母是1的分数）;2.无理数在小数形式上是无限不循环小数。这两种回答只是用两种形式说明同一个本质特点。这个设计在学生最近发展区的问题情境，促使学生很自然地从具体的数的例子中，抽象出无理数的本质特点，形成概念。
二、用图示方法固着概念，构建认知结构
布尔巴基学派提出的结构主义思想，蜚声近代数学界，认为数学是研究结构的科学，数学的各种理论之间的关系是可以系统化的。数学每章节的知识相对独立，但各个知识间又存在着紧密的联系，根据结构主义思想，能够通过抽象出这些联系而建立、描述出知识体系，是学好数学的必经途径，也是在更高水平上发展抽象素养。
知道概念的来龙去脉，及概念的本质特点后，还要知道此新概念与其他数学对象之间的关系，新概念在知识网络中的位置，此时，用图示的方法画出导图，能够强化对概念本质的认识，固着概念，如图1：
建构主义学习理论认为学习是主动建构的过程，要求学生通过主动感知、消化和改造，将新知识合理地纳入到自己的认知结构中，来完善自己的数学认知体系。鉴于此理论，我请学生自己根据实数的有关概念，从实数分类的角度，画出结构图，学生画的图会有多种，请学生互相学习，交流补充，这个过程，是对概念的更高层次的抽象，将新知纳入已有的知识结构，丰富、重组自己的认知结构，这个心理上的“顺应”的过程，也是更高层次的抽象过程。
三、用信息技术手段辅助抽象概念的表征
数形结合，是挖掘概念内涵的重要手段，用信息技术手段，可以方便地画出丰富的、动态的图形，让数学结合变得容易、直观。像研究有理数一样，我们仍需要用数轴作为工具来研究实数，当在数轴上找出表示无理数的点时，如果只用传统纸笔方法画图，耗时比较长，这时就可以发挥几何画板等软件画图的优势了，请学生用PAD上的几何画板类的软件（如GeoGebraapp）作图，如图2，以数轴上的1个单位长度为边长，做出正方形OABC，画出对角线OB，再以点O为圆心，以OB为半径画弧，与数轴的两个交点D、E，表示的数就是-、。 在七年级上期有理数的学习中，学生已经知道有理数都可以用数轴上的点来表示，本节课，几何画板课件演示，帮助了学生直观想象出无理数也可以用数轴上的点来表示，数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，学生就能够抽象出实数与数轴上的点的一一对应的关系。
四、用类比的方法进行“弱抽象”，探索概念的外延
弱抽象也可以叫做概念“扩张式抽象”，即从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。从有理数，抽象到实数，就是弱抽象的过程，在逻辑化推理的前提下，抽象前的原型对象的一些特征，可以类比迁移到弱抽象后得到的对象上。
由实数与数轴上的点的一一对应关系可知，有理数的大小比较法则、相反数、绝对值的概念，有理数的运算性质、运算律，都适用于实数，学生对实数的这些特征，就可以直接类比有理数去应用了，降低了抽象的难度。如：化简||，由“一个负实数的绝对值是它的相反数”，我们可以得到：||=﹣（）=。
五、解决实际问题，在建模中提升抽象素养
数学建模，是用数学语言表达现实问题、用数学科学方法构建模型解决现实问题，数学与现实是构建数学模型的两个出发点，数学模型的构建往往需要多个知识模块，学生需要把实际生活的要素，恰当地抽象成数学的知识，理清各個要素间的关系，在整个认知系统中找准相应的数学模型去解决问题。建模的过程，促进对数学概念的内涵、外延进行更深刻的认识，及对数学知识间逻辑关系的再认识，是培养数学抽象素养的最高层次，也是最行之有效的方法。在本节课的最后，我们解决了这样一个实际问题：
天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：km）的平方等于眼睛离海平面的高度（单位：m）的16.88倍，如果一个人站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.5米时，能看到多远（精确到0.01km）？如果登上一个观望台，当眼睛离海平面的高度是35m时，能看到多远（精确到0.01km）？
学生理清实际问题中的量，设一个人能看到大海的最远距离为skm，眼睛离海平面的高度为hm，根据各量的关系，建立起数学方程模型：s2=16.88h，借助科学计算器进行开方运算，可得到实际问题的答案：当眼睛离海平面的高度是1.5米时，能看到大约5.03km远;当眼睛离海平面的高度是35m时，能看到大约24.31km远.眼睛离海平面的高度只增加了三十多米，而能看到大海的最远距离却增加了二十多千米，学生明白了“登高望远”的数学含义，在解决这个有趣的实际问题的过程中，学生能够将新知与旧知恰当的无缝衔接，巩固并优化了认知结构，还体会到知识的价值和自我的价值的增长。
数学抽象素养是学习数学所必不可少的，也是立足于未来社会生活所不可或缺的，而它的培养不是一撮而就的，需要教师改变教育理念，改进教学模式，捕捉课堂上的每一次培养抽象素养的契机，精心设计教学，激发兴趣，发挥学生主观能动性，以适应学生心理特点和数学学科特点的教学方法，培养学生的数学眼光、数学思维、数学应用能力，提升学生的数学抽象素养。
参考文献
[1]郑松.基于数学抽象素养的初中数学教学改进策略[J].教育观察，2020，9（44）：25-27.DOI：10.16070/j.cnki.cn45-1388/g4s.2020.44.009
[2]董伟，朱立明，靳小玲.高中生数学抽象素养生成路径探析[J].唐山师范学院学报，2020，42（06）：144-147.
[3]刘之兵，王新民，杨正义.数学抽象的心理过程及其教学启示[J].内江师范学院学报，2020，35（10）：23-29.DOI：10.13603/j.cnki.51-1621/z.2020.10.005
[4]杨秀丽.发展数学抽象能力提升学科核心素养[J].福建教育学院学报，2020，21（08）：47-49.
[5]盛奖利.高一学生数学抽象素养现状的调查研究[D].曲阜师范大学，2020.