论文部分内容阅读
【摘要】在高中数学教学中，将方程问题转化为图形问题并进行处理，以便解决数学方程问题，这就是关于数形结合教学的核心方法.本文重点对高中数学教学中存在的问题进行探讨，并重点对数形结合的应用方法、策略等进行了详细的分析，以供高中数学教师参考.
【关键词】高中数学;数形结合;应用方法;应用优势
一、引 言
“数”与“形”是高中数学中两个最重要，最基础的研究对象，两者之间是相互对应的关系，在某种情况下能实现相互转换.在数学解题中，运用数形结合能够使抽象的问题变得更直观化、简便化，可以使学生的解题速度、解题准确率得到有效提升，还能增强学生的学习兴趣.在高中数学教学中，一些教师由于过于关注概念、公式、定理方面的教学，从而忽视了教学方法的传授，数形结合法在高中数学教学中贯串始终，其本质就是数学图形与代数之间的转换.数形结合法的有效使用可以让复杂的问题变得简单化，帮助学生节省做题时间，提高做题准确率.
二、数形结合法的概念与应用原则
众所周知，数与形是高中数学中的两个重要元素，前者代表数量关系，后者代表空间图像，数量关系与图形是可以自由转化的，学生可以利用转化关系来解决数学问题.数形结合法的应用本质就是将数学图像与相关的数学语言相互转化，实现形象思维与抽象思维的结合，从而提高学生的解题能力.
数形结合法的应用有两个原则：
第一，双向性原则.在利用图形来解析题目时，学生必须要对代数的抽象性进行分析，与几何语言相比，代数语言更加直观、清晰，可以避免几何解题法的约束.
第二，等价性原则.等价性原则主要强调几何性质与代数性质转化的等价性，由于用图形解题具有局限，在作图时，难以精确，就会影响解题的效率.因此，利用数形结合法解题，要重点关注等价性原则.
三、当前高中数学教学中存在的问题
（一）数学思维的局限性
相关研究发现，我国当前的高中数学教学中，学生对数形结合的理解并不透彻.受理解的局限性影响，学生在解题中很难去利用数形结合法解决实际问题.这种局限性主要体现在學生难以将抽象概念具体化或者是缺乏抽象思维能力.在数学学习中，大多数学生在审题过程中并不注重利用思维转换模式来找准解题方向.
（二）数学思维的差异性
由于数学学习具有连贯性，使得很多学生的数学基础存在比较大的差异.数学基础的差异决定高中阶段学生在面对同一问题时，有不同的思维方式和思维特点.因此，在高中数学教学中，教师需要对学生进行因材施教.
（三）存在较为严重的思维定式
进入高中阶段后，学生的受教育时间一般也超过了九年，有很多学生形成了固定的思维模式（经验主义），使解题思路陷入僵化，影响学生解决数学问题.此外，在数学教学中，如果没有破除这种固有的思维定式，那么数形结合的解题思路会与学生的思维定式产生碰撞，造成学生思维混乱，更加不利于提升学生解题的实际能力.
四、数形结合在高中数学教学中的应用方法
（一）将抽象的数量用图形直观地表现出来
数和形是一种相互依存，相互对应的关系，一些数量是比较抽象的，我们就可以在图形中找出相对应的数量，然后利用图形的直观性来解决问题.学生能够通过题干中给定的特定条件和图形所隐含的特殊性质，找出其中的特定关系和结构，题目自然就由复杂变简单了.在高中数学教学中将数量关系转化为图形问题比较常见，其中包含：平面几何问题、函数问题、立体几何问题等，对这些来说，首先要对问题题干进行分析，找出已知条件和隐含条件，再根据所求和已知条件进行比较，找出相互联系的点，作出对应的结构图，最后根据已知条件和所学的数理公式，利用图形求证所得结果.
（二）充分发掘图形所隐含的条件
图像确实形象、直观，但在一些复杂的图像中，就会很难将图像数字化，所以必须分析出图形的特殊性质和隐含的条件，利用代数关系式将图形数字化，把图形正确表示成数字的形式，进行计算.
（三）将数量与图形有效结合
数量与图像有效结合，就是以数化形和以形变数的结合，在解决此类数学问题过程中，学生不仅要考虑如何将数值挪到图形当中，而且要充分利用图形的直观性和其他性质，只有数形得到有效结合才能快速正确地解题.在高中数学教学中，数形结合主要体现在解析几何中，解决这类难题，首先，学生要理解数形结合的数学思想;其次，学生要打好知识基础，理解数学概念和运算的几何意义以及图形的特殊性质，并且能准确无误地找到已知条件和目标之间的关系;再次，要能设计参数运用公式建立合适的数形关系体系;最后，根据已知条件给定的范围和图形的性质确定结果的取值范围.
五、高中数学教学中数形结合方法的有效应用策略
（一）高中数学中常见的数形结合思想类型
1.数形结合的思想在集合中的应用
例 某班30人，其中15人喜爱象棋，10人喜爱围棋，8人对这两项活动都不喜爱，则既喜爱象棋又喜爱围棋活动的人数为多少？
解 记30名学生组成的集合为U，喜爱象棋的学生全体为集合A，喜爱围棋的学生全体为集合B.设两项活动都喜欢的学生有x人，则只喜欢象棋的有（15-x）人，只喜欢围棋的有（10-x）人.依题意，（15-x） x （10-x） 8=30，解得x=3，所以只喜欢象棋的有15-3=12（人）.
此题可以借助韦恩图把数的问题转化为图形问题，利用图形直观地表现出数形结合的完美解题思想.
另外，集合问题是学生高中数学学习的重点，也是学习图形的实例，韦恩图正是图形应用法的典例，能够将复杂的集合关系展示出来.因此，在遇到类似的问题时，学生可以套用韦恩图，通过建立坐标系来将图形的各个要素具体形象地展现出来.
2.数形结合思想在函数中的应用 例如，在讲述函数的重要性质——奇偶性时，定义容易理解，但学生刚开始学习时并不能很好地掌握.这是因为在应用过程中，学生经常运用函数的对称性，而且这阶段的学生不能深入理解数形结合的思想，作为课程的授课对象，大部分学生都能听懂课程，但就是不会做题.实际上，做好以下几点可以提高课堂效率：从图形开始，先让学生理解中心对称与轴对称，分析对称图形的特点，总结函数解析式的性质，只有这样，学生才能够将形与数相结合，了解到数形结合的思想，再通过绘制图像，准确地运用图像表现数量之间的关系.
函数解析式能够推导出奇偶性质，使学生更加便于从数与形两方面理解定义，为以后的学习打下坚固的基础.教师在讲解完定义后，可以通过具体的例题，让学生自己判断函数的奇偶性，分析函数的性质，但是值得注意的是，范例要有适当的难度，这样更容易让学生接受.
数形结合法不仅能够解决集合、函数的问题，还被广泛应用到解决复数、向量等问题中.在教学过程中，教师要总结可以用数形结合法解决的题目类型，做到举一反三，提高学生解决实际问题的能力.
（二）解题中巧用数形结合的方法能够提高解题速度和效率
数形结合的方法作为解题的一種途径，在实际运用时包含着两方面的含义，其一是对几何图形问题的解答，将几何图形转化为函数之间的关系，然后正确地分析解决;其二是对数量关系之间的问题，可以通过其具有的几何意义来更直观地进行观察和解决，保证得到正确的答案和结论.想要在解题时正确运用数形结合的方法，就必须遵守数形结合方法的运用和实施原则，对此可以归纳总结为以下两点原则：
（1）具有敏锐的观察能力，能准确分析出图形所包含的数量关系;
（2）具有较好的图像绘制能力，能准确地用图形表现数量之间的关系.
（三）多媒体技术能够让数形结合更好地实施
对于高中数学中那些复杂、抽象性的知识，只依赖教师的口头描述和学生的想象，学生并不能准确理解.这个时候教师就需要借助科学技术的优势，将数学知识由静变动，通过计算机计算、绘制、动画等能力将数学知识利用多媒体更加丰富多彩地呈现出来，让数学课堂教学变得更加轻松和愉悦，同时加深学生对知识的理解和掌握.教师通过动态展示数学知识能够让学生主动地探索数学规律，提高其创新能力.教师将多媒体技术应用在高中数学课堂上，可以使数学教学变得更生动、更有趣味性.
六、高中数学教学运用数形结合法的优势
（一）提升高中数学教师教学效果
在数学解题的过程中，如果数学题目只是给出了数据或是图形，学生就会在解题时花费一些时间将其转化为图形或数量，只有这样才能够有效快速地解决问题，换句话说，我们只有在见到数量时才能想到与它对应的图形，或是见到图形才能想到与它对应的数量关系.在高中数学教学过程中，教师只有对学生进行数形结合思想的启发和培养，才能便于学生运用该思想，正确地理解题目的含义，准确地分析和把握解题的思路，保证学生做出正确的解答.
在数学学习过程中我们可以借助数形之间的相互启发、相互转化、相互补充和相互证明来进行探索和研究.为了让学生形成数形结合的思想与解题思维，高中数学教师在教学中要有意识地给学生引导数形结合的思想和方法.
（二）培养学生的数学学习兴趣和形象思维
在高中数学教学过程中，运用数形结合的教学方法不仅可以培养学生学习数学的兴趣，还有助于他们思维的形成.高中数学的特点决定学生面临的题型难度较大.由于高中数学知识比较抽象，形式化、符号化的特征比较明显，基础稍薄弱的学生就难以完全理解这些抽象的东西，学生很容易因为无法解决这些难题而对数学学习产生厌倦心理.实践证明，采用数形结合的方法可以解决大部分问题，它可以将抽象化的内容转化成学生能够理解的具象事物.以几何教学内容为例，数形结合可以有效帮助学生建立几何模型，这样就降低了学生学习的难度，可以激发学生的学习兴趣，并且在构建图形的过程中，学生的思维也能得到锻炼.
（三）提高学生的解题能力
从数形结合的效果来看，可以直接提高学生的成绩.以函数y=cos x为例，从余弦函图像可以知道余弦函数的定义域为（-∞， ∞），值域是[-1，1]，函数在（2kπ，2kπ π）内单调递减，在（2kπ π，2kπ 2π）内单调递增，函数的周期是2π，|cos x|≤1，函数有界，函数是偶函数，在区间2kπ-π2，2kπ π2内是下凹的，在区间2kπ π2，2kπ 3π2内是上凹的（k∈Z）.
在实际解题教学过程中，有大量的思维因素，教师通过数形结合的教学，往往会给学生在实际中遇到的问题提供正确的方向.
（四）提高学生思维的灵活性、形象性、直观性
数和形既是对立的，又是统一的，如果把二者孤立起来，就数论数，就会缺少直观性;就形论形，就会缺乏严密性.只有加强二者之间的联系，使之有机结合，依据所知条件，进行相互转化，才能达到统一.
七、结 语
为了提高高中数学的教学质量，教师必须重视数形结合法的应用，引导学生掌握正确的解题方式，拓展学生的解题思路，注重发散解题思维.当教师对学生基础有了充分了解后，也可以因材施教，通过数形结合来培养学生的思维能力，并有效激发学生的学习兴趣.
【参考文献】
[1]邱春亮.探讨数学思维能力在高中数学教学中的培养[J]. 科学咨询（教育科研），2020（07）：218.
[2]张文涛.试谈数形结合思想在高中数学教学中的运用[J]. 数学学习与研究，2020（04）：25.
[3]林惠章.数形结合在解题中的应用[J]. 数学学习与研究，2016（12）：138.
[4]石翀.浅析数形结合思想在高中数学教学中的应用[J]. 甘肃教育，2020（06）：74.
[5]盛军.数形结合方法在高中数学教学中的应用评价[J]. 赤子（上中旬），2015（8）：280.
【关键词】高中数学;数形结合;应用方法;应用优势
一、引 言
“数”与“形”是高中数学中两个最重要，最基础的研究对象，两者之间是相互对应的关系，在某种情况下能实现相互转换.在数学解题中，运用数形结合能够使抽象的问题变得更直观化、简便化，可以使学生的解题速度、解题准确率得到有效提升，还能增强学生的学习兴趣.在高中数学教学中，一些教师由于过于关注概念、公式、定理方面的教学，从而忽视了教学方法的传授，数形结合法在高中数学教学中贯串始终，其本质就是数学图形与代数之间的转换.数形结合法的有效使用可以让复杂的问题变得简单化，帮助学生节省做题时间，提高做题准确率.
二、数形结合法的概念与应用原则
众所周知，数与形是高中数学中的两个重要元素，前者代表数量关系，后者代表空间图像，数量关系与图形是可以自由转化的，学生可以利用转化关系来解决数学问题.数形结合法的应用本质就是将数学图像与相关的数学语言相互转化，实现形象思维与抽象思维的结合，从而提高学生的解题能力.
数形结合法的应用有两个原则：
第一，双向性原则.在利用图形来解析题目时，学生必须要对代数的抽象性进行分析，与几何语言相比，代数语言更加直观、清晰，可以避免几何解题法的约束.
第二，等价性原则.等价性原则主要强调几何性质与代数性质转化的等价性，由于用图形解题具有局限，在作图时，难以精确，就会影响解题的效率.因此，利用数形结合法解题，要重点关注等价性原则.
三、当前高中数学教学中存在的问题
（一）数学思维的局限性
相关研究发现，我国当前的高中数学教学中，学生对数形结合的理解并不透彻.受理解的局限性影响，学生在解题中很难去利用数形结合法解决实际问题.这种局限性主要体现在學生难以将抽象概念具体化或者是缺乏抽象思维能力.在数学学习中，大多数学生在审题过程中并不注重利用思维转换模式来找准解题方向.
（二）数学思维的差异性
由于数学学习具有连贯性，使得很多学生的数学基础存在比较大的差异.数学基础的差异决定高中阶段学生在面对同一问题时，有不同的思维方式和思维特点.因此，在高中数学教学中，教师需要对学生进行因材施教.
（三）存在较为严重的思维定式
进入高中阶段后，学生的受教育时间一般也超过了九年，有很多学生形成了固定的思维模式（经验主义），使解题思路陷入僵化，影响学生解决数学问题.此外，在数学教学中，如果没有破除这种固有的思维定式，那么数形结合的解题思路会与学生的思维定式产生碰撞，造成学生思维混乱，更加不利于提升学生解题的实际能力.
四、数形结合在高中数学教学中的应用方法
（一）将抽象的数量用图形直观地表现出来
数和形是一种相互依存，相互对应的关系，一些数量是比较抽象的，我们就可以在图形中找出相对应的数量，然后利用图形的直观性来解决问题.学生能够通过题干中给定的特定条件和图形所隐含的特殊性质，找出其中的特定关系和结构，题目自然就由复杂变简单了.在高中数学教学中将数量关系转化为图形问题比较常见，其中包含：平面几何问题、函数问题、立体几何问题等，对这些来说，首先要对问题题干进行分析，找出已知条件和隐含条件，再根据所求和已知条件进行比较，找出相互联系的点，作出对应的结构图，最后根据已知条件和所学的数理公式，利用图形求证所得结果.
（二）充分发掘图形所隐含的条件
图像确实形象、直观，但在一些复杂的图像中，就会很难将图像数字化，所以必须分析出图形的特殊性质和隐含的条件，利用代数关系式将图形数字化，把图形正确表示成数字的形式，进行计算.
（三）将数量与图形有效结合
数量与图像有效结合，就是以数化形和以形变数的结合，在解决此类数学问题过程中，学生不仅要考虑如何将数值挪到图形当中，而且要充分利用图形的直观性和其他性质，只有数形得到有效结合才能快速正确地解题.在高中数学教学中，数形结合主要体现在解析几何中，解决这类难题，首先，学生要理解数形结合的数学思想;其次，学生要打好知识基础，理解数学概念和运算的几何意义以及图形的特殊性质，并且能准确无误地找到已知条件和目标之间的关系;再次，要能设计参数运用公式建立合适的数形关系体系;最后，根据已知条件给定的范围和图形的性质确定结果的取值范围.
五、高中数学教学中数形结合方法的有效应用策略
（一）高中数学中常见的数形结合思想类型
1.数形结合的思想在集合中的应用
例 某班30人，其中15人喜爱象棋，10人喜爱围棋，8人对这两项活动都不喜爱，则既喜爱象棋又喜爱围棋活动的人数为多少？
解 记30名学生组成的集合为U，喜爱象棋的学生全体为集合A，喜爱围棋的学生全体为集合B.设两项活动都喜欢的学生有x人，则只喜欢象棋的有（15-x）人，只喜欢围棋的有（10-x）人.依题意，（15-x） x （10-x） 8=30，解得x=3，所以只喜欢象棋的有15-3=12（人）.
此题可以借助韦恩图把数的问题转化为图形问题，利用图形直观地表现出数形结合的完美解题思想.
另外，集合问题是学生高中数学学习的重点，也是学习图形的实例，韦恩图正是图形应用法的典例，能够将复杂的集合关系展示出来.因此，在遇到类似的问题时，学生可以套用韦恩图，通过建立坐标系来将图形的各个要素具体形象地展现出来.
2.数形结合思想在函数中的应用 例如，在讲述函数的重要性质——奇偶性时，定义容易理解，但学生刚开始学习时并不能很好地掌握.这是因为在应用过程中，学生经常运用函数的对称性，而且这阶段的学生不能深入理解数形结合的思想，作为课程的授课对象，大部分学生都能听懂课程，但就是不会做题.实际上，做好以下几点可以提高课堂效率：从图形开始，先让学生理解中心对称与轴对称，分析对称图形的特点，总结函数解析式的性质，只有这样，学生才能够将形与数相结合，了解到数形结合的思想，再通过绘制图像，准确地运用图像表现数量之间的关系.
函数解析式能够推导出奇偶性质，使学生更加便于从数与形两方面理解定义，为以后的学习打下坚固的基础.教师在讲解完定义后，可以通过具体的例题，让学生自己判断函数的奇偶性，分析函数的性质，但是值得注意的是，范例要有适当的难度，这样更容易让学生接受.
数形结合法不仅能够解决集合、函数的问题，还被广泛应用到解决复数、向量等问题中.在教学过程中，教师要总结可以用数形结合法解决的题目类型，做到举一反三，提高学生解决实际问题的能力.
（二）解题中巧用数形结合的方法能够提高解题速度和效率
数形结合的方法作为解题的一種途径，在实际运用时包含着两方面的含义，其一是对几何图形问题的解答，将几何图形转化为函数之间的关系，然后正确地分析解决;其二是对数量关系之间的问题，可以通过其具有的几何意义来更直观地进行观察和解决，保证得到正确的答案和结论.想要在解题时正确运用数形结合的方法，就必须遵守数形结合方法的运用和实施原则，对此可以归纳总结为以下两点原则：
（1）具有敏锐的观察能力，能准确分析出图形所包含的数量关系;
（2）具有较好的图像绘制能力，能准确地用图形表现数量之间的关系.
（三）多媒体技术能够让数形结合更好地实施
对于高中数学中那些复杂、抽象性的知识，只依赖教师的口头描述和学生的想象，学生并不能准确理解.这个时候教师就需要借助科学技术的优势，将数学知识由静变动，通过计算机计算、绘制、动画等能力将数学知识利用多媒体更加丰富多彩地呈现出来，让数学课堂教学变得更加轻松和愉悦，同时加深学生对知识的理解和掌握.教师通过动态展示数学知识能够让学生主动地探索数学规律，提高其创新能力.教师将多媒体技术应用在高中数学课堂上，可以使数学教学变得更生动、更有趣味性.
六、高中数学教学运用数形结合法的优势
（一）提升高中数学教师教学效果
在数学解题的过程中，如果数学题目只是给出了数据或是图形，学生就会在解题时花费一些时间将其转化为图形或数量，只有这样才能够有效快速地解决问题，换句话说，我们只有在见到数量时才能想到与它对应的图形，或是见到图形才能想到与它对应的数量关系.在高中数学教学过程中，教师只有对学生进行数形结合思想的启发和培养，才能便于学生运用该思想，正确地理解题目的含义，准确地分析和把握解题的思路，保证学生做出正确的解答.
在数学学习过程中我们可以借助数形之间的相互启发、相互转化、相互补充和相互证明来进行探索和研究.为了让学生形成数形结合的思想与解题思维，高中数学教师在教学中要有意识地给学生引导数形结合的思想和方法.
（二）培养学生的数学学习兴趣和形象思维
在高中数学教学过程中，运用数形结合的教学方法不仅可以培养学生学习数学的兴趣，还有助于他们思维的形成.高中数学的特点决定学生面临的题型难度较大.由于高中数学知识比较抽象，形式化、符号化的特征比较明显，基础稍薄弱的学生就难以完全理解这些抽象的东西，学生很容易因为无法解决这些难题而对数学学习产生厌倦心理.实践证明，采用数形结合的方法可以解决大部分问题，它可以将抽象化的内容转化成学生能够理解的具象事物.以几何教学内容为例，数形结合可以有效帮助学生建立几何模型，这样就降低了学生学习的难度，可以激发学生的学习兴趣，并且在构建图形的过程中，学生的思维也能得到锻炼.
（三）提高学生的解题能力
从数形结合的效果来看，可以直接提高学生的成绩.以函数y=cos x为例，从余弦函图像可以知道余弦函数的定义域为（-∞， ∞），值域是[-1，1]，函数在（2kπ，2kπ π）内单调递减，在（2kπ π，2kπ 2π）内单调递增，函数的周期是2π，|cos x|≤1，函数有界，函数是偶函数，在区间2kπ-π2，2kπ π2内是下凹的，在区间2kπ π2，2kπ 3π2内是上凹的（k∈Z）.
在实际解题教学过程中，有大量的思维因素，教师通过数形结合的教学，往往会给学生在实际中遇到的问题提供正确的方向.
（四）提高学生思维的灵活性、形象性、直观性
数和形既是对立的，又是统一的，如果把二者孤立起来，就数论数，就会缺少直观性;就形论形，就会缺乏严密性.只有加强二者之间的联系，使之有机结合，依据所知条件，进行相互转化，才能达到统一.
七、结 语
为了提高高中数学的教学质量，教师必须重视数形结合法的应用，引导学生掌握正确的解题方式，拓展学生的解题思路，注重发散解题思维.当教师对学生基础有了充分了解后，也可以因材施教，通过数形结合来培养学生的思维能力，并有效激发学生的学习兴趣.
【参考文献】
[1]邱春亮.探讨数学思维能力在高中数学教学中的培养[J]. 科学咨询（教育科研），2020（07）：218.
[2]张文涛.试谈数形结合思想在高中数学教学中的运用[J]. 数学学习与研究，2020（04）：25.
[3]林惠章.数形结合在解题中的应用[J]. 数学学习与研究，2016（12）：138.
[4]石翀.浅析数形结合思想在高中数学教学中的应用[J]. 甘肃教育，2020（06）：74.
[5]盛军.数形结合方法在高中数学教学中的应用评价[J]. 赤子（上中旬），2015（8）：280.