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新一轮高中课程改革从2007年开始在我省全面实施，至今已近十年。作为一名高中数学教师，伴随着新课程磕磕碰碰地走了过来，如今我的课堂的确变了模样——
人人学有用的数学
不可否认，课程标准的理念是全新的，科学的，它尽可能揭示教育的本质功能。作为教师在教学中，当遇到一些新情况、新问题，对教材把握不准时，只能去认真研读课标，以课程标准为依据，而不能因某个新增内容高考可能不考，就随便应付一下。也不能说某内容在以前教材中是一个重点，就像过去一样在这里“广种粮，深挖洞”。具体说吧：课程标准对立体几何这部分的教学要求是：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。现行教材中的立体几何部分，先让学生从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，通过观察、实验和说理，让学生归纳出平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，从而使学生学会使用数学语言，表述几何对象的位置关系，并解决一些简单的推理论证及应用问题。对立体几何部分应怎样立足课标，把握教材来进行教学呢？下面是本人处理《直线与平面垂直的判定定理》这一节时的课堂教学片断：
教师：请同学们把课前准备的三角形纸片拿出来，我们一起来做一个实验，（教师也准备了一块大三角形纸片作为教具，并在纸片上标出点A、B、C、D）
学生：纷纷拿出课前准备好的三角形纸片。
教师：过三角形ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖直放置在桌面上（边BD，DC与桌面接触）。
全体学生开始做实验，教师在教室中巡视，并指导他们做实验，待实验做完后——
教师：折痕AD与桌面垂直吗？
学生：经过短暂讨论后，积极发言，有的说不垂直，有的说垂直，并且都拿出他们的实验结果来证明自己的结论是正确的。
教师：肯定他们对纸片进行不同的折法从而得到不同的结论：折痕AD与桌面垂直或不垂直。又不失时机地提出第二个问题：请同学们再观察一下，刚才实验中在折痕AD与桌面所在平面垂直的三角形纸片中，折痕AD与边BC有什么共同特点？
学生：经过观察分析后，很快得出结论，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，即翻折后，AD⊥CD，AD⊥BD。
教师：很好，由这个实验你能得到什么结论？
学生展开探究，各抒己见，畅所欲言，其中一个学生这样回答：如果一条直线与一平面内的两条直线垂直，则该直线与此平面垂直。教师要马上抓住这个瞬间，控制好课堂节奏，并把这个同学的结论板书在黑板上，让同学們讨论这个结论准确与否。
学生：提出质疑，由于CD与BD是相交的，平面内的两条直线必须相交，并且举出反例，如平面内两条平行直线则不可以。
在经过同学们的充分讨论后，教师在黑板上板书出直线与平面垂直的判定定理。
在以前的教材中，对直线与平面垂直的判定定理都进行了详细的证明，证明要分两种情况分别考虑，证明过程较繁锁，在过去实际的教学中也发现，大部分学生对这条定理的证明感到很难接受和理解，如果花大量的时间和精力去证明这条定理，这样反而给学生增添了不少学习障碍。新教材把这条定理的证明删掉，正是贯穿了新课标精神。由这个案例我们可以看出新旧课标，新旧教材的显著差别。高中数学新课程，倡导让学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式，使学生的学习过程成为教师引导下的再创造过程，作为高中数学教师，我们在课堂教学中一定要立足课标，贯彻新课程精神，保证学生有足够的时间和机会建构性地接触、认识数学，理解数学，从而达到人人学有用的数学的目的。
教学源于教材，又高于教材
新课程倡导教师要立足教材，强调教师不仅是教材的使用者，更是教材的开发者和再设计者，教师应该创造性地合理使用好教材。记得刚开始使用这套新教材时，初一看觉得教材内容“简单”，不足以应付高考，于是有时就脱离教材，大量使用教辅。经历一段时间后，效果并不好，首先是教辅上一些习题过于繁锁，依然是老套路，与课改精神不合拍。其次是花了大量的时间而学生形成不了自己的能力和思想方法，也无法完成新课程教学计划。经过反思，觉得还是自己对新课改认识不到位，对新教材研究不透，对学情把握不准，没能创造性使用好教材。
例如，新教材《函数的极值与导数》这一节中，教材只给出了一个例题：求函数f（x）=x3-4x 4的极值。怎样灵活运用教材进行教学呢？本人作了如下尝试：
练习一：已知函数： f（x）=x3-4x 4，（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）的极值。
学生上黑板板演（过程略）：（1）函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2， ∞），单调减区间为（-2，2）。（2）当 x=-2时， f（x）有极大值，当x=2时， f（x）有极小值-。
教师：你能根据已经解决的两个问题画出f（x）的大致图像吗？请一名学生到黑板上画图，待学生画完后，对该学生画的图像点评并修改。利用数形结合，帮肋学生逐步加深理解，也为后续教学作好铺垫。
变式一：已知函数：f（x）=x3-ax 4在区间（-2，2）上为减函数，在区间（2， ∞）上为增函数，求实数a的值。
学生（上黑板板演）：f ′（x）=x2-a，由已知x=2时使函数f（x）取得极小值，所以f ′（2）=0解得a=4。
教师：这样做有没有缺陷？
学生：还要检验，经过检验该结果是符合题意的。该题在练习一的基础上采用了逆向思维。
变式二：若方程：x3-4x a=0有三个不同的实数根，求a的取值范围。
教师：先让学生思考两分钟，然后提示该题与上面两题有什么联系？
学生：构造函数f（x）=x3-4x a，要使方程有三个不同的实数根，即函数f（x）的图像与x轴有三个不同的交点，由练习一图像可知：f（x）极大值大于0，f（x）的极小值小于0，解得- 学生：由变式二很快可得出结果：a<-或a>。
点评：由于教材的“基础性”与高考的“选拔性”有目标差异，首先，在让学生熟练掌握教材的基础上，通过问題的精巧设计，让学生在新的问题情境中，运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题，从而进一步完善数学认知结构。其次，设计了有层次性的“问题”和富有梯度的“变式”，学生的思维和创造性的空间较大，不仅使学生产生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且使学生加深了对一些数学思想方法的理解和掌握，使自身的数学素养获得了新的生成。
依据学生的学情，由一个基本问题变式而生出互相关联的问题链，使学生学一道题，会一类题，有助于学生掌握解决这类问题的规律，掌握数学问题设计的真正结构，并使原有的孤立的零碎的知识整体化，促进对知识块整体的认识，增强系统性和条理性。从而使教学源于教材，又超越了教材。
探究式教学成为一种常态
高中数学探究式教学是指学生在教师的组织和指导下，对数学事实进行观察和分析后，用归纳、类比和猜想等合情推理的方法探求数学结论，用演绎推理的方法对结论作出证明，最后对探究结果和解决问题的思维过程进行反思和交流。为贯彻新课程理念，新教材几乎在每一个新知识点处都设计了探究问题，因此，在每一节数学课堂教学中，都可以根据具体的班情、课情，选择合适、有效的方式进行探究。对于一个具体的探究课题，我们可以在不影响整体效果的情况下，根据实际情况将探究活动的问题设在那些主干知识以及学生学习和探究能力有所发展的地方，做到属于让学生产生独立探究行为的要素，应该充分发挥学生的自主性，让学生独立去完成；对于不属于本课题的过程目标，教师可以大胆指导，甚至于可以通过陈述的办法顺利越过这一环节，让学生把主要精力放在教师事先设计需要强化的要素上，也就是说探究过程没有必要刻意地追求某种固定模式、程序和细节，完全可以根据教学的需要进行灵活处理。
例如，新教材必修四1.3节《三角函数的诱导公式》，教材设计了一个思考与一个探究问题，因为我们是利用单位圆来定义三角函数的，而圆具有很好的对称性，能否利用单位圆的对称性来探究角？琢的终边与角？仔-？琢、？仔 ？琢等的终边有什么关系？从而由角？琢的三角函数值得到角？仔-？琢、？仔 ？琢的三角函数值。本人在处理这一节课时，就完全放弃了传统的讲授方式，而是在提出问题后，全部交由学生自己通过“合作学习”进行探求，然后把诱导公式一至公式六的全半部分写在黑板上，每一个学习小组派一个学生来探求结果，并要求学生详细说明你得到这个结论的理由。最后让学生观察、分析这些公式的形式及其内在联系，从而引导学生归纳出诱导公式的十字口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 从学生后续的学习、检测及反馈情况看，学生不仅对该节知识掌握得很好，而且很乐意接受这样的教学模式。
“合作学习”法使传统的以教师为中心学生被动接受教师指导的学习方法转变为突出学生的主体地位，教师则为学生的管理者和技术“顾问”的教学过程，真正发挥了学生主观能动性和创造性。因为在每一个学习小组中指导者只是比学习者基础稍好一些，现在让他（她）自己做小老师去教别人，他（她）就会想如何才能教好同伴，这样给指导者技能的进一步发展提出了更高的要求，也为他（她）的各方面的能力培养创造了机会，符合素质教育的要求，同时在指导同伴练习时看到同伴的成功也会激发自己在练习中更努力更加完善地完成教师交给的任务，形成你追我赶的局面。这种“合作”的方法其实是通过教来促进学的过程，学生不仅自己能积极主动地学习，还能有效地指导他人进行学习，使学生可以从中更深刻地体验到课中成功的快乐和喜悦，从而形成良好的学习氛围，让学生在轻松、愉悦中学到知识，培养了能力。
随着课程改革的不断加深，人们在数学教学实践中达成了这样的共识：理想的课堂教学是一个动态生成的过程，课堂的精彩往往来自精心预设基础上的绝妙生成，这样一个洋溢着学生探究的热情，张扬着学生个性的灵光，焕发着师生生命活力的数学课堂，是每一位数学教师不懈追求的目标。
（作者单位：湖南衡东第一中学）
责任编辑 邹韵文
人人学有用的数学
不可否认，课程标准的理念是全新的，科学的，它尽可能揭示教育的本质功能。作为教师在教学中，当遇到一些新情况、新问题，对教材把握不准时，只能去认真研读课标，以课程标准为依据，而不能因某个新增内容高考可能不考，就随便应付一下。也不能说某内容在以前教材中是一个重点，就像过去一样在这里“广种粮，深挖洞”。具体说吧：课程标准对立体几何这部分的教学要求是：直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算。现行教材中的立体几何部分，先让学生从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，通过观察、实验和说理，让学生归纳出平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，从而使学生学会使用数学语言，表述几何对象的位置关系，并解决一些简单的推理论证及应用问题。对立体几何部分应怎样立足课标，把握教材来进行教学呢？下面是本人处理《直线与平面垂直的判定定理》这一节时的课堂教学片断：
教师：请同学们把课前准备的三角形纸片拿出来，我们一起来做一个实验，（教师也准备了一块大三角形纸片作为教具，并在纸片上标出点A、B、C、D）
学生：纷纷拿出课前准备好的三角形纸片。
教师：过三角形ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖直放置在桌面上（边BD，DC与桌面接触）。
全体学生开始做实验，教师在教室中巡视，并指导他们做实验，待实验做完后——
教师：折痕AD与桌面垂直吗？
学生：经过短暂讨论后，积极发言，有的说不垂直，有的说垂直，并且都拿出他们的实验结果来证明自己的结论是正确的。
教师：肯定他们对纸片进行不同的折法从而得到不同的结论：折痕AD与桌面垂直或不垂直。又不失时机地提出第二个问题：请同学们再观察一下，刚才实验中在折痕AD与桌面所在平面垂直的三角形纸片中，折痕AD与边BC有什么共同特点？
学生：经过观察分析后，很快得出结论，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，即翻折后，AD⊥CD，AD⊥BD。
教师：很好，由这个实验你能得到什么结论？
学生展开探究，各抒己见，畅所欲言，其中一个学生这样回答：如果一条直线与一平面内的两条直线垂直，则该直线与此平面垂直。教师要马上抓住这个瞬间，控制好课堂节奏，并把这个同学的结论板书在黑板上，让同学們讨论这个结论准确与否。
学生：提出质疑，由于CD与BD是相交的，平面内的两条直线必须相交，并且举出反例，如平面内两条平行直线则不可以。
在经过同学们的充分讨论后，教师在黑板上板书出直线与平面垂直的判定定理。
在以前的教材中，对直线与平面垂直的判定定理都进行了详细的证明，证明要分两种情况分别考虑，证明过程较繁锁，在过去实际的教学中也发现，大部分学生对这条定理的证明感到很难接受和理解，如果花大量的时间和精力去证明这条定理，这样反而给学生增添了不少学习障碍。新教材把这条定理的证明删掉，正是贯穿了新课标精神。由这个案例我们可以看出新旧课标，新旧教材的显著差别。高中数学新课程，倡导让学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式，使学生的学习过程成为教师引导下的再创造过程，作为高中数学教师，我们在课堂教学中一定要立足课标，贯彻新课程精神，保证学生有足够的时间和机会建构性地接触、认识数学，理解数学，从而达到人人学有用的数学的目的。
教学源于教材，又高于教材
新课程倡导教师要立足教材，强调教师不仅是教材的使用者，更是教材的开发者和再设计者，教师应该创造性地合理使用好教材。记得刚开始使用这套新教材时，初一看觉得教材内容“简单”，不足以应付高考，于是有时就脱离教材，大量使用教辅。经历一段时间后，效果并不好，首先是教辅上一些习题过于繁锁，依然是老套路，与课改精神不合拍。其次是花了大量的时间而学生形成不了自己的能力和思想方法，也无法完成新课程教学计划。经过反思，觉得还是自己对新课改认识不到位，对新教材研究不透，对学情把握不准，没能创造性使用好教材。
例如，新教材《函数的极值与导数》这一节中，教材只给出了一个例题：求函数f（x）=x3-4x 4的极值。怎样灵活运用教材进行教学呢？本人作了如下尝试：
练习一：已知函数： f（x）=x3-4x 4，（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）的极值。
学生上黑板板演（过程略）：（1）函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2， ∞），单调减区间为（-2，2）。（2）当 x=-2时， f（x）有极大值，当x=2时， f（x）有极小值-。
教师：你能根据已经解决的两个问题画出f（x）的大致图像吗？请一名学生到黑板上画图，待学生画完后，对该学生画的图像点评并修改。利用数形结合，帮肋学生逐步加深理解，也为后续教学作好铺垫。
变式一：已知函数：f（x）=x3-ax 4在区间（-2，2）上为减函数，在区间（2， ∞）上为增函数，求实数a的值。
学生（上黑板板演）：f ′（x）=x2-a，由已知x=2时使函数f（x）取得极小值，所以f ′（2）=0解得a=4。
教师：这样做有没有缺陷？
学生：还要检验，经过检验该结果是符合题意的。该题在练习一的基础上采用了逆向思维。
变式二：若方程：x3-4x a=0有三个不同的实数根，求a的取值范围。
教师：先让学生思考两分钟，然后提示该题与上面两题有什么联系？
学生：构造函数f（x）=x3-4x a，要使方程有三个不同的实数根，即函数f（x）的图像与x轴有三个不同的交点，由练习一图像可知：f（x）极大值大于0，f（x）的极小值小于0，解得-
点评：由于教材的“基础性”与高考的“选拔性”有目标差异，首先，在让学生熟练掌握教材的基础上，通过问題的精巧设计，让学生在新的问题情境中，运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题，从而进一步完善数学认知结构。其次，设计了有层次性的“问题”和富有梯度的“变式”，学生的思维和创造性的空间较大，不仅使学生产生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且使学生加深了对一些数学思想方法的理解和掌握，使自身的数学素养获得了新的生成。
依据学生的学情，由一个基本问题变式而生出互相关联的问题链，使学生学一道题，会一类题，有助于学生掌握解决这类问题的规律，掌握数学问题设计的真正结构，并使原有的孤立的零碎的知识整体化，促进对知识块整体的认识，增强系统性和条理性。从而使教学源于教材，又超越了教材。
探究式教学成为一种常态
高中数学探究式教学是指学生在教师的组织和指导下，对数学事实进行观察和分析后，用归纳、类比和猜想等合情推理的方法探求数学结论，用演绎推理的方法对结论作出证明，最后对探究结果和解决问题的思维过程进行反思和交流。为贯彻新课程理念，新教材几乎在每一个新知识点处都设计了探究问题，因此，在每一节数学课堂教学中，都可以根据具体的班情、课情，选择合适、有效的方式进行探究。对于一个具体的探究课题，我们可以在不影响整体效果的情况下，根据实际情况将探究活动的问题设在那些主干知识以及学生学习和探究能力有所发展的地方，做到属于让学生产生独立探究行为的要素，应该充分发挥学生的自主性，让学生独立去完成；对于不属于本课题的过程目标，教师可以大胆指导，甚至于可以通过陈述的办法顺利越过这一环节，让学生把主要精力放在教师事先设计需要强化的要素上，也就是说探究过程没有必要刻意地追求某种固定模式、程序和细节，完全可以根据教学的需要进行灵活处理。
例如，新教材必修四1.3节《三角函数的诱导公式》，教材设计了一个思考与一个探究问题，因为我们是利用单位圆来定义三角函数的，而圆具有很好的对称性，能否利用单位圆的对称性来探究角？琢的终边与角？仔-？琢、？仔 ？琢等的终边有什么关系？从而由角？琢的三角函数值得到角？仔-？琢、？仔 ？琢的三角函数值。本人在处理这一节课时，就完全放弃了传统的讲授方式，而是在提出问题后，全部交由学生自己通过“合作学习”进行探求，然后把诱导公式一至公式六的全半部分写在黑板上，每一个学习小组派一个学生来探求结果，并要求学生详细说明你得到这个结论的理由。最后让学生观察、分析这些公式的形式及其内在联系，从而引导学生归纳出诱导公式的十字口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 从学生后续的学习、检测及反馈情况看，学生不仅对该节知识掌握得很好，而且很乐意接受这样的教学模式。
“合作学习”法使传统的以教师为中心学生被动接受教师指导的学习方法转变为突出学生的主体地位，教师则为学生的管理者和技术“顾问”的教学过程，真正发挥了学生主观能动性和创造性。因为在每一个学习小组中指导者只是比学习者基础稍好一些，现在让他（她）自己做小老师去教别人，他（她）就会想如何才能教好同伴，这样给指导者技能的进一步发展提出了更高的要求，也为他（她）的各方面的能力培养创造了机会，符合素质教育的要求，同时在指导同伴练习时看到同伴的成功也会激发自己在练习中更努力更加完善地完成教师交给的任务，形成你追我赶的局面。这种“合作”的方法其实是通过教来促进学的过程，学生不仅自己能积极主动地学习，还能有效地指导他人进行学习，使学生可以从中更深刻地体验到课中成功的快乐和喜悦，从而形成良好的学习氛围，让学生在轻松、愉悦中学到知识，培养了能力。
随着课程改革的不断加深，人们在数学教学实践中达成了这样的共识：理想的课堂教学是一个动态生成的过程，课堂的精彩往往来自精心预设基础上的绝妙生成，这样一个洋溢着学生探究的热情，张扬着学生个性的灵光，焕发着师生生命活力的数学课堂，是每一位数学教师不懈追求的目标。
（作者单位：湖南衡东第一中学）
责任编辑 邹韵文