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摘 要：本文从一个普通的数学教材习题出发，尝试从不同角度探究拓展，通过动手操作、观察思考、猜想推理、探求证明习题解答，发掘教材的深层价值，从而优化学生思维品质的深刻性、灵活性和独创性，培养学生学习兴趣和探究精神.
关键词：探究；拓展；思维
题目：（高中数学苏教版必修二第63页19题，探究·拓展）用硬纸剪一个三边均不等的锐角三角形AOB，然后以AB边上的高OO′为折痕，折得两个直角三角形，使之直立于桌面上（如图1），那么∠AO′B就是∠AOB在桌面上的射影. 转动其中一个直角三角形，观察∠AOB与∠AO′B的大小关系，是否存在某个位置，使∠AOB=∠AO′B？
■
图1
《课本一道操作题的探索》《一道课本习题引起的思考》两文作者通过对转动其中一个直角三角形的变化过程进行分析和理性思考，借助函数的连续性，得出问题结论. 其中《课本一道操作题的探索》还利用三面角公式研究并证明了三个结论. （1）一定存在某个位置， 使∠AOB=∠AO′B（∠AOB=∠AO′B=α，α∈0，■）；（2）当0<∠AO′B<α时，∠AO′B<∠AOB；（3）当∠AO′B>α时， ∠AO′B>∠AOB. 《也谈教材“那道”操作题》的作者从学生已有的知识出发，借助余弦定理，利用分析法证明了《课本一道操作题的探索》的三个结论，减小了运算量. 总的说来，这三种方法都有利于优化学生思维的发展，有利于培养学生的直觉思维能力和理性思维能力.
但笔者经过进一步思考，发现本题还可以加以拓展，从如下几个不同角度进行分析探究.
■探究一 让点A，B“飞”
转换视角，将△OO′B绕OO′旋转，则∠AO′B∈（0，π）. 点A，B分别在射线OA0，OB0上运动（如图2），若A，B同时趋向于点O′，则∠AOB→0；若A→+∞，B→O或A→O，B→+∞，则∠AOB→■，因此∠AOB∈0，■.
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图2
（1）若∠AO′B∈■，π，则∠AO′B>∠AOB；（2）若∠AO′B∈0，■并固定某一位置，由于∠AOB在0，■内任意变化时其射影角始终是∠AO′B，则在调整点A，B位置（对应题目条件转动一个直角三角形）的变化过程中∠AO′B>∠AOB，∠AO′B=∠AOB，∠AO′B<∠AOB三种情况均可能出现.
■探究二 将∠AO′B，∠AOB“分”
（1）条件加强，当0<∠O′AB≤■且0<∠O′BA≤■，即保证在平面AO′B内过点O′作O′D⊥AB，所作垂足D一定落在线段AB上（如图3）时，则在Rt△AO′D和Rt△AOD中，sin∠AO′D=■，sin∠AOD=■. 而在Rt△AO′O中，AO′sin∠AOD，所以∠AO′D>∠AOD，同理∠BO′D>∠BOD，两式相加得∠AO′B>∠AOB.
■
图3
（2）如图4，若所作垂足D落在AB的延长线上，这正是题目条件“在转动过程中”的一个情形，而此时则需要两式相减，因此分割法就显得捉襟见肘，需另辟蹊径.
■探究三 使空间图形平面“化”
如图5，将△AOB沿边AB折转到平面AO′B中成为∠ACB，则问题就转化为在平面中比较∠ACB与∠AO′B的大小.
■
图5
（1）由探究二（1）可知，当0<∠O′AB≤■且0<∠O′BA≤■时，∠AO′B>∠ACB；
（2）考虑∠O′AB，∠O′BA中有一个为钝角的情况，不妨假设∠O′BA>■. 作O′D⊥AB延长线于D，连接CD，则CD⊥AB，又CD>O′D，所以C在线段DO′延长线上. 作△ABO′的外接圆，交DO′延长线于点E（如图6），由米勒问题（数学中的一个经典问题）可知，当C点在O′，E之间时，∠ACB>∠AO′B，当C点与E点重合时，∠ACB=∠AO′B，当C点在DE延长线时，∠ACB<∠AO′B.
■探究四 用代数对几何进行“量”
令O′B=a，O′A=b（b≠a），AB=c，O′O=h，则由余弦定理得
cos∠AO′B=■，cos∠AOB=■，
作差可得
cos∠AOB-cos∠AO′B=■.
由于ab-■■<0，因此
（1）当a2+b2-c2≤0，即∠AO′B为直角或钝角时，有cos∠AOB-cos∠AO′B>0，所以∠AOB<∠AO′B；
（2）当a2+b2-c2>0，即∠AO′B为锐角时，cos∠AOB-cos∠AO′B的符号无法确定，因此∠AOB，∠AO′B大小不定. 选取不同的a，b，c，h值，可使其符号为正、零、负.
进一步探究
（1）本问题条件中加锐角三角形主要还是为了叙述方便，若是直角三角形或者钝角三角形，只要以斜边或最长边上的高为折痕，问题就可转化为上述情况分析，其他情形在本问题情境下无研究意义.
（2）本问题条件中加三边均不等属条件强化，其实只需两边不等，即旋转后形成的两个小直角三角形的斜边不等. 例如当△AOB是等腰三角形（底边为AB）时，不存在某个位置使∠AOB=∠AO′B，但换个位置，以腰上的高为转轴，问题就可转化为上述情况. 用两张图简述之，本文不再赘述.
■
数学的海洋总是蕴涵着丰富的数学思想和方法，同时也隐藏着无限的简洁美、奇异美. 从普通的数学教材习题出发，尝试从不同角度探究课本习题，不仅能够发掘教材的深层价值，更重要的是优化学生思维品质的深刻性、灵活性和独创性，通过动手操作、观察思考、猜想推理、探求证明，不断培养学生学习兴趣和探究精神，以严谨的科学态度和不怕困难的顽强毅力提升解决问题的能力.
关键词：探究；拓展；思维
题目：（高中数学苏教版必修二第63页19题，探究·拓展）用硬纸剪一个三边均不等的锐角三角形AOB，然后以AB边上的高OO′为折痕，折得两个直角三角形，使之直立于桌面上（如图1），那么∠AO′B就是∠AOB在桌面上的射影. 转动其中一个直角三角形，观察∠AOB与∠AO′B的大小关系，是否存在某个位置，使∠AOB=∠AO′B？
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图1
《课本一道操作题的探索》《一道课本习题引起的思考》两文作者通过对转动其中一个直角三角形的变化过程进行分析和理性思考，借助函数的连续性，得出问题结论. 其中《课本一道操作题的探索》还利用三面角公式研究并证明了三个结论. （1）一定存在某个位置， 使∠AOB=∠AO′B（∠AOB=∠AO′B=α，α∈0，■）；（2）当0<∠AO′B<α时，∠AO′B<∠AOB；（3）当∠AO′B>α时， ∠AO′B>∠AOB. 《也谈教材“那道”操作题》的作者从学生已有的知识出发，借助余弦定理，利用分析法证明了《课本一道操作题的探索》的三个结论，减小了运算量. 总的说来，这三种方法都有利于优化学生思维的发展，有利于培养学生的直觉思维能力和理性思维能力.
但笔者经过进一步思考，发现本题还可以加以拓展，从如下几个不同角度进行分析探究.
■探究一 让点A，B“飞”
转换视角，将△OO′B绕OO′旋转，则∠AO′B∈（0，π）. 点A，B分别在射线OA0，OB0上运动（如图2），若A，B同时趋向于点O′，则∠AOB→0；若A→+∞，B→O或A→O，B→+∞，则∠AOB→■，因此∠AOB∈0，■.
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图2
（1）若∠AO′B∈■，π，则∠AO′B>∠AOB；（2）若∠AO′B∈0，■并固定某一位置，由于∠AOB在0，■内任意变化时其射影角始终是∠AO′B，则在调整点A，B位置（对应题目条件转动一个直角三角形）的变化过程中∠AO′B>∠AOB，∠AO′B=∠AOB，∠AO′B<∠AOB三种情况均可能出现.
■探究二 将∠AO′B，∠AOB“分”
（1）条件加强，当0<∠O′AB≤■且0<∠O′BA≤■，即保证在平面AO′B内过点O′作O′D⊥AB，所作垂足D一定落在线段AB上（如图3）时，则在Rt△AO′D和Rt△AOD中，sin∠AO′D=■，sin∠AOD=■. 而在Rt△AO′O中，AO′
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图3
（2）如图4，若所作垂足D落在AB的延长线上，这正是题目条件“在转动过程中”的一个情形，而此时则需要两式相减，因此分割法就显得捉襟见肘，需另辟蹊径.
■探究三 使空间图形平面“化”
如图5，将△AOB沿边AB折转到平面AO′B中成为∠ACB，则问题就转化为在平面中比较∠ACB与∠AO′B的大小.
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图5
（1）由探究二（1）可知，当0<∠O′AB≤■且0<∠O′BA≤■时，∠AO′B>∠ACB；
（2）考虑∠O′AB，∠O′BA中有一个为钝角的情况，不妨假设∠O′BA>■. 作O′D⊥AB延长线于D，连接CD，则CD⊥AB，又CD>O′D，所以C在线段DO′延长线上. 作△ABO′的外接圆，交DO′延长线于点E（如图6），由米勒问题（数学中的一个经典问题）可知，当C点在O′，E之间时，∠ACB>∠AO′B，当C点与E点重合时，∠ACB=∠AO′B，当C点在DE延长线时，∠ACB<∠AO′B.
■探究四 用代数对几何进行“量”
令O′B=a，O′A=b（b≠a），AB=c，O′O=h，则由余弦定理得
cos∠AO′B=■，cos∠AOB=■，
作差可得
cos∠AOB-cos∠AO′B=■.
由于ab-■■<0，因此
（1）当a2+b2-c2≤0，即∠AO′B为直角或钝角时，有cos∠AOB-cos∠AO′B>0，所以∠AOB<∠AO′B；
（2）当a2+b2-c2>0，即∠AO′B为锐角时，cos∠AOB-cos∠AO′B的符号无法确定，因此∠AOB，∠AO′B大小不定. 选取不同的a，b，c，h值，可使其符号为正、零、负.
进一步探究
（1）本问题条件中加锐角三角形主要还是为了叙述方便，若是直角三角形或者钝角三角形，只要以斜边或最长边上的高为折痕，问题就可转化为上述情况分析，其他情形在本问题情境下无研究意义.
（2）本问题条件中加三边均不等属条件强化，其实只需两边不等，即旋转后形成的两个小直角三角形的斜边不等. 例如当△AOB是等腰三角形（底边为AB）时，不存在某个位置使∠AOB=∠AO′B，但换个位置，以腰上的高为转轴，问题就可转化为上述情况. 用两张图简述之，本文不再赘述.
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数学的海洋总是蕴涵着丰富的数学思想和方法，同时也隐藏着无限的简洁美、奇异美. 从普通的数学教材习题出发，尝试从不同角度探究课本习题，不仅能够发掘教材的深层价值，更重要的是优化学生思维品质的深刻性、灵活性和独创性，通过动手操作、观察思考、猜想推理、探求证明，不断培养学生学习兴趣和探究精神，以严谨的科学态度和不怕困难的顽强毅力提升解决问题的能力.