论文部分内容阅读
日本数学史家米山国藏在他的著作《数学的精神、思想和方法》中说道:“不管他们(指学生)从事什么业务工作,即使把所教给的知识(概念、定理、法则和公式等)全忘了,唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用,使他们受益终生。”随着社会的发展,要想实现终身学习和人的可持续发展,重要的是在教育中发展学生的能力,使之掌握获得知识和进一步学习的方法,逐渐掌握蕴涵在知识内的数学思想和方法。只有这样,才能使学生真正感受到数学的价值和力量。小学是学生学习数学知识的启蒙时期,这一阶段注意给学生渗透基本的数学思想便显得尤为重要。
数学是研究空间形式和数量关系的科学,因此数形结合思想是重要的数学思想方法之一。著名数学家华罗庚指出:“数缺少形时少直观,形少数时难入微。”这句话说明了“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候,往往要借助于“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”。数形结合具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在小学数学教学中,主要有三种类型:以“形”思“数”、以“数”想“形”和“数“形”互译。
下面就小学数学教学中的数形结合思想的渗透与应用,谈谈我的认识。
1.以“形”思“数”,帮助学生建立数感
小学生思维以形象思维为主,逐步向抽象思维过渡。小学数学中的数量关系是比较抽象的,学生难以理解。由于“数”和“形”有一种对应关系,而“形”具有形象、直观的优点,能表达较多具体的思维,能帮助学生理解抽象的数量关系,因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来,利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模型”,这种模型是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题,并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法,就是以“形”思“数”图形分析法。
数是抽象的数学知识,形是具体实物、图形、模型、学具,数和形是紧密联系的。学生只有先从形的方面进行形象思维,通过观察、操作,进行比较、分析,在感性材料基础上进行抽象,才能获得数的知识。所以,在低年级的数学课堂教学中,数形结合是常用的手段之一,因为它能有效地为毫无数字概念的孩子建立数感。一般认为,20以内甚至100以内的数学生大多会读会写,因此往往忽视教学过程中的动手操作。事实上,操作恰恰是建立数感的有效途径。
例如,在教学“20的认识”时,教师既要演示,又要让学生亲自动手用摆小棒的方法从11数到19,然后用稍稍缓慢的动作清楚地演示出19根小棒添上1根是1捆加十个1个,再将10个1根捆成1捆,这样就是2捆,即2个10根,也就是20根。这样的过程使学生清楚地感受到20是在19的基础上添上1生成的,这对后面30、40、50等整十数的认识有很强的提示作用。而100的认识更要让学生通过数小棒经历99添上1就是10个十,10个十是1个百即100的生成过程,从而体会两位数向三位数的变化,明白数位的顺序及各数位的价值。
在小学阶段,以“形”思“数”的数形结合思想是最普遍的,几乎每册教材中都有。低段教材,对数的意义的理解和数的乘、除、加、减的四则计算等,教材上都配有相应的实物图形;高段教材,利用线段图表示行程问题、分数应用题的数量关系,其编写意图就是渗透数形结合思想,利用形象、直观的“形”帮助学生理解抽象的“数”。
2.以“数”想“形”,培养学生空间观念
虽然“形”有形象、直观的优点,但在定量方面还必须借助“数”的计算。特别是对于较复杂的“形”,不但要正确地把图形数字化,而且还要留心观察图形的特点,充分利用图形的意义或性质,把“形”正确表示成“数”的形式,进行分析、判断、计算,从而得出所需的“形”。空间观念是物体的形状、大小、长短和互相位置关系的表象。要培养和发展学生的空间观念,教学时既要联系实际,让学生动手操作,看到具体的形,又要通过计算去分析、判断、比较,抽象概括出规律与公式,用以“数”想“形”的数形结合思想培养学生的空间观念。例如,五年级下册“包装的学问”一课,将两盒长20cm、宽15cm、高5cm的糖果包成一包,怎样包装才能节约包装纸(接口处不计)?教学时,我让学生用相应的纸盒作为学具,动手摆一摆,再完成下面的表格。
通过观察上面的表格,得出节约包装纸的规律:重叠的面积越大,包装纸越节省,即长、宽、高的和越小,包装纸越节省。
这个教学过程就是利用以“数”想“形”的数形结合思想,让学生经历了三个空间观念建立的过程:动手操作——实物观察——抽象概括。这样学生从操作到观察,从观察到抽象,从抽象到想象,眼看、手动、脑想,整体感知具体事物模型,熟识和认知观察对象,使观察物的整体模型储存于脑海中形成印象。在境物交融中,学生看过、摸过、想过,从而使空间观念在活动体验中得以培养和形成。
像这样通过计算去分析、判断、比较,并抽象概括出规律或公式,然后应用规律、公式去判断、计算物体的形状、大小,就是以“数”想“形”的数形结合思想。在小学阶段,判断三角形的三边关系、三角形的内角和,计算平面图形的周长、面积,求立体图形的表面积、体积,也就是渗透用定量的“数”去描述具体的“形”的数形思想。
3.“数“形”互译,提升学生思维能力
“数”“形“互译是指在某些数学问题中,不仅仅是简单地以“形”思“数”或以“数”想“形”,而是需要“数”“形”互相变换。即不但想到由“形”的直观变为“数”的严密,还要由“数”的严密联系到“形”的直观。“形”“数”互译的一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”,实质就是以“数”化“形”、以“形”译“数”的结合。
在解决问题过程中,经常要用到“数”与“形”互译的数形结合思想,即把问题中的数量关系转译成图形,把抽象的数量关系形象化,再根据对图形的观察、分析、联想,逐步译成算式,以达到问题的解决。例如,五年级上册“鸡兔同笼”一课:鸡兔同笼,有20个头、54条腿,鸡、兔各几只?本课的解决问题教学策略书上采用列表尝试法。如果采用“数”“形”互译的画图法解,二年级的学生都能解答,并且可以从画图法引出数量关系,列式解答。引导学生画图如下:
(1)画20个头(2)每个头添上2只腿 (3)再添上剩余的14条腿
从图上可知兔有7只,鸡有13只。然后引导学生理解数量关系:首先假设20只全是鸡,每只鸡身上长2条腿,共20×2=40(条)腿,还剩余54-40=14(条)腿,鸡身上再长2条腿变成兔子,直到14条腿长完为止。这样就得到兔子14÷(4-2)=7(只),鸡20-7=13(只),列综合算式为(54-20×2)÷(4-2)。
从这个教学过程中不难看出:“数”“形”互译的过程,既是问题解决的过程,又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持,从而使解法变得十分简明扼要且巧妙。
在小学阶段,教学“正反比例的意义”就是把抽象的数量关系与形象的直观坐标图联系起来,在“数”“形”互译中去理解。其次,教学“统计与概率”较复杂的组合图形面积、立体图形的形体变换和立体图形的表面积、体积的变化等问题时,都需要用到“数”“形”互译的数形结合思想。再次,小学数学教学中常用的解决问题的策略有画图法、列表法、猜想与尝试法、从特例开始寻找规律法等,教学这些策略都需要用到以“数”化“形”、以“形”译“数”的数形结合思想。
总之,在小学数学教学中,数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料,可以将抽象的数量关系具体化,把无形的解题思路形象化,不仅有利于学生顺利的、高效的学好数学知识,更有利于学生学习兴趣的培养、数学思维的发展、知识应用能力的增强,使教学收到事半功倍之效。在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个小学学习领域中,都能应用数形结合思想进行教学,数形结合思想是小学数学教学中常用的、有效的教学策略。
巧妙地渗透、应用数形结合思想,既能为小学数学教学开辟一片广阔的天地,又能为学生的终身学习和可持续发展奠定扎实的基础。
(责编杜华)
数学是研究空间形式和数量关系的科学,因此数形结合思想是重要的数学思想方法之一。著名数学家华罗庚指出:“数缺少形时少直观,形少数时难入微。”这句话说明了“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候,往往要借助于“形”,在探讨“形”的性质时,又往往离不开“数”。数形结合具体地说就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在小学数学教学中,主要有三种类型:以“形”思“数”、以“数”想“形”和“数“形”互译。
下面就小学数学教学中的数形结合思想的渗透与应用,谈谈我的认识。
1.以“形”思“数”,帮助学生建立数感
小学生思维以形象思维为主,逐步向抽象思维过渡。小学数学中的数量关系是比较抽象的,学生难以理解。由于“数”和“形”有一种对应关系,而“形”具有形象、直观的优点,能表达较多具体的思维,能帮助学生理解抽象的数量关系,因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来,利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模型”,这种模型是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题,并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法,就是以“形”思“数”图形分析法。
数是抽象的数学知识,形是具体实物、图形、模型、学具,数和形是紧密联系的。学生只有先从形的方面进行形象思维,通过观察、操作,进行比较、分析,在感性材料基础上进行抽象,才能获得数的知识。所以,在低年级的数学课堂教学中,数形结合是常用的手段之一,因为它能有效地为毫无数字概念的孩子建立数感。一般认为,20以内甚至100以内的数学生大多会读会写,因此往往忽视教学过程中的动手操作。事实上,操作恰恰是建立数感的有效途径。
例如,在教学“20的认识”时,教师既要演示,又要让学生亲自动手用摆小棒的方法从11数到19,然后用稍稍缓慢的动作清楚地演示出19根小棒添上1根是1捆加十个1个,再将10个1根捆成1捆,这样就是2捆,即2个10根,也就是20根。这样的过程使学生清楚地感受到20是在19的基础上添上1生成的,这对后面30、40、50等整十数的认识有很强的提示作用。而100的认识更要让学生通过数小棒经历99添上1就是10个十,10个十是1个百即100的生成过程,从而体会两位数向三位数的变化,明白数位的顺序及各数位的价值。
在小学阶段,以“形”思“数”的数形结合思想是最普遍的,几乎每册教材中都有。低段教材,对数的意义的理解和数的乘、除、加、减的四则计算等,教材上都配有相应的实物图形;高段教材,利用线段图表示行程问题、分数应用题的数量关系,其编写意图就是渗透数形结合思想,利用形象、直观的“形”帮助学生理解抽象的“数”。
2.以“数”想“形”,培养学生空间观念
虽然“形”有形象、直观的优点,但在定量方面还必须借助“数”的计算。特别是对于较复杂的“形”,不但要正确地把图形数字化,而且还要留心观察图形的特点,充分利用图形的意义或性质,把“形”正确表示成“数”的形式,进行分析、判断、计算,从而得出所需的“形”。空间观念是物体的形状、大小、长短和互相位置关系的表象。要培养和发展学生的空间观念,教学时既要联系实际,让学生动手操作,看到具体的形,又要通过计算去分析、判断、比较,抽象概括出规律与公式,用以“数”想“形”的数形结合思想培养学生的空间观念。例如,五年级下册“包装的学问”一课,将两盒长20cm、宽15cm、高5cm的糖果包成一包,怎样包装才能节约包装纸(接口处不计)?教学时,我让学生用相应的纸盒作为学具,动手摆一摆,再完成下面的表格。
通过观察上面的表格,得出节约包装纸的规律:重叠的面积越大,包装纸越节省,即长、宽、高的和越小,包装纸越节省。
这个教学过程就是利用以“数”想“形”的数形结合思想,让学生经历了三个空间观念建立的过程:动手操作——实物观察——抽象概括。这样学生从操作到观察,从观察到抽象,从抽象到想象,眼看、手动、脑想,整体感知具体事物模型,熟识和认知观察对象,使观察物的整体模型储存于脑海中形成印象。在境物交融中,学生看过、摸过、想过,从而使空间观念在活动体验中得以培养和形成。
像这样通过计算去分析、判断、比较,并抽象概括出规律或公式,然后应用规律、公式去判断、计算物体的形状、大小,就是以“数”想“形”的数形结合思想。在小学阶段,判断三角形的三边关系、三角形的内角和,计算平面图形的周长、面积,求立体图形的表面积、体积,也就是渗透用定量的“数”去描述具体的“形”的数形思想。
3.“数“形”互译,提升学生思维能力
“数”“形“互译是指在某些数学问题中,不仅仅是简单地以“形”思“数”或以“数”想“形”,而是需要“数”“形”互相变换。即不但想到由“形”的直观变为“数”的严密,还要由“数”的严密联系到“形”的直观。“形”“数”互译的一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”,实质就是以“数”化“形”、以“形”译“数”的结合。
在解决问题过程中,经常要用到“数”与“形”互译的数形结合思想,即把问题中的数量关系转译成图形,把抽象的数量关系形象化,再根据对图形的观察、分析、联想,逐步译成算式,以达到问题的解决。例如,五年级上册“鸡兔同笼”一课:鸡兔同笼,有20个头、54条腿,鸡、兔各几只?本课的解决问题教学策略书上采用列表尝试法。如果采用“数”“形”互译的画图法解,二年级的学生都能解答,并且可以从画图法引出数量关系,列式解答。引导学生画图如下:
(1)画20个头(2)每个头添上2只腿 (3)再添上剩余的14条腿
从图上可知兔有7只,鸡有13只。然后引导学生理解数量关系:首先假设20只全是鸡,每只鸡身上长2条腿,共20×2=40(条)腿,还剩余54-40=14(条)腿,鸡身上再长2条腿变成兔子,直到14条腿长完为止。这样就得到兔子14÷(4-2)=7(只),鸡20-7=13(只),列综合算式为(54-20×2)÷(4-2)。
从这个教学过程中不难看出:“数”“形”互译的过程,既是问题解决的过程,又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持,从而使解法变得十分简明扼要且巧妙。
在小学阶段,教学“正反比例的意义”就是把抽象的数量关系与形象的直观坐标图联系起来,在“数”“形”互译中去理解。其次,教学“统计与概率”较复杂的组合图形面积、立体图形的形体变换和立体图形的表面积、体积的变化等问题时,都需要用到“数”“形”互译的数形结合思想。再次,小学数学教学中常用的解决问题的策略有画图法、列表法、猜想与尝试法、从特例开始寻找规律法等,教学这些策略都需要用到以“数”化“形”、以“形”译“数”的数形结合思想。
总之,在小学数学教学中,数形结合能不失时机地为学生提供恰当的形象材料,可以将抽象的数量关系具体化,把无形的解题思路形象化,不仅有利于学生顺利的、高效的学好数学知识,更有利于学生学习兴趣的培养、数学思维的发展、知识应用能力的增强,使教学收到事半功倍之效。在“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个小学学习领域中,都能应用数形结合思想进行教学,数形结合思想是小学数学教学中常用的、有效的教学策略。
巧妙地渗透、应用数形结合思想,既能为小学数学教学开辟一片广阔的天地,又能为学生的终身学习和可持续发展奠定扎实的基础。
(责编杜华)