论文部分内容阅读
一元二次方程是初中代数的重要内容，然而很多同学由于受思维定势的影响，往往会忽视含有字母系数的一元二次方程中的隐含条件，致使解答陷入误区.具体表现主要有以下几方面.
一、忽视二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大
例1已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有实根，求a的取值范围.
错解：因为方程有实根，所以△≥0
即4(a+2)2-4(a2-1)≥0
解得 a≥-54
剖析：由一元二次方程的定义知： a2-1≠0.
二、忽视△≥0导致错解
例2已知：x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两实根，求x21+x22的最大值.
错解：由根与系数的关系得：
x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5
所以 x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2
=(k-2)2-2(k2+3k+5)
=-k2-10k-5=-(k+5)2+19.
所以当k=-5时，x21+x22有最大值19.
剖析：当k=-5时，原方程变为x2+7x+15=0，此时Δ＜0，方程无实根！错因是忽略了Δ≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故Δ≥0.
三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
例3 已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0，当k为何值时，方程有实数根？
错解：因为方程有实数根，所以Δ≥0
即［-2(k+1)］2-4k(k-1)≥0.
解得k≥-13，又因为k≠0,
所以k≥-13且k≠0.
剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论.
五、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大
例4若二次方程x2-6x+5-m=0的两实根都大于2，则m的取值范围为
错解：设方程两实根为x1、x2，则x1>2,x2>2
所以x1+x2>4,x1x2>4
依题意得x1+x2=6>4
x1x2=5-m>4
Δ=36-4(5-m)≥0
解得-4≤m<1
剖析：当m＝0时，原方程为x2-6x+5=0，其根为x1=1,x2=5，显然不合题意，错因在于：由x1>2，且x2>2得x1+x2>4,x1x2>4成立；反之，由x1·x2>4则不一定有x1>2且x2>2成立.
六、忽视题目中的隐含条件导致错解
例5已知a、b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的两个根且a、b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值.
错解：因为a、b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的两个根
所以a+b=1-k,ab=k+1,
又由已知得：a2+b2=1
所以(a+b)2-2ab=1, 即k2-4k-2=0, 解得k=2±6.
剖析：由于a，b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以a>0,b>0，从而a+b>0,ab>0，当k=2+6时a+b=1-k=-1-6<0，故k=2+6不合题意，舍去.
注：通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用.
一、忽视二次项系数a≠0导致字母系数取值范围扩大
例1已知关于x的一元二次方程(a2-1)x2+2(a+2)x+1=0有实根，求a的取值范围.
错解：因为方程有实根，所以△≥0
即4(a+2)2-4(a2-1)≥0
解得 a≥-54
剖析：由一元二次方程的定义知： a2-1≠0.
二、忽视△≥0导致错解
例2已知：x1、x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两实根，求x21+x22的最大值.
错解：由根与系数的关系得：
x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5
所以 x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2
=(k-2)2-2(k2+3k+5)
=-k2-10k-5=-(k+5)2+19.
所以当k=-5时，x21+x22有最大值19.
剖析：当k=-5时，原方程变为x2+7x+15=0，此时Δ＜0，方程无实根！错因是忽略了Δ≥0这一重要前提，由于方程有两实根，故Δ≥0.
三、忽视“方程有实根”的含义，导致字母系数取值范围缩小
例3 已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0，当k为何值时，方程有实数根？
错解：因为方程有实数根，所以Δ≥0
即［-2(k+1)］2-4k(k-1)≥0.
解得k≥-13，又因为k≠0,
所以k≥-13且k≠0.
剖析：“方程有实根”在此题中应理解为：方程有一个实数根或有二个实数根，故此题应分一元一次方程与一元二次方程两种情况讨论.
五、忽视对一元二次方程两根的具体分析导致字母系数取值范围扩大
例4若二次方程x2-6x+5-m=0的两实根都大于2，则m的取值范围为
错解：设方程两实根为x1、x2，则x1>2,x2>2
所以x1+x2>4,x1x2>4
依题意得x1+x2=6>4
x1x2=5-m>4
Δ=36-4(5-m)≥0
解得-4≤m<1
剖析：当m＝0时，原方程为x2-6x+5=0，其根为x1=1,x2=5，显然不合题意，错因在于：由x1>2，且x2>2得x1+x2>4,x1x2>4成立；反之，由x1·x2>4则不一定有x1>2且x2>2成立.
六、忽视题目中的隐含条件导致错解
例5已知a、b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的两个根且a、b是某直角三角形的两条直角边，其斜边长等于1，求k的值.
错解：因为a、b是方程x2+(k-1)x+k+1=0的两个根
所以a+b=1-k,ab=k+1,
又由已知得：a2+b2=1
所以(a+b)2-2ab=1, 即k2-4k-2=0, 解得k=2±6.
剖析：由于a，b既是方程的两根，又是直角三角形的两直角边，所以a>0,b>0，从而a+b>0,ab>0，当k=2+6时a+b=1-k=-1-6<0，故k=2+6不合题意，舍去.
注：通过以上几例错解剖析，提醒同学们在掌握一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性，学会数学反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用.