同学们不可避免的每天都要与时钟打交道,不知大家有没有想过这样一个比较有趣的与数学有关的问题：在一昼夜的时间里,时钟的分针与时针有多少次垂直？有多少次重合？你能快速、准确地回答出来吗？对于这些问题都可以用一元一次方程简捷获解.下面我们就一起来分析,并找出解决这些问题的公式,从而达到快速简捷求解的目的.
　　 分析:大家都知道,钟表上面上均匀地分布着60个小格,分钟每小时转一圈,即分针在每分钟的时间里走一格；而时针每小时转一圈,即它每小时走6格,因此它每分钟走112格.据此时钟上时针与分针之间的关系问题,可转化为时针与分针的追赶问题,这样问题就变成较为简单的一元一次方程问题,因此就比较容易解决了.
　　 公式的推导过程 由于时针与分针在0时重合,那么经过t小时n分钟后,时针走过的格子数为5t+112n,分针则走过了t圈后又转过了n格,故此时时针与分针相差的格子数a分为下述两种情况：
　　 当时针在分针的前面时,有5t+112n-n=a, 则n=1211(5t-a).当时针在分针的后面时,有n-(5t+112n)=a,则n=1211(5t+a).
　　 将上述两式和写,就可得到求解时钟问题的简明公式：n=1211(5t±a).(﹡)
　　 注意：在上面的公式中,若是时针在分针的前面取负号；若是时针在分针的后面则取正号；
　　 下面就一起运用上面的公式来解决一些既有趣又有实际意义的时钟问题.也许大家会有新的更有趣的发现呢!
　　 例1 时钟在3点整时,时针与分针恰好成直角.试问,再经过多少分钟,两针之间再一次成直角？
　　 解 根据题意可知：t=3,a=15.由于时针在分针的后面,则由(﹡)式可得：n=1211(5×3+15)=32811.
　　 即再过32811分钟,时针与分针之间再一次成直角.
　　 由此我们可得到一个有益的启示：即时针与分针相之间互垂直的周期为32811分钟.据此我们就可以非常简捷地算出一昼夜(即24小时),分针与时针之间相互垂直的次数为：24×6032811=44(次).
　　 例2 在12点整,钟表的时针与分针重合.再经过多长时间,两针再一次重合？
　　 解 依题意可知：t=12,a=0.则由(﹡)式得：n=1211(5×12+0)=65511.
　　 即再经过65511分钟,分针与时针再一次重合.
　　 由此我们又得到一个有益的启示：即时针与分针每隔65511分钟重合一次.据此我们可以计算出在一昼夜的时间里,时针与分针的重合次数为： 24×6065511=22(次).
　　 例3 钟表上时针与分针在2点与3点之间的什么时刻,两针在一条直线上,并且它们的指向相反 ？在3点与4点之间的什么时刻满足上述条件？
　　 解 在2点与3点之间,由题意可知：t=3,a=30.且时针在分针的后面,有(﹡)式有： n=1211(5×2+30)=43711.即在43711分,时针与分针在一条直线上,且指向相反.
　　 在3点与4点之间,由题意可知：t=3,a=30.且时针在分针的后面,有(﹡)式得：n=1211(5×3+30)=49111.即在49111分,时针与分针在一条直线上,且指向相反.
　　 由本例我们又得到一个启示：时针与分针在一条直线上,并且指向相反的周期为：
　　 (60+49111-43711)=65511(分钟).
　　 故一昼夜时针与分针在一条直线上,并且指向相反的次数为：24×6065511=22(次).