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摘要:反思是数学思维活动的核心和动力,在教学实践中采取各种有效措施对学生进行反思性学习训练,使学生乐思、巧思、善思,对提高学习效率,培养学生数学学习能力有重要的意义.
关键词:数学反思;训练;措施
世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔教授指出:“反思是数学思维活动的核心和动力.” 由此可见反思在数学学习中的重要性. 但是,目前数学教学实践中,最薄弱的正是反思性学习这一环节. 由于数学学科对象的抽象性、活动的探索性、推理的严谨性和语言的特殊性,决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质,必须经过多次的反复思考、深入研究、自我调整(即坚持反思性数学学习),才能洞察数学活动的本质特征. 因此,在教学中采取各种有效措施对学生进行反思性数学学习训练,促使学生由被动反思转为主动反思,由不会反思变成善于反思,是提高数学学习效率的有效途径.下面谈谈在教学中对学生进行的反思训练.
■课后及时巩固,在“温故而知新”中反思
孔子曰,“学而不思则罔,思而不学则殆”、“温故而知新”. 在数学教学过程中,教师应教会学生自我提问,在课后对当天所学内容、自己的听课情况及课前预习情况及时进行回顾、反思,从而养成良好的反思习惯. 例如:
1. 今天所学内容是什么,关于新的知识我掌握了吗?自己的课前理解与教师讲解后的差别在哪儿?(对本节的数学概念、定理、法则、思想方法进行再组织,简明扼要地记下其内容.)
2. 新旧知识有哪些联系?自己对所涉及的知识是否有了新的认识,有些什么新的认识,原有的认识有什么欠缺之处,这种欠缺是如何造成的?
3. 例题涉及哪些数学思维方法、数学思想方法,这些思想方法是怎样应用的,应用的过程有什么特点,这样的方法是否在其他地方应用过,现在的应用和过去的应用有何联系、差异,是否有规律性的东西可总结?
4. 课上不懂的地方,如何弄清楚?
另外,还可对学习态度、情绪、意志进行反思.
这样,就给学生在课后理清自己的思想、评价自己的学习情况、反思自己的学习过程创造了条件,从而能够逐步培养学生的反思习惯. 为便于日后翻阅,可建议学生记在书本相应内容的空白处.同时,教学中若能有针对性地在每节课后再设置一些思考题,引导学生积极反思本节课的概念、定理和公式的发生及形成过程,对知识进行横向、纵向的联系、对比,则可深化学生的认知结构,提高反思能力.如在学习了双曲线的概念后,可让学生思考讨论这样的几个问题:
(1)将定义中的“小于”改为“等于”或“大于”,其点的轨迹又是什么呢?
(2)将“绝对值”三个字去掉,其结果又如何呢?
(3)令定义中的常数为0,其余不变,其点的轨迹又是什么呢?
(4)将括号中的小于F1F2去掉后如何讨论点的轨迹?
■建立反思性错题集,在纠错中反思
由于题海战术的影响,许多学生拼命做题,期望以多取胜,但常常事与愿违,不见提高,让大部分学生困惑的是有些错误很顽固,订正过了,评讲过了,还是重蹈覆辙. 也有许多学生懂得建立错题集,但在建立错题集时只是把错题和改正后的答案抄上去,并没有达到纠错的效果. 究其原因是学生不懂得认真回顾自己做题的思维过程,反思出错原因.
为了优化思维过程,让学生在纠错中学会反思,教师可指导学生建立活页 “错题档案”. 其整理步骤为:1. 分类整理. 按概念模糊类、粗心大意类、顾此失彼类、图形类、技巧类、新概念类、数学思想类等整理,并将各题注明属于某一章某一节,这样分类的优点在于既能按错因查找,又能按各章节易错知识点查找,给今后的复习带来方便. 2. 记录解题方法. 根据老师对错题的分析讲解,记录题目的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、解题步骤及小结等等. 3. 反思错因. 记录完老师的解题方法后在该错题的旁边作好注释,写出自己解题时的思维过程,暴露出自己思维障碍产生的原因及根源的分析. 这种记述方法开始时可能觉得较困难或写不出,此时不必强行要求自己. 初始阶段可先用自己的语言写出小结即可,总结得多了,自然会有心得体会,渐渐就会认清思维的种种障碍(即错误原因). 另外教师在教学中应经常暴露自己的思维过程,即表述自己如何认识问题、如何制订解题计划、选择解题方法、改变思路等,以及如何在解题过程中实施自我反思,如何克服解题中碰到的障碍,解题后的回顾反思如何进行,为学生提供反思性数学学习的范例;4. 错题改编. 对于出错比较典型的题目,根据题目特点进行改编并求解,以加深对这类题目的理解.这一工作的难度较大,解题经验丰富的学生可能做起来比较顺利.初始阶段,可让学生只需对题目条件做一点改动,(如将函数y=log2(x2-2x-3)变化为y=loga(x2-2x-3),单调性会怎样变化?). 而教师在平时的课堂教学中经常对例题进行变式训练,也可锻炼学生的改题能力.
■填写测试反思表,在检验中反思
每次测试后及时要求学生填写测试反思表,可引发学生对一阶段的学习状况、学习方式、学习效果进行自我综合评价,并主动反思,借鉴自己与他人的成功与失误之处. 根据学生实际情况制定的数学测试反思表如下:
1. 错题剖析
(注:表中解题错误原因可从以下几方面来选择——①看错题目;②因粗心而导致计算或推理错误;③表述不规范或解题格式不正确;④思路正确但因紧张而使中间某个过程错误;⑤数学公式、法则或定理不熟;⑥审题错误;⑦思路不清或根本没有思路;⑧解题速度慢而没有时间做;⑨其他.)
本次测试完全不会做的题目合计分数为()分.
会做但因不仔细等原因而扣分的一共有()分;
2. 错题更正或部分试题的其他解法(除教师公布的标准答案的其他有创意的解法)
3. 测验后的感受
①本次测验按实际水平应该得分是多少?但实际得分是多少?主要原因如何?本次测试对你今后的学习的启示(用一两句话来表述你成功的经验应该改进的问题或努力的方向):_________________.
②你认为在数学常规学习中,以下哪些方面自己做得比较好:______________. (A. 课前预习B. 课堂听课笔记C. 课后复习D. 独立作业E. 练习巩固F. 课外自学G. 以上基本未落实)
③你认为班上有哪些同学是你学习上的榜样?
④你认为自己有哪些经验与教训可供其他同学学习或借鉴?
4. 典型试题再研究
请结合自己的实际对某道试题或某几道试题谈谈你的再研究. 包括:一题多解、一题多变,或该题的拓展延伸或研究该题解题方法的应用推广等.
从以上表格实施的情况看,学生通过对单元测试的自我反思,能在检验中吸取教训,认清不足,由此改善学习过程.
■强调每一章的概括总结,在知识的梳理中反思
每一章的学习结束后让学生梳理所学知识,构建知识网络,是为了让学生对以往的数学知识,数学知识的获得过程及数学问题的解决过程回忆和重新思考,是培养学生自我反思能力的有效方法. 那如何引导学生在梳理知识中反思呢?一是“浓缩”. 教会学生对所学知识进行筛选,突出重点,用简明的图表或提纲形式把基础知识进行有机的串联.如对函数部分归纳的知识有:(1)函数的概念与基本性质,主要有函数的概念与运算、单调性、奇偶性与对称性、周期性、最值与值域、图象等. (2)一些简单函数的研究,主要是二次函数,幂、指、对函数等. (3)函数综合与实际应用问题,如函数、方程、不等式的关系与应用,用函数思想解决的实际应用问题等.二是“细化”. 对每一个内容细化,问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题,以此为载体来提炼与总结基本方法. 以函数的单调性为例,可以从哪些问题入手复习呢?问题一:什么是函数的单调性?(借助一些概念的辨析题来帮助理解.)问题二:如何判断和证明一个函数在某个区间上的单调性?解决这个问题需要的知识基础包括理解函数单调性的概念,熟知所学习过的各种基本函数(如一、二次函数,反比例函数,幂、指、对函数等)的单调性,简单的复合函数单调性等.基本的方法主要是利用单调性的定义、不等式的性质进行判断和证明. 问题三:函数的单调性有哪些简单的应用?主要的应用是求函数的最值,此外还可能涉及不等式、比较大小等问题. 问题四:易错、易漏点是什么?三是“强化”. 抓住每个知识点的典型问题进行训练,将同一知识,同一方法的问题集中在一起练习. 如函数的单调性的判断与证明一般也就两类典型问题:第一是正确判断与证明某个函数的单调性,写出单调区间,要注意函数的各种形式,如分式的、简单的复合函数、带有根式和绝对值的等等.第二是它的逆问题,知道函数在某个区间上的单调性如何求字母参数的取值范围,如函数y=ax2 x 2在区间[5,10]上若递增,求实数a的取值范围等. 同时,可以在同一个问题的背景下,自己做一些小小的变化与发展,从中做一些深入的探究.例如将函数y=log2(x2-2x-3)变化为y=loga(x2-2x-3),单调性会怎样变化?如果变化为y=log2(ax2-2x-3)情况又如何?反之,如果函数y=log2(ax2-2x-3)在区间(-∞,1)上单调递减,a的取值范围是什么?通过这样层层深化、不断自我设问可使学生有针对性地对自己的学习情况进行回顾反思和反复推敲,引起思维的升华.
■建立数学档案,在快乐中反思
指导学生建立数学学习档案,有目的地从各种角度和层次收集学生个人学习的努力、进步情形,以及在知识、技能和情意方面的成就证据,并有目的地汇集在材料袋中,以供评价,可以弥补平时以单一的书面考试评价学生的数学成绩,往往容易忽略学生在数学学习过程中的变化和进步(如同一学生几次的成绩变化、与同类同学成绩相比的变化、班内名次的变化等)的缺陷,使学生比较全面地了解自己的学习过程,找到适合自己发展的途径,凸显个性,展现自我,特别是感受自己在数学上的不断成长与进步,从而乐于去回顾,去反思. 数学学习档案的内容可分三个方面:
1. 收录数学学习过程中的材料,如数学日记、错题集、考试反思表、章后总结、课外阅读等.
2. 收录学生在学习过程中获得的成功体验. 如“我最满意的”——数学作业本、单项考查试卷、综合考查试卷等.
“我最自豪的”——一次表扬、一次成功、一次获奖(证书、奖状)、一个优点(特长、习惯)、解决复杂数学题目的草稿、图解、图画;
“我印象最深的”——有趣的数学课(活动)、一次有意义的谈话、一次教训;
“我来介绍”——单元总结、学习方法、学习经验.
3. 收录反映学生经历数学探究发展实践能力和创新能力的材料. 如在日常生活中发现的数学问题及提出有挑战性的数学问题.如怎样存款才合算、包装罐设计等. 应用数学知识解决现实生活中的实际问题. 如买房、租车预算、买彩票等. 应用数学知识开展社会调查,发现社会问题. 如应用统计知识进行各种资源的浪费调查分析.
独特的解题方法. 如一题多解、巧解妙算等. 数学小制作及自编数学童话、故事、笑话.
学生在建立数学学习档案的过程中适时反思自己的学习情况,如实现了哪些学习目标、获得了哪些进步、自己作品的特征、解决问题的策略、还需要在哪些方面努力等,久而久之反思自然会成为一种习惯和技能.
■其他训练方法
除了上面介绍的训练方法外,教学中还有很多培养学生反思性数学学习能力的有效途径. 如:教会学生解题后反思、设置反思性数学作业、开展学生自我评价活动、举行数学学习交流会让学生交流反思的体会、指导学生写数学随笔等.
总之,引导和培养学生的反思意识和反思能力是数学学习活动的重要内容之一. 教师应通过多种途径培养学生的数学反思习惯,多关注学生的数学学习反思,鼓励学生反思,使学生乐思、巧思、善思.
关键词:数学反思;训练;措施
世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔教授指出:“反思是数学思维活动的核心和动力.” 由此可见反思在数学学习中的重要性. 但是,目前数学教学实践中,最薄弱的正是反思性学习这一环节. 由于数学学科对象的抽象性、活动的探索性、推理的严谨性和语言的特殊性,决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性地直接把握数学活动的本质,必须经过多次的反复思考、深入研究、自我调整(即坚持反思性数学学习),才能洞察数学活动的本质特征. 因此,在教学中采取各种有效措施对学生进行反思性数学学习训练,促使学生由被动反思转为主动反思,由不会反思变成善于反思,是提高数学学习效率的有效途径.下面谈谈在教学中对学生进行的反思训练.
■课后及时巩固,在“温故而知新”中反思
孔子曰,“学而不思则罔,思而不学则殆”、“温故而知新”. 在数学教学过程中,教师应教会学生自我提问,在课后对当天所学内容、自己的听课情况及课前预习情况及时进行回顾、反思,从而养成良好的反思习惯. 例如:
1. 今天所学内容是什么,关于新的知识我掌握了吗?自己的课前理解与教师讲解后的差别在哪儿?(对本节的数学概念、定理、法则、思想方法进行再组织,简明扼要地记下其内容.)
2. 新旧知识有哪些联系?自己对所涉及的知识是否有了新的认识,有些什么新的认识,原有的认识有什么欠缺之处,这种欠缺是如何造成的?
3. 例题涉及哪些数学思维方法、数学思想方法,这些思想方法是怎样应用的,应用的过程有什么特点,这样的方法是否在其他地方应用过,现在的应用和过去的应用有何联系、差异,是否有规律性的东西可总结?
4. 课上不懂的地方,如何弄清楚?
另外,还可对学习态度、情绪、意志进行反思.
这样,就给学生在课后理清自己的思想、评价自己的学习情况、反思自己的学习过程创造了条件,从而能够逐步培养学生的反思习惯. 为便于日后翻阅,可建议学生记在书本相应内容的空白处.同时,教学中若能有针对性地在每节课后再设置一些思考题,引导学生积极反思本节课的概念、定理和公式的发生及形成过程,对知识进行横向、纵向的联系、对比,则可深化学生的认知结构,提高反思能力.如在学习了双曲线的概念后,可让学生思考讨论这样的几个问题:
(1)将定义中的“小于”改为“等于”或“大于”,其点的轨迹又是什么呢?
(2)将“绝对值”三个字去掉,其结果又如何呢?
(3)令定义中的常数为0,其余不变,其点的轨迹又是什么呢?
(4)将括号中的小于F1F2去掉后如何讨论点的轨迹?
■建立反思性错题集,在纠错中反思
由于题海战术的影响,许多学生拼命做题,期望以多取胜,但常常事与愿违,不见提高,让大部分学生困惑的是有些错误很顽固,订正过了,评讲过了,还是重蹈覆辙. 也有许多学生懂得建立错题集,但在建立错题集时只是把错题和改正后的答案抄上去,并没有达到纠错的效果. 究其原因是学生不懂得认真回顾自己做题的思维过程,反思出错原因.
为了优化思维过程,让学生在纠错中学会反思,教师可指导学生建立活页 “错题档案”. 其整理步骤为:1. 分类整理. 按概念模糊类、粗心大意类、顾此失彼类、图形类、技巧类、新概念类、数学思想类等整理,并将各题注明属于某一章某一节,这样分类的优点在于既能按错因查找,又能按各章节易错知识点查找,给今后的复习带来方便. 2. 记录解题方法. 根据老师对错题的分析讲解,记录题目的引入语、解题的切入口、思路突破方法、解题的技巧、解题步骤及小结等等. 3. 反思错因. 记录完老师的解题方法后在该错题的旁边作好注释,写出自己解题时的思维过程,暴露出自己思维障碍产生的原因及根源的分析. 这种记述方法开始时可能觉得较困难或写不出,此时不必强行要求自己. 初始阶段可先用自己的语言写出小结即可,总结得多了,自然会有心得体会,渐渐就会认清思维的种种障碍(即错误原因). 另外教师在教学中应经常暴露自己的思维过程,即表述自己如何认识问题、如何制订解题计划、选择解题方法、改变思路等,以及如何在解题过程中实施自我反思,如何克服解题中碰到的障碍,解题后的回顾反思如何进行,为学生提供反思性数学学习的范例;4. 错题改编. 对于出错比较典型的题目,根据题目特点进行改编并求解,以加深对这类题目的理解.这一工作的难度较大,解题经验丰富的学生可能做起来比较顺利.初始阶段,可让学生只需对题目条件做一点改动,(如将函数y=log2(x2-2x-3)变化为y=loga(x2-2x-3),单调性会怎样变化?). 而教师在平时的课堂教学中经常对例题进行变式训练,也可锻炼学生的改题能力.
■填写测试反思表,在检验中反思
每次测试后及时要求学生填写测试反思表,可引发学生对一阶段的学习状况、学习方式、学习效果进行自我综合评价,并主动反思,借鉴自己与他人的成功与失误之处. 根据学生实际情况制定的数学测试反思表如下:
1. 错题剖析
(注:表中解题错误原因可从以下几方面来选择——①看错题目;②因粗心而导致计算或推理错误;③表述不规范或解题格式不正确;④思路正确但因紧张而使中间某个过程错误;⑤数学公式、法则或定理不熟;⑥审题错误;⑦思路不清或根本没有思路;⑧解题速度慢而没有时间做;⑨其他.)
本次测试完全不会做的题目合计分数为()分.
会做但因不仔细等原因而扣分的一共有()分;
2. 错题更正或部分试题的其他解法(除教师公布的标准答案的其他有创意的解法)
3. 测验后的感受
①本次测验按实际水平应该得分是多少?但实际得分是多少?主要原因如何?本次测试对你今后的学习的启示(用一两句话来表述你成功的经验应该改进的问题或努力的方向):_________________.
②你认为在数学常规学习中,以下哪些方面自己做得比较好:______________. (A. 课前预习B. 课堂听课笔记C. 课后复习D. 独立作业E. 练习巩固F. 课外自学G. 以上基本未落实)
③你认为班上有哪些同学是你学习上的榜样?
④你认为自己有哪些经验与教训可供其他同学学习或借鉴?
4. 典型试题再研究
请结合自己的实际对某道试题或某几道试题谈谈你的再研究. 包括:一题多解、一题多变,或该题的拓展延伸或研究该题解题方法的应用推广等.
从以上表格实施的情况看,学生通过对单元测试的自我反思,能在检验中吸取教训,认清不足,由此改善学习过程.
■强调每一章的概括总结,在知识的梳理中反思
每一章的学习结束后让学生梳理所学知识,构建知识网络,是为了让学生对以往的数学知识,数学知识的获得过程及数学问题的解决过程回忆和重新思考,是培养学生自我反思能力的有效方法. 那如何引导学生在梳理知识中反思呢?一是“浓缩”. 教会学生对所学知识进行筛选,突出重点,用简明的图表或提纲形式把基础知识进行有机的串联.如对函数部分归纳的知识有:(1)函数的概念与基本性质,主要有函数的概念与运算、单调性、奇偶性与对称性、周期性、最值与值域、图象等. (2)一些简单函数的研究,主要是二次函数,幂、指、对函数等. (3)函数综合与实际应用问题,如函数、方程、不等式的关系与应用,用函数思想解决的实际应用问题等.二是“细化”. 对每一个内容细化,问问自己复习这个内容时需要解决好哪些问题,以此为载体来提炼与总结基本方法. 以函数的单调性为例,可以从哪些问题入手复习呢?问题一:什么是函数的单调性?(借助一些概念的辨析题来帮助理解.)问题二:如何判断和证明一个函数在某个区间上的单调性?解决这个问题需要的知识基础包括理解函数单调性的概念,熟知所学习过的各种基本函数(如一、二次函数,反比例函数,幂、指、对函数等)的单调性,简单的复合函数单调性等.基本的方法主要是利用单调性的定义、不等式的性质进行判断和证明. 问题三:函数的单调性有哪些简单的应用?主要的应用是求函数的最值,此外还可能涉及不等式、比较大小等问题. 问题四:易错、易漏点是什么?三是“强化”. 抓住每个知识点的典型问题进行训练,将同一知识,同一方法的问题集中在一起练习. 如函数的单调性的判断与证明一般也就两类典型问题:第一是正确判断与证明某个函数的单调性,写出单调区间,要注意函数的各种形式,如分式的、简单的复合函数、带有根式和绝对值的等等.第二是它的逆问题,知道函数在某个区间上的单调性如何求字母参数的取值范围,如函数y=ax2 x 2在区间[5,10]上若递增,求实数a的取值范围等. 同时,可以在同一个问题的背景下,自己做一些小小的变化与发展,从中做一些深入的探究.例如将函数y=log2(x2-2x-3)变化为y=loga(x2-2x-3),单调性会怎样变化?如果变化为y=log2(ax2-2x-3)情况又如何?反之,如果函数y=log2(ax2-2x-3)在区间(-∞,1)上单调递减,a的取值范围是什么?通过这样层层深化、不断自我设问可使学生有针对性地对自己的学习情况进行回顾反思和反复推敲,引起思维的升华.
■建立数学档案,在快乐中反思
指导学生建立数学学习档案,有目的地从各种角度和层次收集学生个人学习的努力、进步情形,以及在知识、技能和情意方面的成就证据,并有目的地汇集在材料袋中,以供评价,可以弥补平时以单一的书面考试评价学生的数学成绩,往往容易忽略学生在数学学习过程中的变化和进步(如同一学生几次的成绩变化、与同类同学成绩相比的变化、班内名次的变化等)的缺陷,使学生比较全面地了解自己的学习过程,找到适合自己发展的途径,凸显个性,展现自我,特别是感受自己在数学上的不断成长与进步,从而乐于去回顾,去反思. 数学学习档案的内容可分三个方面:
1. 收录数学学习过程中的材料,如数学日记、错题集、考试反思表、章后总结、课外阅读等.
2. 收录学生在学习过程中获得的成功体验. 如“我最满意的”——数学作业本、单项考查试卷、综合考查试卷等.
“我最自豪的”——一次表扬、一次成功、一次获奖(证书、奖状)、一个优点(特长、习惯)、解决复杂数学题目的草稿、图解、图画;
“我印象最深的”——有趣的数学课(活动)、一次有意义的谈话、一次教训;
“我来介绍”——单元总结、学习方法、学习经验.
3. 收录反映学生经历数学探究发展实践能力和创新能力的材料. 如在日常生活中发现的数学问题及提出有挑战性的数学问题.如怎样存款才合算、包装罐设计等. 应用数学知识解决现实生活中的实际问题. 如买房、租车预算、买彩票等. 应用数学知识开展社会调查,发现社会问题. 如应用统计知识进行各种资源的浪费调查分析.
独特的解题方法. 如一题多解、巧解妙算等. 数学小制作及自编数学童话、故事、笑话.
学生在建立数学学习档案的过程中适时反思自己的学习情况,如实现了哪些学习目标、获得了哪些进步、自己作品的特征、解决问题的策略、还需要在哪些方面努力等,久而久之反思自然会成为一种习惯和技能.
■其他训练方法
除了上面介绍的训练方法外,教学中还有很多培养学生反思性数学学习能力的有效途径. 如:教会学生解题后反思、设置反思性数学作业、开展学生自我评价活动、举行数学学习交流会让学生交流反思的体会、指导学生写数学随笔等.
总之,引导和培养学生的反思意识和反思能力是数学学习活动的重要内容之一. 教师应通过多种途径培养学生的数学反思习惯,多关注学生的数学学习反思,鼓励学生反思,使学生乐思、巧思、善思.