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【摘要】不等式的证明方法灵活多样，因而证明不等式有利于培养学生的数学探究意识和数学探究能力.这篇文章首先探讨了一类条件可化为“∏x=1”的不等式研究的概况，其后给出了研究的主要结论，最后文末提出了三个猜想供有兴趣的读者进一步研究.
【关键词】不等式；∏x=1；述评
1引言
2003年安振平[1]提出问题（数学问题解答1435）：设a，b>0，求证：
∑ni=1（1 λxi）k≥nn∏ni=1（1 λxi）k，
故只需证明
nn∏ni=1（1 λxi）k≥n（1 λ）k，
即证明∏ni=1（1 λxi）≥（1 λ）n.
令f（λ）=∏ni=1（1 λxi），g（λ）=（1 λ）n，
因为fλ=∏ni=11xi λ=∑nj=0λj（∑1xi1xi2…xij），其中∑1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j个（共Cjn个）数的乘积再求和，gλ=1 λn=∑nj=0λj（Cjn）.
所以只需证明∑1xi1xi2…xij≥Cjn，
再次使用均值不等式得
∑1xi1xi2…xij≥CjnCjn∏1xi1xi2…xij
其中∏1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j个（共Cjn个）数的乘积再求积.由于每个xi都恰好出现Cj-1n-1次，所以∏xi1xi2…xij）=xCj-1n-11xCj-1n-12…xCj-1n-1n=1. 故∑1xi1xi2…xij≥Cjn，等号成立时x1=x2=…=xn=1.
于是，fλ≥gλ，所以原不等式成立.
这样当k≥0时，不等式（*）成立的条件就解决了.当k<0时，还有一些遗留的问题需要进一步分析.
4遗留问题
读者可能已经注意到了不等式（4，6，7）都是反向的，仔细观察可以发现原因在于参数λ的取值范围发生了变化.也就是说当k<0时，不等式（*）可能成立也可能反向成立.
甘义宁（2014）[10]证明了下面的命题.设a，b>0，若α>1，λ≥1α，则：
aa λbα bb λaα≥2（1 λ）α
上面的命题可以改写为：∑2i=1（1 λxi）-α≥21 λ-α.因为α>1，所以-α<-1，也就是说当指数k<-1时，不等式（*）的二元形式是成立的.
尚生陈（2009）[8]给出了一个三元不等式的证明.设x，y，z∈R 且xyz=1，0≤β≤1，0≤λβ≤1，则：
11 λxβ 11 λyβ 11 λzβ≤3（1 λ）β
这个不等式可以改写为：∑3i=1（1 λxi）-β≤31 λ-β.因为0≤β≤1，所以-1≤-β≤0，也就是说当指数-1≤k≤0时，不等式（*）的反向三元形式是成立的.最后，通过对上述不等式特征的归纳和类比，我们提出几个问题留给有兴趣的读者进一步研究.
猜想1：设xi∈R ，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，0≤λ≤n時，则有：
∑ni=1（1 λxi）k≤n（1 λ）k.
猜想2：设xi∈R ，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，λ≥n-1k-1时，则有：
∑ni=1（1 λxi）k≥n（1 λ）k.
猜想3：设xi∈R ，∏ni=1xi=1，当k<-1，λ≥-1k时，则有：
∑ni=1（1 λxi）k≥n（1 λ）k.
参考文献
[1]安振平. 数学问题解答-1435[J]. 数学通报， 2003（5）：8.
[2]蒋明斌. 一个数学问题的证明推广及其它[J]. 数学通报， 2004（9）：34-34.
[3]李永利. 一个不等式的指数推广[J]. 数学通报， 2005（11）：63-64.
[4]郭要红. 一个无理不等式的类比[J]. 数学通讯（教师阅读）， 2006（9）：30-30.
[5]有名辉. 一个不等式的纠错、推广及统一证明[J]. 中学数学教学， 2009（1）：58-59.
[6]李建潮. 一个猜想不等式的证明[J]. 数学通讯， 2006（21）：36-37.
[7]岳嵘. 一个无理函数的值域[J]. 高等继续教育学报， 2007（3）：27-29.
[8]尚生陈. 一个不等式的再推广及一个猜想的证明[J]. 中学数学教学， 2009（4）：57-58.
[9]李建潮. 一道IMO试题引发的思索[J]. 中小学数学（高中版）， 2008（9）：44-45.
[10]甘义宁. 一个无理不等式猜想的推广及其证明[J]. 数学通报， 2014， 53（3）：62-63.
[11]李凤清. 对一对姊妹无理不等式的探究[J]. 四川职业技术学院学报， 2014， 24（5）：148-149.
[12]贺中杰. 数学问题解答-1613[J]. 数学通报， 2006（6）：47-48.
[13]蔡晓兰. 一个“数学问题”的几何证明[J]. 数学通报， 2009（5）：61.
作者简介牛伟强（1983—），男，河南郑州人，华东师范大学数学系博士研究生，主要研究方向：数学方法论与数学教育.
张丽玉（1974—），男，江西南昌人，华东师范大学数学系博士研究生，主要研究方向：数学方法论与数学教育.
【关键词】不等式；∏x=1；述评
1引言
2003年安振平[1]提出问题（数学问题解答1435）：设a，b>0，求证：
∑ni=1（1 λxi）k≥nn∏ni=1（1 λxi）k，
故只需证明
nn∏ni=1（1 λxi）k≥n（1 λ）k，
即证明∏ni=1（1 λxi）≥（1 λ）n.
令f（λ）=∏ni=1（1 λxi），g（λ）=（1 λ）n，
因为fλ=∏ni=11xi λ=∑nj=0λj（∑1xi1xi2…xij），其中∑1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j个（共Cjn个）数的乘积再求和，gλ=1 λn=∑nj=0λj（Cjn）.
所以只需证明∑1xi1xi2…xij≥Cjn，
再次使用均值不等式得
∑1xi1xi2…xij≥CjnCjn∏1xi1xi2…xij
其中∏1xi1xi2…xij表示1x1，1x2，…，1xn中任意j个（共Cjn个）数的乘积再求积.由于每个xi都恰好出现Cj-1n-1次，所以∏xi1xi2…xij）=xCj-1n-11xCj-1n-12…xCj-1n-1n=1. 故∑1xi1xi2…xij≥Cjn，等号成立时x1=x2=…=xn=1.
于是，fλ≥gλ，所以原不等式成立.
这样当k≥0时，不等式（*）成立的条件就解决了.当k<0时，还有一些遗留的问题需要进一步分析.
4遗留问题
读者可能已经注意到了不等式（4，6，7）都是反向的，仔细观察可以发现原因在于参数λ的取值范围发生了变化.也就是说当k<0时，不等式（*）可能成立也可能反向成立.
甘义宁（2014）[10]证明了下面的命题.设a，b>0，若α>1，λ≥1α，则：
aa λbα bb λaα≥2（1 λ）α
上面的命题可以改写为：∑2i=1（1 λxi）-α≥21 λ-α.因为α>1，所以-α<-1，也就是说当指数k<-1时，不等式（*）的二元形式是成立的.
尚生陈（2009）[8]给出了一个三元不等式的证明.设x，y，z∈R 且xyz=1，0≤β≤1，0≤λβ≤1，则：
11 λxβ 11 λyβ 11 λzβ≤3（1 λ）β
这个不等式可以改写为：∑3i=1（1 λxi）-β≤31 λ-β.因为0≤β≤1，所以-1≤-β≤0，也就是说当指数-1≤k≤0时，不等式（*）的反向三元形式是成立的.最后，通过对上述不等式特征的归纳和类比，我们提出几个问题留给有兴趣的读者进一步研究.
猜想1：设xi∈R ，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，0≤λ≤n時，则有：
∑ni=1（1 λxi）k≤n（1 λ）k.
猜想2：设xi∈R ，∏ni=1xi=1，-1≤k<0，λ≥n-1k-1时，则有：
∑ni=1（1 λxi）k≥n（1 λ）k.
猜想3：设xi∈R ，∏ni=1xi=1，当k<-1，λ≥-1k时，则有：
∑ni=1（1 λxi）k≥n（1 λ）k.
参考文献
[1]安振平. 数学问题解答-1435[J]. 数学通报， 2003（5）：8.
[2]蒋明斌. 一个数学问题的证明推广及其它[J]. 数学通报， 2004（9）：34-34.
[3]李永利. 一个不等式的指数推广[J]. 数学通报， 2005（11）：63-64.
[4]郭要红. 一个无理不等式的类比[J]. 数学通讯（教师阅读）， 2006（9）：30-30.
[5]有名辉. 一个不等式的纠错、推广及统一证明[J]. 中学数学教学， 2009（1）：58-59.
[6]李建潮. 一个猜想不等式的证明[J]. 数学通讯， 2006（21）：36-37.
[7]岳嵘. 一个无理函数的值域[J]. 高等继续教育学报， 2007（3）：27-29.
[8]尚生陈. 一个不等式的再推广及一个猜想的证明[J]. 中学数学教学， 2009（4）：57-58.
[9]李建潮. 一道IMO试题引发的思索[J]. 中小学数学（高中版）， 2008（9）：44-45.
[10]甘义宁. 一个无理不等式猜想的推广及其证明[J]. 数学通报， 2014， 53（3）：62-63.
[11]李凤清. 对一对姊妹无理不等式的探究[J]. 四川职业技术学院学报， 2014， 24（5）：148-149.
[12]贺中杰. 数学问题解答-1613[J]. 数学通报， 2006（6）：47-48.
[13]蔡晓兰. 一个“数学问题”的几何证明[J]. 数学通报， 2009（5）：61.
作者简介牛伟强（1983—），男，河南郑州人，华东师范大学数学系博士研究生，主要研究方向：数学方法论与数学教育.
张丽玉（1974—），男，江西南昌人，华东师范大学数学系博士研究生，主要研究方向：数学方法论与数学教育.