论文部分内容阅读
有学者指出：教师的教学能力、教师的学科知识视野，是数学课程改革的相关实践给予的一个重要启示与教训。因此，在实践课程改革的过程中，我们需要不断地审视自身的知识结构与课程内容的现实，努力做到对整个课程内容体系的“全景”把握，俯瞰自己所教学的课程内容。下面将以具体的课程内容“鸡兔同笼问题”来谈谈我的一些探索和思考。
人教版小学数学教材六年级上册的第7章的“数学广角”，主要内容就是解决“鸡兔同笼”类型的问题。教材在本章一开始就抛出了这道历史名题，但并没有立即着手解决它，而是通过简化的问题（8个头、26只脚的情形）来引出解决问题的各种方法，最后再通过“你能试着用上面的方法解决前面的‘鸡兔同笼’问题吗？”的提示让学生模仿所介绍的解决方法来解决本章开头提出的问题。随后，教材在练习二十六中设置了一系列变式问题供学生进行相应的练习。配套的教师用书指出，本章的教学目标是“让学生经历从猜测到用‘假设法’和列方程的方法解决问题的探究过程，同时学习和体验解决‘鸡兔同笼’问题的不同思路和方法，体会代数方法的优越性及允许学生自行选用不同方法解决问题而不强求统一解法”。这实际上是指出了解决问题方法多样化的具体教学要求。既然教材鼓励学生用多种方法解决问题，那么，我们自然要追问：解决鸡兔同笼问题的方法仅仅如本章教材所介绍的那么多吗？还有没有其他方法？本单元知识在整个中小学数学课程体系中的联系如何？……既然教学不等同于“教教材”，我们教师应该反思自己能比教材走得多远。
【反思一】对于鸡兔同笼问题，还有不同的解法吗？
如果将猜测也当做一种解法，那么教材里呈现的例1的解法，已经有5种之多。
解法1（猜测法）：猜测哪一组鸡兔数目的组合满足题意，是3只兔、5只鸡吗？还是4只鸡、4只兔？……
解法2（枚举法）：按照鸡的数目从最大（8只）到0来列举所有可能的鸡兔数目组合，从中找出满足题意的数目组合。
解法3（假设引出脚数差）：假设全部是鸡，通过脚数的差异找到兔子数，再得到鸡数。
解法4（列一元一次方程求解）：略。
解法5（用“鸡兔抬脚”的奇思妙想求解）：略。
这些解法大体上是按照从算术解法到代数解法的顺序编排的，突出了代数解法的一般性。然而，对于这个问题，还有不同的解法吗？作为教师，我们是否应该储备更多的解法呢？答案是肯定的。
比如，这个问题还可以用二元一次方程组来求解。设笼子里有鸡x只、兔y只，则x y=35，4 y 2 x =94。解之得到x=23，y=12。此外，当然还有其他解法，教材为了突出代数方法的一般性，所以只呈现了一部分解法。再加上二元一次方程组需要等到初中才正式学习，所以，教材将这种解法省略掉了。
【反思二】“鸡兔同笼问题”的教材编排体系如何？
尽管教材仅仅是将上面提到的各种解决方法当作供学生“模仿”的例子，但我们作为教师，是不应该停留在“模仿”的阶段上，应该善于拓展教学空间，储备更多的知识，走得比教材远。正如俗话所说 “要教给学生一杯水，自己得先有一桶水”，我们要能统观“鸡兔同笼问题”在整个教材体系中的编排。
首先，在五年级上册的第四章“简易方程”中，教材已经在练习十三当中设置了一道这样的练习题：鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条，鸡和兔各有多少只？在那里，学生主要是用方程来求解的，至于将代数方法和方程方法专门对比、深化，这是在六年级上册才进行的。而除了沟通算术解法与代数解法，我们还应能够预期由本章各种解法向中学阶段二元一次方程组内容延伸的前景。而这些知识联系的空间，就是学生学科发展的空间。能否把握这个空间，是判断教师学科知识水平的一个重要指标。
【反思三】如何夯实学生学科发展的基础？
课本设置的鸡兔同笼问题类型的练习题，包括各种各样的求两样事物各几何的问题：龟鹤40只，脚112只；38人租大船和小船共8只，分别可载6人和4人；12人植树，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，共32棵树；自行车三轮车共10辆，26个轮子；篮球比赛3分球与2分球，张鹏投了15个进了9个，共21分；大珠小珠共30个重266克，大珠单个重11克，小珠单个重7克；答对一题加10分，答错一题扣6分，答10题得36分；37名学生分科技类小组和艺术类小组，科技类小组每组5人，艺术类小组每组3人，现分9个小组；有2分和5分硬币共b枚，钱的总数为a元，两种硬币各几何；花了231元买足球和篮球共6个，足球每个42元，篮球每个36元；100个和尚吃100个馒头，大和尚一人3个，小和尚三人1个……这些题目涵盖了各种生活情境。对此，教材的导向很明确，既要使学生佩服古人的奇思妙想和聪明才智，也要让学生能够在多种解决方法的探索和对比当中认识到解决问题策略的多样性和代数方法的优越性，从而促进其逻辑推理能力的发展，锻炼学生观察、分析、推理和解决问题的能力。因而，通过解决这一系列问题，让学生善于在不同的情境中把握问题的本质，这显然就是学生学科发展的基石，应该成为一个最基本的教学要求。对此，我们又应该如何把握呢？
首先，我们需要引领学生辨别鸡兔同笼问题的本质。比如，通过练习二十六中的这一道题目“盒子里装着5分和2分的硬币，一人从盒中任意取出硬币若干，并说出硬币的个数和总钱数，另一人来猜其中5分硬币有几个。”其实能够帮助学生获得进一步的精细化认识：尽管这里的“5分”不是一个偶数（例题里的鸡和兔的脚数都是偶数），但它仍然适用类似的解决方法。由此，可以延伸出例题当中的“脚数”可以是任意整数的认识。这样就排除了奇（偶）数这个非本质信息。类似的，关于抢答加分和扣分的问题，也让学生对于“脚数”这个量的认识得到拓展。这些类似的拓展信息，其实都不是解决这类问题的本质。其次，我们需要让学生明确，解决此类问题，关键就在于如何辨别问题中与例题中的“鸡”“兔”相对应的量，以及与“鸡脚”“兔脚”相对应的量，并能够将例题中的数量关系迁移到新的问题情境中。而只有“鸡”“兔”相对应的量，以及与“鸡脚”“兔脚”相对应的量，这四个量之间的关系及其联结着的结构，才是这类数学问题的本质结构。只有把握了这个本质结构，学生才能获得解决这类问题的一般经验，这才是学生跨越“模仿”教师和例题，获得学科能力发展的关键。因此，在教学当中，我们不能仅仅带领学生解完问题以后就戛然而止，而应该引导学生对解决这些众多问题的过程进行回顾与反思，将学生的认识进一步升华到这个本质结构的理解上去。这就是我们需要帮学生夯实的“基础”。
事实上，以上几个方面包括了对教学内容拓展空间的反思、对课程内容编排体系的反思、对学生发展基点的反思，这样的立体式思考，就构成了对该教学单元的“解剖麻雀式”的思考，从而使我们获得了对该单元课程内容的整体把握。而这种思考的线索，无疑也能为我们对其他教学内容的思考产生一定的启发。
学科知识并不是成功教学所需要知识的全部，但它是教学的必要条件，对教学起着重要的影响作用。我们不仅要把握好教材载明的对于“鸡兔同笼”问题的各种教学要求和建议，还要拥有一个基于整个义务教育一贯制课程的“全局视野”，能够知晓小学和初中课程内容及学生数学发展的衔接，才可能使我们的教学做到高屋建瓴、高瞻远瞩。总之，宽阔的课程视野，应该成为教师实践课程目标的主动追求。
【本文为广西教师教育2010年度立项项目研究课题——新课程改革中数学课堂教学的成功转型（桂教师范[2010]60号）研究成果】
（责编 金 铃）
人教版小学数学教材六年级上册的第7章的“数学广角”，主要内容就是解决“鸡兔同笼”类型的问题。教材在本章一开始就抛出了这道历史名题，但并没有立即着手解决它，而是通过简化的问题（8个头、26只脚的情形）来引出解决问题的各种方法，最后再通过“你能试着用上面的方法解决前面的‘鸡兔同笼’问题吗？”的提示让学生模仿所介绍的解决方法来解决本章开头提出的问题。随后，教材在练习二十六中设置了一系列变式问题供学生进行相应的练习。配套的教师用书指出，本章的教学目标是“让学生经历从猜测到用‘假设法’和列方程的方法解决问题的探究过程，同时学习和体验解决‘鸡兔同笼’问题的不同思路和方法，体会代数方法的优越性及允许学生自行选用不同方法解决问题而不强求统一解法”。这实际上是指出了解决问题方法多样化的具体教学要求。既然教材鼓励学生用多种方法解决问题，那么，我们自然要追问：解决鸡兔同笼问题的方法仅仅如本章教材所介绍的那么多吗？还有没有其他方法？本单元知识在整个中小学数学课程体系中的联系如何？……既然教学不等同于“教教材”，我们教师应该反思自己能比教材走得多远。
【反思一】对于鸡兔同笼问题，还有不同的解法吗？
如果将猜测也当做一种解法，那么教材里呈现的例1的解法，已经有5种之多。
解法1（猜测法）：猜测哪一组鸡兔数目的组合满足题意，是3只兔、5只鸡吗？还是4只鸡、4只兔？……
解法2（枚举法）：按照鸡的数目从最大（8只）到0来列举所有可能的鸡兔数目组合，从中找出满足题意的数目组合。
解法3（假设引出脚数差）：假设全部是鸡，通过脚数的差异找到兔子数，再得到鸡数。
解法4（列一元一次方程求解）：略。
解法5（用“鸡兔抬脚”的奇思妙想求解）：略。
这些解法大体上是按照从算术解法到代数解法的顺序编排的，突出了代数解法的一般性。然而，对于这个问题，还有不同的解法吗？作为教师，我们是否应该储备更多的解法呢？答案是肯定的。
比如，这个问题还可以用二元一次方程组来求解。设笼子里有鸡x只、兔y只，则x y=35，4 y 2 x =94。解之得到x=23，y=12。此外，当然还有其他解法，教材为了突出代数方法的一般性，所以只呈现了一部分解法。再加上二元一次方程组需要等到初中才正式学习，所以，教材将这种解法省略掉了。
【反思二】“鸡兔同笼问题”的教材编排体系如何？
尽管教材仅仅是将上面提到的各种解决方法当作供学生“模仿”的例子，但我们作为教师，是不应该停留在“模仿”的阶段上，应该善于拓展教学空间，储备更多的知识，走得比教材远。正如俗话所说 “要教给学生一杯水，自己得先有一桶水”，我们要能统观“鸡兔同笼问题”在整个教材体系中的编排。
首先，在五年级上册的第四章“简易方程”中，教材已经在练习十三当中设置了一道这样的练习题：鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条，鸡和兔各有多少只？在那里，学生主要是用方程来求解的，至于将代数方法和方程方法专门对比、深化，这是在六年级上册才进行的。而除了沟通算术解法与代数解法，我们还应能够预期由本章各种解法向中学阶段二元一次方程组内容延伸的前景。而这些知识联系的空间，就是学生学科发展的空间。能否把握这个空间，是判断教师学科知识水平的一个重要指标。
【反思三】如何夯实学生学科发展的基础？
课本设置的鸡兔同笼问题类型的练习题，包括各种各样的求两样事物各几何的问题：龟鹤40只，脚112只；38人租大船和小船共8只，分别可载6人和4人；12人植树，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，共32棵树；自行车三轮车共10辆，26个轮子；篮球比赛3分球与2分球，张鹏投了15个进了9个，共21分；大珠小珠共30个重266克，大珠单个重11克，小珠单个重7克；答对一题加10分，答错一题扣6分，答10题得36分；37名学生分科技类小组和艺术类小组，科技类小组每组5人，艺术类小组每组3人，现分9个小组；有2分和5分硬币共b枚，钱的总数为a元，两种硬币各几何；花了231元买足球和篮球共6个，足球每个42元，篮球每个36元；100个和尚吃100个馒头，大和尚一人3个，小和尚三人1个……这些题目涵盖了各种生活情境。对此，教材的导向很明确，既要使学生佩服古人的奇思妙想和聪明才智，也要让学生能够在多种解决方法的探索和对比当中认识到解决问题策略的多样性和代数方法的优越性，从而促进其逻辑推理能力的发展，锻炼学生观察、分析、推理和解决问题的能力。因而，通过解决这一系列问题，让学生善于在不同的情境中把握问题的本质，这显然就是学生学科发展的基石，应该成为一个最基本的教学要求。对此，我们又应该如何把握呢？
首先，我们需要引领学生辨别鸡兔同笼问题的本质。比如，通过练习二十六中的这一道题目“盒子里装着5分和2分的硬币，一人从盒中任意取出硬币若干，并说出硬币的个数和总钱数，另一人来猜其中5分硬币有几个。”其实能够帮助学生获得进一步的精细化认识：尽管这里的“5分”不是一个偶数（例题里的鸡和兔的脚数都是偶数），但它仍然适用类似的解决方法。由此，可以延伸出例题当中的“脚数”可以是任意整数的认识。这样就排除了奇（偶）数这个非本质信息。类似的，关于抢答加分和扣分的问题，也让学生对于“脚数”这个量的认识得到拓展。这些类似的拓展信息，其实都不是解决这类问题的本质。其次，我们需要让学生明确，解决此类问题，关键就在于如何辨别问题中与例题中的“鸡”“兔”相对应的量，以及与“鸡脚”“兔脚”相对应的量，并能够将例题中的数量关系迁移到新的问题情境中。而只有“鸡”“兔”相对应的量，以及与“鸡脚”“兔脚”相对应的量，这四个量之间的关系及其联结着的结构，才是这类数学问题的本质结构。只有把握了这个本质结构，学生才能获得解决这类问题的一般经验，这才是学生跨越“模仿”教师和例题，获得学科能力发展的关键。因此，在教学当中，我们不能仅仅带领学生解完问题以后就戛然而止，而应该引导学生对解决这些众多问题的过程进行回顾与反思，将学生的认识进一步升华到这个本质结构的理解上去。这就是我们需要帮学生夯实的“基础”。
事实上，以上几个方面包括了对教学内容拓展空间的反思、对课程内容编排体系的反思、对学生发展基点的反思，这样的立体式思考，就构成了对该教学单元的“解剖麻雀式”的思考，从而使我们获得了对该单元课程内容的整体把握。而这种思考的线索，无疑也能为我们对其他教学内容的思考产生一定的启发。
学科知识并不是成功教学所需要知识的全部，但它是教学的必要条件，对教学起着重要的影响作用。我们不仅要把握好教材载明的对于“鸡兔同笼”问题的各种教学要求和建议，还要拥有一个基于整个义务教育一贯制课程的“全局视野”，能够知晓小学和初中课程内容及学生数学发展的衔接，才可能使我们的教学做到高屋建瓴、高瞻远瞩。总之，宽阔的课程视野，应该成为教师实践课程目标的主动追求。
【本文为广西教师教育2010年度立项项目研究课题——新课程改革中数学课堂教学的成功转型（桂教师范[2010]60号）研究成果】
（责编 金 铃）