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平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组及一元一次不等式(组)这些内容具有承上启下的作用,是后继数学学习的基础,也是学好其他知识的重要工具,应用十分广泛,也是中考的重要的内容.下面就这部分内容的知识要点作如下回顾,供同学们复习参考.
一、平面直角坐标系
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1.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图1所示.
2.象限:如图1,坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个部分,即4个象限.(注:坐标轴不属于任何象限.)
3.点的坐标:对于平面内任意一点P,如图2所示,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
4.由坐标变化导致图形的平移:在平面直角坐标系内,如果一個图形各个点的横坐标都加(或减)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移a个单位长度;如果把各个点的纵坐标都加(或减)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移b个单位长度.
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例1 (2009年乌鲁木齐考题)在平面直角坐标系中,点A(x-1,2-x)在第四象限,则实数x的取值范围是________.
解析:由点A(x-1,2-x)在第四象限可知,x-1>0,2-x<0,解不等式组得x>2.所以答案为x>2.
点拨:要掌握各象限内点的符号特征.
例2 (2008年贵阳考题)对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在().
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:对任意实数x,当x=0时,点P不属于任何象限,故x=0不合题意.因此对实数x可作如下分类.
由x2-2x=x(x-2) 可知,当x<0时,一定有x(x-2)>0,点P在第二象限;当02时,x(x-2)>0,点P在第一象限.综合上述,对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在第三象限.故选C.
点拨:本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征.通过对x进行分类讨论,判断出点P可能所在的象限,体现分类思想在坐标中的应用.
例3(2009年梧州考题)将点A(1,-3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位后得到点B(a,b),则ab=.
解析:根据点的坐标的平移特征可知,将点A向右平移2个单位,其纵坐标不变,横坐标变为3,再将其下平移2个单位,其坐标为(3,-5),即a=3,b=-5,所以ab=-15.
点评:(1)将点(x,y)向右平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x+a,y);将点(x,y)向左平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x-a,y);
(2)将点(x,y)向上平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y+b);将点(x,y)向下平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y-b).
点评:对某个图形进行平移,这个图形上对应点的坐标都要发生相应的变化,但对应点平移的方向和距离相同。
二、三角形的边角关系
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1.三角形:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
3.三角形内角和:三角形的内角和等于180.
4.多边形的内角和:n边形的内角和等于(n-2)•180°.
5. 多边形的外角和:任何多边形的外角和都等于360.
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例4 (2009年广西考题)一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为().
A.7B.9C.12D.9或12
解析:根据三角形的三边关系确定腰长和底边的长.当腰长为2时,2+2<5,不能构成三角形;当腰长为5时,即三角形的三边为5,5,2时,满足三角形的三边关系.故此等腰三角形的周长为12,选C.
点拨:构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.
例5 (2009年铁岭考题)如图3,已知直线AB∥CD,∠C=125,∠A=45,则∠E的度数为().
A.70 B.80 C.90 D.100
解析:∵AB∥CD,∴∠BFE=∠C=125,
又∵∠BFE=∠A+∠E,
∴∠E=125-45=80.
故选B.
点拨:本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理的推论.
例6 (2009年济宁考题)如图4,在△ABC中,∠A=70 ,∠B=60,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于().
A.100B.120 C.130D.150
解析:由三角形的外角特点知,
∠ACD=∠A+∠B=70+60=130.
故选C.
点波:本题考查的知识点是三角形内角和定理的推论,即三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和.
三、二元一次方程组及其解法
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1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程必须同时满足3个条件即等号两边的代数式是整式;含有两个未知数;所含未知数的项的次数是1.
2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.在组成方程组的各个方程中,相同的字母必须代表同一数量.
3.二元一次方程组的解法:常用的方法是代入法和加减消元法.
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例7 (2009年青海考题)已知代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,那么m、n的值分别是().
A.m=2,n=-1 B.m=-2,n=-1 C.m=2,n=1 D. m=-2,n=1
解析:由题意可知,代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,则m-1=n,m+n=3.解方程组得m=2,n=1.故选C.
点拨:利用同类项的概念构造二元一次方程组,从而解决问题,这类题是中考的一个重点题型.
例8 (2009年茂名考题)解方程组:
x+2y=4,① x+y=1. ②
解析:由①-②得y=3,
把y=3代人②得,x=-2,
所以原方程组的解是x=-2,y=3.
点拨:解二元一次方程组的关键是消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.消元的方法有两种,即代入消元法和加减消元法.在解题时要认真观察题目的特点,灵活选择解法.
例9 (2009年广州考题)为了拉动内需,广东启动“家电下乡”活动.某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在活动启动前一个月共售出960台,活动启动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比活动启动前一个月增长30%、25%,这两种型号的冰箱共售出1 228台.
(1)在启动活动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台?
(2)若Ⅰ型冰箱每台价格是2 298元,Ⅱ型冰箱每台价格是1 999元,根据“家电下乡”的有关政策,政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴.问:活动启动后的第一个月销售给农户的1 228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱,政府共补贴了多少元(结果保留2个有效数字)?
解析:(1)设在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x、y台,则
x+y=960,(1+30%)x+(1+25%)y=1 228.
解得x=560,y=400.
经检验,符合题意.
所以在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台、400台.
(2)Ⅰ型冰箱政府补贴的金额为:2 298×560×(1+30%)×13%=217 482.72元,Ⅱ型冰箱政府补贴的金额为:1 999×400×(1+25%)×13%=129 935元.
所以活动启动后第一个月,政府一共补贴给农民的金额为:217 482.72+129 935=347 417.72≈3.5×105元.
点拨:本题取材于社会关注的热点“三农”问题,时代气息浓郁,体现了数学在生活中的广泛应用.
四、一元一次不等式(组)及其解法
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1.不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做不等式的解的集合,简称这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
2.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3.解一元一次不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
注意:解不等式时,上面的5个步骤不一定都能用到,并且不一定按照顺序解,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.
4.一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.
求不等式组公共解的一般规律:同大取大,同小取小,一大一小中間找.
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例10 (2008年永州考题)如图5,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是().
图5
A.a>c>b B.b>a>c
C.a>b>c D.c>a>b
解析:根据题意得2c=b,3b<2a,所以a>b>c.故选C.
点拨:灵活运用不等式的基本性质是解题的关键.
例11(2009年荆门考题)若不等式组
x+a≥0,1-2x>x-2有解,则a的取值范围是().
A.a>-1B.a≥-1
C.a≤1 D.a<1.
解析:解不等式组x+a≥0,1-2x>x-2得x<1,x≥-a,所以a>-1.
点拨:本题根据不等式组解集的概念,分类讨论,从而确定a的取值.
例12 (2009年淄博考题)解不等式:5x-12≤
2(4x-3).
解:5x-12≤8x-6,
-3x≤6,
x≥-2.
点拨:解一元一次不等式的步骤可类比解一元一次方程的5个步骤,注意当两边同除以负数时要改变不等号的方向.
例13(2009年株洲考题)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱,买一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过1 000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过1 000份,则超过部分每份可得0.2元.
(1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过1 000份.
(2)孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.
解析:(1)如果孔明同学卖出1 000份报纸,则可获得1 000×0.1=100元,没有超过140元,从而不能达到目的.(其他说理正确、合理即可.)
(2)设孔明同学暑假期间卖出报纸x份,由(1)可知,x>1 000,依题意得,
1 000×0.1+0.2(x-1 000)≥140,1 000×0.1+0.2(x-1 000)≤200,
解得1 200≤x≤1 500 .
所以孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1 200至1 500份之间.
点拨:运用一元一次不等式(组)解决实际问题时,要认真阅读题目、正确理解题意、寻找数量关系、建立数学模型最终解决问题.
一、平面直角坐标系
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1.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图1所示.
2.象限:如图1,坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个部分,即4个象限.(注:坐标轴不属于任何象限.)
3.点的坐标:对于平面内任意一点P,如图2所示,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
4.由坐标变化导致图形的平移:在平面直角坐标系内,如果一個图形各个点的横坐标都加(或减)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移a个单位长度;如果把各个点的纵坐标都加(或减)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移b个单位长度.
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例1 (2009年乌鲁木齐考题)在平面直角坐标系中,点A(x-1,2-x)在第四象限,则实数x的取值范围是________.
解析:由点A(x-1,2-x)在第四象限可知,x-1>0,2-x<0,解不等式组得x>2.所以答案为x>2.
点拨:要掌握各象限内点的符号特征.
例2 (2008年贵阳考题)对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在().
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析:对任意实数x,当x=0时,点P不属于任何象限,故x=0不合题意.因此对实数x可作如下分类.
由x2-2x=x(x-2) 可知,当x<0时,一定有x(x-2)>0,点P在第二象限;当0
点拨:本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征.通过对x进行分类讨论,判断出点P可能所在的象限,体现分类思想在坐标中的应用.
例3(2009年梧州考题)将点A(1,-3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位后得到点B(a,b),则ab=.
解析:根据点的坐标的平移特征可知,将点A向右平移2个单位,其纵坐标不变,横坐标变为3,再将其下平移2个单位,其坐标为(3,-5),即a=3,b=-5,所以ab=-15.
点评:(1)将点(x,y)向右平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x+a,y);将点(x,y)向左平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x-a,y);
(2)将点(x,y)向上平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y+b);将点(x,y)向下平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y-b).
点评:对某个图形进行平移,这个图形上对应点的坐标都要发生相应的变化,但对应点平移的方向和距离相同。
二、三角形的边角关系
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1.三角形:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
3.三角形内角和:三角形的内角和等于180.
4.多边形的内角和:n边形的内角和等于(n-2)•180°.
5. 多边形的外角和:任何多边形的外角和都等于360.
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例4 (2009年广西考题)一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为().
A.7B.9C.12D.9或12
解析:根据三角形的三边关系确定腰长和底边的长.当腰长为2时,2+2<5,不能构成三角形;当腰长为5时,即三角形的三边为5,5,2时,满足三角形的三边关系.故此等腰三角形的周长为12,选C.
点拨:构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.
例5 (2009年铁岭考题)如图3,已知直线AB∥CD,∠C=125,∠A=45,则∠E的度数为().
A.70 B.80 C.90 D.100
解析:∵AB∥CD,∴∠BFE=∠C=125,
又∵∠BFE=∠A+∠E,
∴∠E=125-45=80.
故选B.
点拨:本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理的推论.
例6 (2009年济宁考题)如图4,在△ABC中,∠A=70 ,∠B=60,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于().
A.100B.120 C.130D.150
解析:由三角形的外角特点知,
∠ACD=∠A+∠B=70+60=130.
故选C.
点波:本题考查的知识点是三角形内角和定理的推论,即三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和.
三、二元一次方程组及其解法
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1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程必须同时满足3个条件即等号两边的代数式是整式;含有两个未知数;所含未知数的项的次数是1.
2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.在组成方程组的各个方程中,相同的字母必须代表同一数量.
3.二元一次方程组的解法:常用的方法是代入法和加减消元法.
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例7 (2009年青海考题)已知代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,那么m、n的值分别是().
A.m=2,n=-1 B.m=-2,n=-1 C.m=2,n=1 D. m=-2,n=1
解析:由题意可知,代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,则m-1=n,m+n=3.解方程组得m=2,n=1.故选C.
点拨:利用同类项的概念构造二元一次方程组,从而解决问题,这类题是中考的一个重点题型.
例8 (2009年茂名考题)解方程组:
x+2y=4,① x+y=1. ②
解析:由①-②得y=3,
把y=3代人②得,x=-2,
所以原方程组的解是x=-2,y=3.
点拨:解二元一次方程组的关键是消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.消元的方法有两种,即代入消元法和加减消元法.在解题时要认真观察题目的特点,灵活选择解法.
例9 (2009年广州考题)为了拉动内需,广东启动“家电下乡”活动.某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在活动启动前一个月共售出960台,活动启动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比活动启动前一个月增长30%、25%,这两种型号的冰箱共售出1 228台.
(1)在启动活动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台?
(2)若Ⅰ型冰箱每台价格是2 298元,Ⅱ型冰箱每台价格是1 999元,根据“家电下乡”的有关政策,政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴.问:活动启动后的第一个月销售给农户的1 228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱,政府共补贴了多少元(结果保留2个有效数字)?
解析:(1)设在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x、y台,则
x+y=960,(1+30%)x+(1+25%)y=1 228.
解得x=560,y=400.
经检验,符合题意.
所以在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台、400台.
(2)Ⅰ型冰箱政府补贴的金额为:2 298×560×(1+30%)×13%=217 482.72元,Ⅱ型冰箱政府补贴的金额为:1 999×400×(1+25%)×13%=129 935元.
所以活动启动后第一个月,政府一共补贴给农民的金额为:217 482.72+129 935=347 417.72≈3.5×105元.
点拨:本题取材于社会关注的热点“三农”问题,时代气息浓郁,体现了数学在生活中的广泛应用.
四、一元一次不等式(组)及其解法
知识链接
1.不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做不等式的解的集合,简称这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
2.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3.解一元一次不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
注意:解不等式时,上面的5个步骤不一定都能用到,并且不一定按照顺序解,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.
4.一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.
求不等式组公共解的一般规律:同大取大,同小取小,一大一小中間找.
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例10 (2008年永州考题)如图5,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是().
图5
A.a>c>b B.b>a>c
C.a>b>c D.c>a>b
解析:根据题意得2c=b,3b<2a,所以a>b>c.故选C.
点拨:灵活运用不等式的基本性质是解题的关键.
例11(2009年荆门考题)若不等式组
x+a≥0,1-2x>x-2有解,则a的取值范围是().
A.a>-1B.a≥-1
C.a≤1 D.a<1.
解析:解不等式组x+a≥0,1-2x>x-2得x<1,x≥-a,所以a>-1.
点拨:本题根据不等式组解集的概念,分类讨论,从而确定a的取值.
例12 (2009年淄博考题)解不等式:5x-12≤
2(4x-3).
解:5x-12≤8x-6,
-3x≤6,
x≥-2.
点拨:解一元一次不等式的步骤可类比解一元一次方程的5个步骤,注意当两边同除以负数时要改变不等号的方向.
例13(2009年株洲考题)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱,买一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过1 000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过1 000份,则超过部分每份可得0.2元.
(1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过1 000份.
(2)孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.
解析:(1)如果孔明同学卖出1 000份报纸,则可获得1 000×0.1=100元,没有超过140元,从而不能达到目的.(其他说理正确、合理即可.)
(2)设孔明同学暑假期间卖出报纸x份,由(1)可知,x>1 000,依题意得,
1 000×0.1+0.2(x-1 000)≥140,1 000×0.1+0.2(x-1 000)≤200,
解得1 200≤x≤1 500 .
所以孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1 200至1 500份之间.
点拨:运用一元一次不等式(组)解决实际问题时,要认真阅读题目、正确理解题意、寻找数量关系、建立数学模型最终解决问题.