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我们知道,关于角平分线有如下性质:
(1)角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2)在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
灵活运用上面这两个性质,可以简便地解决许多问题.
点评:遇到角平分线问题,可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线,以便充分运用角平分线的性质.
二、性质(2)单独亮相
例3如图3,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,交点分别为A、B、C.现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有几处?请标在图中,并说明理由.
分析:因为到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,所以可供选择的地址在这三条直线所围成的△ABC的内角平分线的交点处,或在这个三角形的外角平分线的交点处.
解:如图4,作∠BAC、∠ABC的平分线,交于点P4,则点P4到直线l1、l2、l3的距离相等,理由是角平分线上的点到这个角的两边距离相等.同理,作△ABC的外角平分线,分别交于点P1、P2、P3,则点P1、P2、P3各点到直线l1、l2、l3的距离也相等.
所以,可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处.
点评:性质(2)常用来解决或证明距离相等的相关问题.由本题可以得到“三角形的一内角平分线与另外两个不相邻外角的平分线交于一点”,比如P1,它到AC和BC所在直线的距离相等,故它在∠ACB的平分线上.有时利用它解题更简洁.并且还可证得点P4在∠ACB的平分线上(因P4到AC、BC的距离相等),即“三角形三个内角的平分线交于一点”.
三、性质(1),性质(2)财时亮相
例4如图5,PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP平分∠MBN.
分析:如图6,作PD⊥BM于D,PF⊥BN于F.要证BP平分∠MBN,只需证PD=PF.而PA、PC为外角平分线,故可过P作PE⊥AC于E.根据角平分线性质有PD=PE,PF=PE,则有PD=PF,故问题得证.证明略.
点评:本题通过作PE⊥AC于E,沟通了性质(1)及性质(2).当题目中有角平分线的交点时,常过交点作有关边的垂线,以寻找解题思路.
例5如图7,△ABC中,BD、CD平分∠ABC、∠ACB,CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证:∠DCE=∠CAD.
解:由BD、CD平分∠ABC、∠ACB,可得AD平分∠BAC.于是可设∠1=∠2=x,∠3=∠4=y,∠5=∠6=z.由三角形内角和定理得x y z=90°,于是∠CAD=z=90°-(x y),只需证出∠DCE=90°-(x y)即可.
∵CE⊥BD,
∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-(∠2 ∠3)=90°-(x y).
∴∠DCE=∠CAD.
点评:这种设角并利用角的表达式证明的思路,体现了代数法解几何题的思想,值得重视.
跟踪练习
如图8,在△ABC中,AD是∠A的平分线, DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD⊥EF.
提示:先证△AED≌△AFD,得AE=AF.再证△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°.
(1)角平分线上的点到角的两边距离相等.
(2)在一个角的内部且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
灵活运用上面这两个性质,可以简便地解决许多问题.
点评:遇到角平分线问题,可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线,以便充分运用角平分线的性质.
二、性质(2)单独亮相
例3如图3,直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路,交点分别为A、B、C.现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有几处?请标在图中,并说明理由.
分析:因为到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,所以可供选择的地址在这三条直线所围成的△ABC的内角平分线的交点处,或在这个三角形的外角平分线的交点处.
解:如图4,作∠BAC、∠ABC的平分线,交于点P4,则点P4到直线l1、l2、l3的距离相等,理由是角平分线上的点到这个角的两边距离相等.同理,作△ABC的外角平分线,分别交于点P1、P2、P3,则点P1、P2、P3各点到直线l1、l2、l3的距离也相等.
所以,可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处.
点评:性质(2)常用来解决或证明距离相等的相关问题.由本题可以得到“三角形的一内角平分线与另外两个不相邻外角的平分线交于一点”,比如P1,它到AC和BC所在直线的距离相等,故它在∠ACB的平分线上.有时利用它解题更简洁.并且还可证得点P4在∠ACB的平分线上(因P4到AC、BC的距离相等),即“三角形三个内角的平分线交于一点”.
三、性质(1),性质(2)财时亮相
例4如图5,PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP平分∠MBN.
分析:如图6,作PD⊥BM于D,PF⊥BN于F.要证BP平分∠MBN,只需证PD=PF.而PA、PC为外角平分线,故可过P作PE⊥AC于E.根据角平分线性质有PD=PE,PF=PE,则有PD=PF,故问题得证.证明略.
点评:本题通过作PE⊥AC于E,沟通了性质(1)及性质(2).当题目中有角平分线的交点时,常过交点作有关边的垂线,以寻找解题思路.
例5如图7,△ABC中,BD、CD平分∠ABC、∠ACB,CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证:∠DCE=∠CAD.
解:由BD、CD平分∠ABC、∠ACB,可得AD平分∠BAC.于是可设∠1=∠2=x,∠3=∠4=y,∠5=∠6=z.由三角形内角和定理得x y z=90°,于是∠CAD=z=90°-(x y),只需证出∠DCE=90°-(x y)即可.
∵CE⊥BD,
∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-(∠2 ∠3)=90°-(x y).
∴∠DCE=∠CAD.
点评:这种设角并利用角的表达式证明的思路,体现了代数法解几何题的思想,值得重视.
跟踪练习
如图8,在△ABC中,AD是∠A的平分线, DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:AD⊥EF.
提示:先证△AED≌△AFD,得AE=AF.再证△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°.