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数学的教与学，应该有数学的气质。
数学的教与学，应该有儿童的样子。
数学的教与学回归自然的状态，就是放手给孩子。
…………
数学是一门科学，数学教学的主体是儿童，因而我们提出：数学教学理应定位于“儿童研究”。
其实，数学不远……
数学是最为古老的科学，荷兰极负盛名的数学教育家弗赖登塔尔曾经提到：“数学实质上是人们常识的系统化。”诸多数学概念、规则、定律无不来源并发展于生活，同时，数学又是最容易创造的科学，历史上很多数学原理原本就是数学家们独立发现的。因而，我们要关注“儿童研究”，让儿童自主再构数学知识的形成、发展过程是符合数学学科的气质的。弗氏特别强调数学教育必须注重培养和发展儿童从客观现象发现数学问题的能力，他认为数学教育方法的核心是儿童的“再创造”。
每一位儿童都可以是数学家
儿童有异于大人的禀赋，有整体认知的能力，有天生而丰富的想象，更具有体验的勇气和超凡的原始创造力。卢梭一直认为，儿童的知识和情感生活之所以重要，并不是因为我们必须了解它，才能教育和培养儿童，而是因为童年是人类最接近“自然状态”的人生阶段。笔者坚信：每位儿童在正确的导引下，都可能通过自己的实践来获得数学。小学阶段的数学教学运用“儿童研究”的方式完全可能。
对“被主动”的突围
传统教学法常常因为数学看似理性的外表，而将它当作一个已经完成的现成形式，教科书更是多用文字表达思维过程，再加之教师常常习惯于教学资源的“拿来”，弱化个体思考，即便是目前流行的“发现法”，也往往只是流于形式，仅针对相对单立的知识片段，设置既定的研究路线，规定好有固定答案的问题，最终仍旧是“学”跟着“教”走，儿童仍旧“被主动”。儿童研究，是一种真正以儿童为出发点的教与学，这样的尝试在小学数学学习阶段是有价值的。
行走在“教与学”的中间地带
“学校教育的本质就是协助孩子打开经验世界，发展抽象思维能力，并为孩子的创造潜能和个性成长留白。”儿童研究，渴望打破教归教、学归学、教材仅教材、作业即练习的相对格局：以“大任务单”作为特殊的数学作业，外化学习者的思维，为教学提供一手对话信息与思辨突围节点，儿童本身即课程资源；以信息交换式对话展开课堂教学，教师着力于解惑释疑，促发价值交互，充分尊重儿童的本初直觉体验、主体建构、思维创新，同时，灵动掌控教与学双向回旋之舵。
一、任务前置，学在教之前
儿童研究，往往学在教之前。常常将某些学习“任务”（即课程目标的具体化）前置到课前，不给“预置”，不做讲解，没有提示，直接抛出“大任务单”，以特殊数学作业的身份介入儿童的学习世界，让他们在教师教之前，不自觉地卷入数学创造的历史，自然探寻知识形成的过程，俨然小数学家展开主体研究。
【案例：《复式条形统计图》（五上）大任务单】
这部分的教学目标是：使学生能够看懂和利用“复式条形统计图”里的数据；能够在统计图上画不同标记的直条表示两组数量；体会复式统计图表的特点。
“复式条形统计图”之外形，是人为创生的，旨在体现一定的意义与价值。然而，学习仅仅需要停留在看懂、能利用、会作图，还是需要深入其蕴含的本质内涵？笔者以为，让儿童完整地自我经历统计图的制作过程，更能促使他们独立悟到“复式条形统计图”的特点，领会各关键元素在需求中生成的意义，体会其存在的价值，更为未来的理解与学习积蓄能量。
“直觉比以往任何时候都更加成为数学发现的创造源泉。”可以想见，虽然个体建构情况不尽相同，然而个体的独立创造却令人称奇。儿童的作业情况如下：50人中41人选择制作“复式条形统计图”（他们认为：本题更多关注兴趣小组人数的多少、数据的对比，不太需要体现变化趋势）。41人均能选择8根条形表示各年级各组数据，其中30人选择了8根条形两两紧靠，以示它们表示的是同一兴趣小组的人数。他们除了能正确标注标题、日期、数据、刻度、单位等原本已认知的条形统计图中的代表性元素外，更有23人自发使用了“图例”这个“复式条形统计图”特有的但在此阶段首次出现在“复式条形统计图”中的元素（其中的15人甚至以较为科学却又是独创的图例表示方式标注在统计图的右上角，另8人用而未标）。这些是儿童进行原始积累时纯粹因需而创的，这些完全度不一的“大任务单答案”均成为笔者课上展开教学对话时层层递进的鲜活蓝本。显然，这里的教学才是源于儿童的，课自然也是他们参与创编的产物。
二、再造参数，教为学附属
儿童研究，是一种针对当下数学教学空间所呈现的封闭状态的研究。其中有空间的封闭，但更多的是教学过程中所呈现的思想封闭。笔者认为，教与学的过程更应该是思维的渐变衍生，即从相对封闭到开放的过程，教学在这样的过程中获取意义、汲取重建的力量。
【案例：《方程》（六上）】
怎样合理利用题目中的两个并列的已知条件？教材选择了画线段图。先在表示水面面积的线段上填“3x”，再在线段图的右边括号里填“290”，在图上感受水面面积和陆地面积之间的倍数关系。然后让儿童通过填空写出等量关系，体会水面面积和陆地面积一共290公顷是这个实际问题里的等量关系。
然而，教与学的过程不应仅仅依赖规定内容作为唯一目标。其实，教学一旦开始，其自身便能够构建自己的参数，甚至在无形的思维推动下自主而非线性地处理课程材料。笔者在本课的尝试中，先略去图示与文字关系式的出示，随即，在课堂对话中，敏锐扣紧生长契机，鼓励儿童以更多元的洞察力和更强大的思维重新审视学习现场，他们出乎意料地展开了颇为高端的价值思考，实现了认知生长。
生1：我发现这里要解决的问题与之前的相比，最大的区别在于：它有两个未知数需要我们确认。
师（急速调整原本要引导他们分析等量关系的打算）：两个未知数该设谁为“x”？又该怎么去设？ 生2：设好设的那个！
师（开始展开非线性对话，试图采撷有效信息）：谁是好设的那个？怎么就好设了？另一个怎么办？
（大部分儿童不出所料，走在既定“思路”上，提出设“水面面积”为x公顷，则“陆地面积”为3x公顷，顺向的倍比一目了然。）
生3：“陆地面积”也可以设为x公顷……
师（不失时机扣住此处稍纵即逝的“有机”生长点，继续推进对话）：有想法！不好设就真的不好设了吗？
师（再推进思考）：一定只能设其中一个为未知数列方程解决问题吗？
上述两条解决问题的“新”思路即成为当天儿童独立完成的“大任务单”，第二天的作业呈现令笔者讶异：班上大部分人能独立列出“x÷3 x=290”或“■x x=290”的方程并能利用等式性质进行转化得到解，更有甚者自发尝试解分数方程并找出答案；另外，班上有一半以上的人自我创编了“设两个未知数并列出两道方程以求解”的方法（实为七年级“二元一次方程组”的雏形），并通过较为原始却各自有创意的解决办法寻得了答案。
实验表明，课程——作为内容与教学相互交织的总体神奇般地随其螺旋式旋转而达到更深入的未知领域时，愈发激动人心。笔者认为，只有在这样复杂的、综合的，有时甚至是“奇特”的过程中，儿童的思想才能得以独立而有创造地生长，而学生学习数学的过程只有附着在意义建构中才具生命力。
三、反刍价值，学为教释义
教与学有一个重要归宿，即更好地生存。每位儿童都生活在自己的“数学现实”里，由于思维水平的差异，他们对学习价值的感受不可能处于相同水平。此刻，放大“价值效应”，让儿童充分享有“再创造”的自由，甚至鼓励他们亲自创编基于生活的学习目标化问题，以便更好地让“学”回归生活，并赋予“教”更为深刻的内涵。
【案例：《复式折线统计图》（五下）大任务单】
任务一：你怎么理解“复式折线统计图”？
任务二：一张完整的“复式折线统计图”可能具备哪些元素？
任务三：自编一道“解决问题”的练习题，需要用到“复式折线统计图”来解决。（友情提醒：你需要设计好有价值的问题，并自制统计图表来解决哟！）
任务四：你认为“复式折线统计图“有怎样的存在价值？（它与“复式条形统计图“的区别在哪里？优势又在哪里呢？）
设计意图：通过取舍“有价值”的问题聚焦“复式折线统计图”的存在价值。从任务一、二、四的完成情况来看，大部分儿童能独立而准确地认识“复式折线统计图”的特征及优势。第三个任务的完成情况令人惊喜。几乎所有的儿童都能针对该类统计图的特性及优势设计问题，并能独立解决，其中更有18人提出了极具现实意义甚至突破课堂学习本身、真正回归生活的有价值的问题，如：（1）请根据航模小组制作的两架飞机模型的飞行时间及高度的统计数据制成统计图表，选定一架参加航模大赛。（2）请根据两支球队对抗赛前几轮的对比情况制作统计图。如果派出代表队参赛，你会选择哪一队？（3）请根据两种款式的羽绒服几个月的销量统计情况，评价哪一款更受欢迎。（4）请根据两个城市半年温差的统计情况制作统计图表。如果选择在一个城市进行半年休养，你会如何选择？（5）制作两位病人的心电比对图。受条件限制，现只能开启一个手术室，应该先救谁？（6）根据《林师傅在首尔》电视剧中被观众喜欢角色的人数统计情况，如果你是导演，最需要与哪位演员沟通？或是请编剧对哪个角色进行适当的润泽？诸多问题，儿童不再仅仅沉浸于“学了什么”，更多是对“为什么而学”的理解！
儿童研究，其终极价值是“教是为了不教”。如果儿童有足够的兴趣、能力和能量，可以自我管理，甚至自我教与学，那该是一种怎样的幸福？笔者在实验班不仅尝试让所有的儿童编撰教材（人手一本“生本教材”），还成立了班本化“课程研发部”，培养草根化本土“小老师”。班级研发部成员独立备课、制作PPT、合作上课，他们的学习独立性及自主能力得到了异乎寻常的提升。
当儿童的思维经过教师“拨云见日”后通透拔节时，“教与学”的方式悄然变革，整个教学过程自然成为“儿童研究”的过程。教学的最佳形态，就是儿童既是学习者，更是研究者、组织者、参与者，甚至是课程的决策、创编者……，儿童即课程。
（作者单位：江苏省扬州市梅岭小学）
数学的教与学，应该有儿童的样子。
数学的教与学回归自然的状态，就是放手给孩子。
…………
数学是一门科学，数学教学的主体是儿童，因而我们提出：数学教学理应定位于“儿童研究”。
其实，数学不远……
数学是最为古老的科学，荷兰极负盛名的数学教育家弗赖登塔尔曾经提到：“数学实质上是人们常识的系统化。”诸多数学概念、规则、定律无不来源并发展于生活，同时，数学又是最容易创造的科学，历史上很多数学原理原本就是数学家们独立发现的。因而，我们要关注“儿童研究”，让儿童自主再构数学知识的形成、发展过程是符合数学学科的气质的。弗氏特别强调数学教育必须注重培养和发展儿童从客观现象发现数学问题的能力，他认为数学教育方法的核心是儿童的“再创造”。
每一位儿童都可以是数学家
儿童有异于大人的禀赋，有整体认知的能力，有天生而丰富的想象，更具有体验的勇气和超凡的原始创造力。卢梭一直认为，儿童的知识和情感生活之所以重要，并不是因为我们必须了解它，才能教育和培养儿童，而是因为童年是人类最接近“自然状态”的人生阶段。笔者坚信：每位儿童在正确的导引下，都可能通过自己的实践来获得数学。小学阶段的数学教学运用“儿童研究”的方式完全可能。
对“被主动”的突围
传统教学法常常因为数学看似理性的外表，而将它当作一个已经完成的现成形式，教科书更是多用文字表达思维过程，再加之教师常常习惯于教学资源的“拿来”，弱化个体思考，即便是目前流行的“发现法”，也往往只是流于形式，仅针对相对单立的知识片段，设置既定的研究路线，规定好有固定答案的问题，最终仍旧是“学”跟着“教”走，儿童仍旧“被主动”。儿童研究，是一种真正以儿童为出发点的教与学，这样的尝试在小学数学学习阶段是有价值的。
行走在“教与学”的中间地带
“学校教育的本质就是协助孩子打开经验世界，发展抽象思维能力，并为孩子的创造潜能和个性成长留白。”儿童研究，渴望打破教归教、学归学、教材仅教材、作业即练习的相对格局：以“大任务单”作为特殊的数学作业，外化学习者的思维，为教学提供一手对话信息与思辨突围节点，儿童本身即课程资源；以信息交换式对话展开课堂教学，教师着力于解惑释疑，促发价值交互，充分尊重儿童的本初直觉体验、主体建构、思维创新，同时，灵动掌控教与学双向回旋之舵。
一、任务前置，学在教之前
儿童研究，往往学在教之前。常常将某些学习“任务”（即课程目标的具体化）前置到课前，不给“预置”，不做讲解，没有提示，直接抛出“大任务单”，以特殊数学作业的身份介入儿童的学习世界，让他们在教师教之前，不自觉地卷入数学创造的历史，自然探寻知识形成的过程，俨然小数学家展开主体研究。
【案例：《复式条形统计图》（五上）大任务单】
这部分的教学目标是：使学生能够看懂和利用“复式条形统计图”里的数据；能够在统计图上画不同标记的直条表示两组数量；体会复式统计图表的特点。
“复式条形统计图”之外形，是人为创生的，旨在体现一定的意义与价值。然而，学习仅仅需要停留在看懂、能利用、会作图，还是需要深入其蕴含的本质内涵？笔者以为，让儿童完整地自我经历统计图的制作过程，更能促使他们独立悟到“复式条形统计图”的特点，领会各关键元素在需求中生成的意义，体会其存在的价值，更为未来的理解与学习积蓄能量。
“直觉比以往任何时候都更加成为数学发现的创造源泉。”可以想见，虽然个体建构情况不尽相同，然而个体的独立创造却令人称奇。儿童的作业情况如下：50人中41人选择制作“复式条形统计图”（他们认为：本题更多关注兴趣小组人数的多少、数据的对比，不太需要体现变化趋势）。41人均能选择8根条形表示各年级各组数据，其中30人选择了8根条形两两紧靠，以示它们表示的是同一兴趣小组的人数。他们除了能正确标注标题、日期、数据、刻度、单位等原本已认知的条形统计图中的代表性元素外，更有23人自发使用了“图例”这个“复式条形统计图”特有的但在此阶段首次出现在“复式条形统计图”中的元素（其中的15人甚至以较为科学却又是独创的图例表示方式标注在统计图的右上角，另8人用而未标）。这些是儿童进行原始积累时纯粹因需而创的，这些完全度不一的“大任务单答案”均成为笔者课上展开教学对话时层层递进的鲜活蓝本。显然，这里的教学才是源于儿童的，课自然也是他们参与创编的产物。
二、再造参数，教为学附属
儿童研究，是一种针对当下数学教学空间所呈现的封闭状态的研究。其中有空间的封闭，但更多的是教学过程中所呈现的思想封闭。笔者认为，教与学的过程更应该是思维的渐变衍生，即从相对封闭到开放的过程，教学在这样的过程中获取意义、汲取重建的力量。
【案例：《方程》（六上）】
怎样合理利用题目中的两个并列的已知条件？教材选择了画线段图。先在表示水面面积的线段上填“3x”，再在线段图的右边括号里填“290”，在图上感受水面面积和陆地面积之间的倍数关系。然后让儿童通过填空写出等量关系，体会水面面积和陆地面积一共290公顷是这个实际问题里的等量关系。
然而，教与学的过程不应仅仅依赖规定内容作为唯一目标。其实，教学一旦开始，其自身便能够构建自己的参数，甚至在无形的思维推动下自主而非线性地处理课程材料。笔者在本课的尝试中，先略去图示与文字关系式的出示，随即，在课堂对话中，敏锐扣紧生长契机，鼓励儿童以更多元的洞察力和更强大的思维重新审视学习现场，他们出乎意料地展开了颇为高端的价值思考，实现了认知生长。
生1：我发现这里要解决的问题与之前的相比，最大的区别在于：它有两个未知数需要我们确认。
师（急速调整原本要引导他们分析等量关系的打算）：两个未知数该设谁为“x”？又该怎么去设？ 生2：设好设的那个！
师（开始展开非线性对话，试图采撷有效信息）：谁是好设的那个？怎么就好设了？另一个怎么办？
（大部分儿童不出所料，走在既定“思路”上，提出设“水面面积”为x公顷，则“陆地面积”为3x公顷，顺向的倍比一目了然。）
生3：“陆地面积”也可以设为x公顷……
师（不失时机扣住此处稍纵即逝的“有机”生长点，继续推进对话）：有想法！不好设就真的不好设了吗？
师（再推进思考）：一定只能设其中一个为未知数列方程解决问题吗？
上述两条解决问题的“新”思路即成为当天儿童独立完成的“大任务单”，第二天的作业呈现令笔者讶异：班上大部分人能独立列出“x÷3 x=290”或“■x x=290”的方程并能利用等式性质进行转化得到解，更有甚者自发尝试解分数方程并找出答案；另外，班上有一半以上的人自我创编了“设两个未知数并列出两道方程以求解”的方法（实为七年级“二元一次方程组”的雏形），并通过较为原始却各自有创意的解决办法寻得了答案。
实验表明，课程——作为内容与教学相互交织的总体神奇般地随其螺旋式旋转而达到更深入的未知领域时，愈发激动人心。笔者认为，只有在这样复杂的、综合的，有时甚至是“奇特”的过程中，儿童的思想才能得以独立而有创造地生长，而学生学习数学的过程只有附着在意义建构中才具生命力。
三、反刍价值，学为教释义
教与学有一个重要归宿，即更好地生存。每位儿童都生活在自己的“数学现实”里，由于思维水平的差异，他们对学习价值的感受不可能处于相同水平。此刻，放大“价值效应”，让儿童充分享有“再创造”的自由，甚至鼓励他们亲自创编基于生活的学习目标化问题，以便更好地让“学”回归生活，并赋予“教”更为深刻的内涵。
【案例：《复式折线统计图》（五下）大任务单】
任务一：你怎么理解“复式折线统计图”？
任务二：一张完整的“复式折线统计图”可能具备哪些元素？
任务三：自编一道“解决问题”的练习题，需要用到“复式折线统计图”来解决。（友情提醒：你需要设计好有价值的问题，并自制统计图表来解决哟！）
任务四：你认为“复式折线统计图“有怎样的存在价值？（它与“复式条形统计图“的区别在哪里？优势又在哪里呢？）
设计意图：通过取舍“有价值”的问题聚焦“复式折线统计图”的存在价值。从任务一、二、四的完成情况来看，大部分儿童能独立而准确地认识“复式折线统计图”的特征及优势。第三个任务的完成情况令人惊喜。几乎所有的儿童都能针对该类统计图的特性及优势设计问题，并能独立解决，其中更有18人提出了极具现实意义甚至突破课堂学习本身、真正回归生活的有价值的问题，如：（1）请根据航模小组制作的两架飞机模型的飞行时间及高度的统计数据制成统计图表，选定一架参加航模大赛。（2）请根据两支球队对抗赛前几轮的对比情况制作统计图。如果派出代表队参赛，你会选择哪一队？（3）请根据两种款式的羽绒服几个月的销量统计情况，评价哪一款更受欢迎。（4）请根据两个城市半年温差的统计情况制作统计图表。如果选择在一个城市进行半年休养，你会如何选择？（5）制作两位病人的心电比对图。受条件限制，现只能开启一个手术室，应该先救谁？（6）根据《林师傅在首尔》电视剧中被观众喜欢角色的人数统计情况，如果你是导演，最需要与哪位演员沟通？或是请编剧对哪个角色进行适当的润泽？诸多问题，儿童不再仅仅沉浸于“学了什么”，更多是对“为什么而学”的理解！
儿童研究，其终极价值是“教是为了不教”。如果儿童有足够的兴趣、能力和能量，可以自我管理，甚至自我教与学，那该是一种怎样的幸福？笔者在实验班不仅尝试让所有的儿童编撰教材（人手一本“生本教材”），还成立了班本化“课程研发部”，培养草根化本土“小老师”。班级研发部成员独立备课、制作PPT、合作上课，他们的学习独立性及自主能力得到了异乎寻常的提升。
当儿童的思维经过教师“拨云见日”后通透拔节时，“教与学”的方式悄然变革，整个教学过程自然成为“儿童研究”的过程。教学的最佳形态，就是儿童既是学习者，更是研究者、组织者、参与者，甚至是课程的决策、创编者……，儿童即课程。
（作者单位：江苏省扬州市梅岭小学）