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选修课上老师给我们出了这么一个伪命题“一切三角形都是等腰三角形”并给以证明，让我们从中找出原题证明过程中的破绽. 笔者与同学讨论很久，思索考虑的越深，越觉得这道题有意思. 于是便整理下来与广大读者一起分享.
原题的证明过程如下：
证明：如图1，设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E，过E点作EH、EL分别垂直于AC、AB两边.
因为AE为∠A的角平分线，EL⊥AB且EH⊥AC，
所以EL=EH，又因为AE=AE，
所以Rt△ALE≌Rt△AHE(HL)，
所以AL=AH，(1)
又因为E点在BC的垂直平分线上，所以EB=EC.因为EL=EH，所以Rt△BLE≌Rt△EHC(HL)
所以BL=HC，(2)
(1)+(2)得
AL+BL=AH+HC，即AB=AC.
故命题得证.
看到这里读者不觉感到可笑，这么一个荒谬的结论居然能够证明出来. 难道一切三角形都是等腰三角形这个荒谬的结论是正确的?很明显，是错误的!可是事实摆在眼前，“铁证如山”，不得不信.
仔细分析一下原题的证明过程，读者会发现除了第一句话“设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E(点E在△ABC的内部)”有待商榷外，其他部分完全符合数学原理. 细心读者不免会问：“难道点E一定在三角形的内部?该题的例证三角形为锐角三角形，那么在直角三角形和钝角三角形中点E也会在其内部吗?”
如将上图中的角B换为直角，读者会发现一个很荒谬的结论：直角三角形的一条直角边AB居然等于它的一条斜边AC.
很明显这是错误的!可是如果点E在三角形的内部，那么由上述证明知该三角形一定是等腰三角形，反过来如果一个三角形是等腰三角形，那么由等腰三角形“三线合一”的性质知，点E一定在三角形的内部(实际为∠A的角平分线与BC边的垂直平分线重合). 因此，我们可以做一个大胆的假设：上述情况只在等腰三角形中成立，在其他三角形中不成立.
下面我们来证明这个假设.
图2证明 首先证明三角形为直角三角形的情况. 如图2，以直角边OA为x轴，O点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy.
设A点的坐标为(a，0)，B点的坐标为(0，b)所求点E的坐标(OA边垂直平分线与顶角B的角平分线的交点，下面证明过程中点E代表的意义与此相同)坐标为(x，y).
因为点E在OA的垂直平分线上，
所以E点坐标可设为(a2，y)，
又因为点E在∠B的角平分线上，
所以点B到y轴的距离与到直线AB的距离相等.
因为AB的直线方程xa+yb=1，
即bx+ay-ab=0，
所以|12ab+ay-ab|a2+b2=a2，
解得y=b±a2+b22，
因为y2+b22<0，
所以交点在Rt△AOB的外部.
再证三角形为锐角三角形的情况. 如图3，以AC边为x轴，以过B点且垂直于AC边的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
设∠B的角平分线与x轴交于点M，设M、A、B、C四个点的坐标分别为(-x，0)，(a，0)，(-c，0)，(0，b)，(x，a，c，b>0)，直线BC的方程：x-c+yb=1，
图3即-bx+cy-bc=0，
直线AB的方程：xa+yb=1，
即bx+ay-ab=0，因为M点到直线AB与AC的距离相等，
所以|bx-bc|b2+c2=|-bx-ab|a2+b2，
设b2+c2=BC=n，a2+b2=AB=m，
则c-xn=a+xm，
得x=cm-nam+n，
即M点的坐标为(cm-nam+n，0)，又因为点E在AC的垂直平分线上，所以E点的坐标可设为(a-c2，y)，因为B、M、E三点共线，所以y-ba-c2=bx，解得y=b(a+c)(m-n)2x(m+n).
由y的表达式知，y的正负取决于(m-n)的正负，因为m 图4最后，证明三角形为钝角三角形的情况. 如图4，以AC边所在直线为x轴，以过B点且垂直与AC边的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
设∠B的角平分线与x轴交于M点. A、C、B、M四点的坐标分别为(a，0)，(c，0)，(0，b)，(x，0)，(a，c，b，x>0)，
直线AB的方程：xa+yb=1，
即bx+ay-ab=0，
直线BC的方程：xc+yb=1，
即bx+cy-bc=0，
所以M点到直线AB与BC的距离相等，
所以|bx-bc|b2+c2=|bx-ab|a2+b2，
设b2+c2=BC=n，
a2+b2=AB=m，
解得x=na+mcm+n，
因为B、M、E三点共线，所以b-x=y-ba+c2，
解得y=b(a-c)(n-m)2x(m+n)，
因为am，所以y<0，
所以点E在△ABC外部.
对于直角三角形如图5的形式：
以及钝角三角形如图6的形式：
图5 图6读者可参阅锐角三角形的证明过程，其结论是一致的.
总上所述，结论得证.
感悟 通过对这个题的讨论，数学的严谨性可见一斑. 数学的证明需“持之有居，言之成理”，证明过程的每一步都要有根有据. 正所谓“一步出错，全盘皆输”. 这就好比盖大楼，任何一层出问题，这座大楼就是不合格工程，当大楼的地基出问题时，大楼的危险性更大!该题就是凭空相象，致使在“地基”方面出现问题，以至得出一个荒谬的结论. 此题虽然不难，却很具有代标性，运用到了“分类讨论”、“如何建系”、“观察，归纳，提出建设，证明假设”等一系列常用的数学思想与方法及一些很基础的知识. 笔者认为，广大中学生如果能够理清数学中的基础知识(基本定义、概念、定理等)，将这些基础知识构建成一个适合于自己的框架并掌握一些常见常用的数学思想与方法的精要之处，数学学习起来不会很累，有时会很轻松. 学习数学还需要学习者去“悟”. 悟其中的道理与联系，悟其中的精髓. 通过“悟”深化你对其中知识的了解与理解. 以上只是我学数学的方法及对数学的感悟，不一定很对. 恳请广大专业人士予以批平、指正，笔者将不胜感激. 最后希望通过对本题的讨论，能够给广大中学生如何学好数学以启迪!
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原题的证明过程如下：
证明：如图1，设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E，过E点作EH、EL分别垂直于AC、AB两边.
因为AE为∠A的角平分线，EL⊥AB且EH⊥AC，
所以EL=EH，又因为AE=AE，
所以Rt△ALE≌Rt△AHE(HL)，
所以AL=AH，(1)
又因为E点在BC的垂直平分线上，所以EB=EC.因为EL=EH，所以Rt△BLE≌Rt△EHC(HL)
所以BL=HC，(2)
(1)+(2)得
AL+BL=AH+HC，即AB=AC.
故命题得证.
看到这里读者不觉感到可笑，这么一个荒谬的结论居然能够证明出来. 难道一切三角形都是等腰三角形这个荒谬的结论是正确的?很明显，是错误的!可是事实摆在眼前，“铁证如山”，不得不信.
仔细分析一下原题的证明过程，读者会发现除了第一句话“设△ABC中BC边的垂直平分线与顶角A的角平分线相交于点E(点E在△ABC的内部)”有待商榷外，其他部分完全符合数学原理. 细心读者不免会问：“难道点E一定在三角形的内部?该题的例证三角形为锐角三角形，那么在直角三角形和钝角三角形中点E也会在其内部吗?”
如将上图中的角B换为直角，读者会发现一个很荒谬的结论：直角三角形的一条直角边AB居然等于它的一条斜边AC.
很明显这是错误的!可是如果点E在三角形的内部，那么由上述证明知该三角形一定是等腰三角形，反过来如果一个三角形是等腰三角形，那么由等腰三角形“三线合一”的性质知，点E一定在三角形的内部(实际为∠A的角平分线与BC边的垂直平分线重合). 因此，我们可以做一个大胆的假设：上述情况只在等腰三角形中成立，在其他三角形中不成立.
下面我们来证明这个假设.
图2证明 首先证明三角形为直角三角形的情况. 如图2，以直角边OA为x轴，O点为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy.
设A点的坐标为(a，0)，B点的坐标为(0，b)所求点E的坐标(OA边垂直平分线与顶角B的角平分线的交点，下面证明过程中点E代表的意义与此相同)坐标为(x，y).
因为点E在OA的垂直平分线上，
所以E点坐标可设为(a2，y)，
又因为点E在∠B的角平分线上，
所以点B到y轴的距离与到直线AB的距离相等.
因为AB的直线方程xa+yb=1，
即bx+ay-ab=0，
所以|12ab+ay-ab|a2+b2=a2，
解得y=b±a2+b22，
因为y
所以交点在Rt△AOB的外部.
再证三角形为锐角三角形的情况. 如图3，以AC边为x轴，以过B点且垂直于AC边的直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
设∠B的角平分线与x轴交于点M，设M、A、B、C四个点的坐标分别为(-x，0)，(a，0)，(-c，0)，(0，b)，(x，a，c，b>0)，直线BC的方程：x-c+yb=1，
图3即-bx+cy-bc=0，
直线AB的方程：xa+yb=1，
即bx+ay-ab=0，因为M点到直线AB与AC的距离相等，
所以|bx-bc|b2+c2=|-bx-ab|a2+b2，
设b2+c2=BC=n，a2+b2=AB=m，
则c-xn=a+xm，
得x=cm-nam+n，
即M点的坐标为(cm-nam+n，0)，又因为点E在AC的垂直平分线上，所以E点的坐标可设为(a-c2，y)，因为B、M、E三点共线，所以y-ba-c2=bx，解得y=b(a+c)(m-n)2x(m+n).
由y的表达式知，y的正负取决于(m-n)的正负，因为m
设∠B的角平分线与x轴交于M点. A、C、B、M四点的坐标分别为(a，0)，(c，0)，(0，b)，(x，0)，(a，c，b，x>0)，
直线AB的方程：xa+yb=1，
即bx+ay-ab=0，
直线BC的方程：xc+yb=1，
即bx+cy-bc=0，
所以M点到直线AB与BC的距离相等，
所以|bx-bc|b2+c2=|bx-ab|a2+b2，
设b2+c2=BC=n，
a2+b2=AB=m，
解得x=na+mcm+n，
因为B、M、E三点共线，所以b-x=y-ba+c2，
解得y=b(a-c)(n-m)2x(m+n)，
因为a
所以点E在△ABC外部.
对于直角三角形如图5的形式：
以及钝角三角形如图6的形式：
图5 图6读者可参阅锐角三角形的证明过程，其结论是一致的.
总上所述，结论得证.
感悟 通过对这个题的讨论，数学的严谨性可见一斑. 数学的证明需“持之有居，言之成理”，证明过程的每一步都要有根有据. 正所谓“一步出错，全盘皆输”. 这就好比盖大楼，任何一层出问题，这座大楼就是不合格工程，当大楼的地基出问题时，大楼的危险性更大!该题就是凭空相象，致使在“地基”方面出现问题，以至得出一个荒谬的结论. 此题虽然不难，却很具有代标性，运用到了“分类讨论”、“如何建系”、“观察，归纳，提出建设，证明假设”等一系列常用的数学思想与方法及一些很基础的知识. 笔者认为，广大中学生如果能够理清数学中的基础知识(基本定义、概念、定理等)，将这些基础知识构建成一个适合于自己的框架并掌握一些常见常用的数学思想与方法的精要之处，数学学习起来不会很累，有时会很轻松. 学习数学还需要学习者去“悟”. 悟其中的道理与联系，悟其中的精髓. 通过“悟”深化你对其中知识的了解与理解. 以上只是我学数学的方法及对数学的感悟，不一定很对. 恳请广大专业人士予以批平、指正，笔者将不胜感激. 最后希望通过对本题的讨论，能够给广大中学生如何学好数学以启迪!
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”