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摘 要：借助直观模型，引导学生动手操作，用直观模型感悟算理，促进算理与算法的有效融合。
关键词：直观模型;建立数感和符号意识;算理与算法
一、研究背景
本文以两位教师执教两节公开课为例，研究借助直观模型，促进算理与算法的有效融合，提升学生直观抽象、数学运算、数据分析及数学建模等核心素养。课程标准明确要求，通过数学学习，要让孩子获得四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），增强四能（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力），理解核心概念。怎样计算是教学的重要内容，但仅此绝不充分，还要让孩子明白为什么这么计算，也就是必须明白算理。实现算理与算法的融会贯通。直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、直线等。而只有用好直观模型才能更好地促进算法与算理有效融合。“算理”是学生走向“算法”的桥梁，是学生学习“算法”的知识基础，而“算法”是学生学习的中心任务。处理好算理和算法的关系，引导学生循“理”入“法”，以“理”驭“法”，要借助模型，建立联系，实现算理与算法的融会贯通。将“借助直观模型，促进算理与算法的有效融合”作为研究主题，以此为抓手，对数学计算教学中存在的问题进行反思、总结，在研究中促进教师专业发展和学生运算能力的提高。
二、研究内容
1.用好直观模型，促进对算理的“真”理解。
2.借助直观模型，建立联系，实现算理与算法的有效融合。
3.深入理解算理和算法的内涵。
4.进一步明晰算理与算法的关系，探讨在教学中如何借助直观模型，促进算理与算法的有效融合。
5.探讨教学中如何借助直观模型，促使算理直观和算法抽象有效融合的具体措施。
三、研究目标
1.引领教师围绕专题学习、思考、实践，在科学理论的指导下，寻求计算教学中借助直观模型，促进算理与算法的有效融合，促进教师专业成长。
2.引导学生掌握科学的算理和有效的算法，提高计算的效率，提升学业成绩，激发学习计算课的热情，体验学习计算课的快乐。
3.打造研究型的教师队伍，将教学推向科研的轨道，促进学校教学科研可持续发展。
四、研究过程
1.深入钻研教材，全面整理小学阶段计算课教学内容及目标
理论学习后，我校数学教师明确《义务教育数学课程标准》中对“算理和算法”相关的教学指导意见，深入钻研教材，对小学阶段整数、小数、分数四则运算的教学内容进行全面的整理，并对目标进行分析。从中我们发现对计算课中的“算理”和“算法”教学目标的表述所使用的行为动词有所不同，“算理”使用“理解”“经历……过程”“探索”等描述过程目标的行为动词，“算法”使用了“会”“能”“掌握”等描述结果目标的行为动词。
2.围绕专题研究内容，采用“三备课两执教”的教研模式扎实开展研究
专题研究的有效开展离不开课堂教学，立足于課堂，边研究边实践，才能将所学的学科理论知识内化为我们的教学行为。为此，我们把专题的研究和日常教学活动紧密地结合起来。低段备课组根据教学内容制定了相应的专题研究内容和计划。采用“三备课两执教”的教研模式开展课例研究，并将研究的全过程记录下来，确保专题研究扎实有效。“三备课两执教”教研模式，即执教教师第一次备课后，将教学设计发送到低段备课组群，全体数学教师在集体备课时评论、研讨，执教教师参考建议，修改教学设计，进行二次备课。接着开始第一次正式执教，组织教师听、评课，请骨干教师指导教学，查找存在的问题。根据指导建议，进行第三次备课，最后第二次执教，上好专题研究展示课，将研究的成果与全体教师分享。
五、如何借助直观模型，促进算理与算法有效融合的策略
著名数学家华罗庚曾说：“数无形时少直观，形无数时难入微”。纵观两节课，教师都舍得花时间，慢下来，借助直观模型，让学生去说理，去感悟算理，去理解每一步运算的道理，然后掌握具体的计算方法，形成计算技能。只有学生明确了算理和具体的方法，在生活中才能灵活、简便地进行交流。“如何借助直观模型，促进算理与算法有效融合”便成为有效实施计算教学的根本点和出发点。
1.借助直观操作，利于学生“知其然”
A老师执教的“100以内数的不退位减”，先出示情景图（人教版二年级上册17页的情景图）引导学生观察思考并提出问题列出算式36-23=。怎样计算36-23呢？①摆一摆：请用小棒摆一摆，并思考如何计算36-23。师问3捆小棒3表示什么？6根小棒6表示什么？②画一画：请在导学单上画一画，用圆片图来表示36-23的计算过程。老师把小棒换成圆片在黑板上直观演示，老师又问：“十位上的3表示什么？个位上的6表示什么？”紧接着老师演示课件让学生观察，口述过程，强调从个位的6个中去掉3个，从十位的3个中去掉2个;③写一写：结合学过的加法的竖式写法，尝试写出36-23的竖式计算。如何列竖式笔算？小组讨论，
汇报，老师根据学生的口述列出算式;④列竖式计算时应注意什么？⑤归纳算法，先从哪位算起？再算哪位？借助学生已有的口算方法进行竖式计算，借助直观模型操作帮助学生明白一般先做什么，再做什么，最后做什么？逐步经历从动作思维到形象思维，再到抽象思维的过程，让学生真正从操作中有所收获，学生将操作中获得的感性认识抽象“竖式”这一数学符号。学生在动思相融的操作过程中，理解“形”和“数”之间的联系。
2.在直观的动手操作中经历算理的探索过程，使学生真正“知其然”
B老师执教“退位减”课中，解决51-36看似简单的计算，但要真正使学生理解，也不简单。在学生利用已学的知识和生活经验解决这个问题的基础上，把课的重心放在两位数减两位数的退位减的算理上，形成算法。51-36=。你会算吗？引导学生摆小棒，在学生摆小棒的过程中老师提问：①为什么要拆开5捆中的一捆吗？不拆可以吗？②现在应该怎么减？减完后还剩下几捆几根？从而引出列竖式计算想一想先算什么？够减吗？怎么办？水到渠呢，个位不够减从十位退1。演示算理的同时书写竖式，就将抽象的竖式与形象的直观模型建立，竖式中的每一部分对应模型中的相应部分。在这种“转化”过程中学生理解了为什么这样转化，也就是理解了算理。 3.沟通知识间的联系，实现“知其所以然”
计算方法是一个逐渐领悟的过程，在算理直观与算法抽象之间架设一座桥梁，让学生充分体验逐步完成动作思维到形象思维，再到抽象思维的过程。B老师让学生对比36-23与51-36，这两道题在计算上有什么相同点，有什么不同点？如何进行两位数减两位数的竖式计算？计算时要注意什么？学生在亲身经历“结果”形成的过程中发展思维。教学中没有刻意追求得出所谓形式上的计算法则，但学生所说的不就是算理算法的核心嗎？“理”通了，“法”就顺了。借助直观，为学生理解算理提供支撑的直观材料，建立感悟算理桥梁，从而达到算理与算法的有效融合。
4.让错误成为资源，通理晓法，夯实计算基础
孩子在计算中出现的错误，往往被我们认为是习惯不好，粗心大意，极易被忽视。殊不知这种“忽视”会让“马虎”的幌子掩盖了问题的真相，是孩子算理不通，还是算法不明，只有辨别清楚“真伪”之后，才能帮助孩子通理晓法，对症下药。在计算教学中，我最深刻的感受是：计算教学要理法融合，用好直观模型，理清“算理”，才能探得“通理晓法”这朵花。
六、研究成效
1.学生的变化
（1）学生的学习方式变了
从前学生的学习方法是灌输式、注入式，所以他们在学习算法时被动接受算法。而现在，借助直观模型，学生可以在活动中自主探究算理，真正做到将算理与算法有效融合。
（2）学生的计算能力在逐步提高
从学生的作业和试卷中我们可以清晰地看到学生的错题在逐渐减少，在期末测评及平时的计算能力竞赛中，我们都会对数据进行分析，数据结果表示学生的正确率上去了，计算能力提高了！
2.教师的变化
（1）教师教学方式变了
传统的教学方式是教师一张嘴、一支粉笔，从头讲到尾。而现在教师在课堂上运用“讨论”“探究”“情境”“发现”等方法，真正使学生成为课堂主人，而教师则是学生学习的组织者、引导者、合作者。
（2）促进教师整体素质的提升
在多次的专题研讨及课堂教学展示活动中，教师都能围绕“借助直观模型，促进算理与算法的有效融合”进行深入探讨，在研究中不断反思、总结，提升了自身业务素质及教科研水平。
七、研究中的困惑及今后研究方向
在专题研究的过程中，我校数学教师教学理念发生了很大的转变，在教学中不断改善教学方法，在计算教学中算理和算法得到了有效融合，学生的计算能力明显提升。同时在研究过程中也遇到了一些困惑，如，教学中个别教师专注于理解算理，用了大量时间让学生去探索算理，算法练习的时间相对减少，总感觉40分钟不够用等。在计算教学中，如何把握算理和算法教学时间的合理分配;如何处理算法多样化和算法优化之间的关系;如何将计算与应用问题进行融合;如何处理估算和精算之间的关系等成为摆在当前计算教学中亟须解决的问题，希望得到各位专家及同行的指导。
针对以上困惑及问题，在今后的工作中我们将继续扎实开展借助直观模型，促进算理与算法有效融合策略的研究工作，将专题做得更细致，进而确保专题研究的高水平、高质量！
参考文献：
[1]陈培群.在丰富的思考活动中发展学生的数感[J].小学数学教师，2012（12）.
[2]胡爱明.虚实相生 法理互通[J].小学数学教师，2010（4）.
[3]肖川.义务教育《数学课程标准》（2011年版）解读[M].武汉：湖北教育出版社，2012.
[4]杨颖.数形结合 自然建构 突破难点[J].小学数学，2012（3）.
[5]张丹.小学数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版集团，2010.
基金项目：本文系宁夏第五届基础教育教学课题“基于数学核心素养的高中数学教学实践研究”（课题编号：JXKT-ZS-05-078）的研究成果。
编辑 王亚青
关键词：直观模型;建立数感和符号意识;算理与算法
一、研究背景
本文以两位教师执教两节公开课为例，研究借助直观模型，促进算理与算法的有效融合，提升学生直观抽象、数学运算、数据分析及数学建模等核心素养。课程标准明确要求，通过数学学习，要让孩子获得四基（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），增强四能（发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力），理解核心概念。怎样计算是教学的重要内容，但仅此绝不充分，还要让孩子明白为什么这么计算，也就是必须明白算理。实现算理与算法的融会贯通。直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或圆形图、直线等。而只有用好直观模型才能更好地促进算法与算理有效融合。“算理”是学生走向“算法”的桥梁，是学生学习“算法”的知识基础，而“算法”是学生学习的中心任务。处理好算理和算法的关系，引导学生循“理”入“法”，以“理”驭“法”，要借助模型，建立联系，实现算理与算法的融会贯通。将“借助直观模型，促进算理与算法的有效融合”作为研究主题，以此为抓手，对数学计算教学中存在的问题进行反思、总结，在研究中促进教师专业发展和学生运算能力的提高。
二、研究内容
1.用好直观模型，促进对算理的“真”理解。
2.借助直观模型，建立联系，实现算理与算法的有效融合。
3.深入理解算理和算法的内涵。
4.进一步明晰算理与算法的关系，探讨在教学中如何借助直观模型，促进算理与算法的有效融合。
5.探讨教学中如何借助直观模型，促使算理直观和算法抽象有效融合的具体措施。
三、研究目标
1.引领教师围绕专题学习、思考、实践，在科学理论的指导下，寻求计算教学中借助直观模型，促进算理与算法的有效融合，促进教师专业成长。
2.引导学生掌握科学的算理和有效的算法，提高计算的效率，提升学业成绩，激发学习计算课的热情，体验学习计算课的快乐。
3.打造研究型的教师队伍，将教学推向科研的轨道，促进学校教学科研可持续发展。
四、研究过程
1.深入钻研教材，全面整理小学阶段计算课教学内容及目标
理论学习后，我校数学教师明确《义务教育数学课程标准》中对“算理和算法”相关的教学指导意见，深入钻研教材，对小学阶段整数、小数、分数四则运算的教学内容进行全面的整理，并对目标进行分析。从中我们发现对计算课中的“算理”和“算法”教学目标的表述所使用的行为动词有所不同，“算理”使用“理解”“经历……过程”“探索”等描述过程目标的行为动词，“算法”使用了“会”“能”“掌握”等描述结果目标的行为动词。
2.围绕专题研究内容，采用“三备课两执教”的教研模式扎实开展研究
专题研究的有效开展离不开课堂教学，立足于課堂，边研究边实践，才能将所学的学科理论知识内化为我们的教学行为。为此，我们把专题的研究和日常教学活动紧密地结合起来。低段备课组根据教学内容制定了相应的专题研究内容和计划。采用“三备课两执教”的教研模式开展课例研究，并将研究的全过程记录下来，确保专题研究扎实有效。“三备课两执教”教研模式，即执教教师第一次备课后，将教学设计发送到低段备课组群，全体数学教师在集体备课时评论、研讨，执教教师参考建议，修改教学设计，进行二次备课。接着开始第一次正式执教，组织教师听、评课，请骨干教师指导教学，查找存在的问题。根据指导建议，进行第三次备课，最后第二次执教，上好专题研究展示课，将研究的成果与全体教师分享。
五、如何借助直观模型，促进算理与算法有效融合的策略
著名数学家华罗庚曾说：“数无形时少直观，形无数时难入微”。纵观两节课，教师都舍得花时间，慢下来，借助直观模型，让学生去说理，去感悟算理，去理解每一步运算的道理，然后掌握具体的计算方法，形成计算技能。只有学生明确了算理和具体的方法，在生活中才能灵活、简便地进行交流。“如何借助直观模型，促进算理与算法有效融合”便成为有效实施计算教学的根本点和出发点。
1.借助直观操作，利于学生“知其然”
A老师执教的“100以内数的不退位减”，先出示情景图（人教版二年级上册17页的情景图）引导学生观察思考并提出问题列出算式36-23=。怎样计算36-23呢？①摆一摆：请用小棒摆一摆，并思考如何计算36-23。师问3捆小棒3表示什么？6根小棒6表示什么？②画一画：请在导学单上画一画，用圆片图来表示36-23的计算过程。老师把小棒换成圆片在黑板上直观演示，老师又问：“十位上的3表示什么？个位上的6表示什么？”紧接着老师演示课件让学生观察，口述过程，强调从个位的6个中去掉3个，从十位的3个中去掉2个;③写一写：结合学过的加法的竖式写法，尝试写出36-23的竖式计算。如何列竖式笔算？小组讨论，
汇报，老师根据学生的口述列出算式;④列竖式计算时应注意什么？⑤归纳算法，先从哪位算起？再算哪位？借助学生已有的口算方法进行竖式计算，借助直观模型操作帮助学生明白一般先做什么，再做什么，最后做什么？逐步经历从动作思维到形象思维，再到抽象思维的过程，让学生真正从操作中有所收获，学生将操作中获得的感性认识抽象“竖式”这一数学符号。学生在动思相融的操作过程中，理解“形”和“数”之间的联系。
2.在直观的动手操作中经历算理的探索过程，使学生真正“知其然”
B老师执教“退位减”课中，解决51-36看似简单的计算，但要真正使学生理解，也不简单。在学生利用已学的知识和生活经验解决这个问题的基础上，把课的重心放在两位数减两位数的退位减的算理上，形成算法。51-36=。你会算吗？引导学生摆小棒，在学生摆小棒的过程中老师提问：①为什么要拆开5捆中的一捆吗？不拆可以吗？②现在应该怎么减？减完后还剩下几捆几根？从而引出列竖式计算想一想先算什么？够减吗？怎么办？水到渠呢，个位不够减从十位退1。演示算理的同时书写竖式，就将抽象的竖式与形象的直观模型建立，竖式中的每一部分对应模型中的相应部分。在这种“转化”过程中学生理解了为什么这样转化，也就是理解了算理。 3.沟通知识间的联系，实现“知其所以然”
计算方法是一个逐渐领悟的过程，在算理直观与算法抽象之间架设一座桥梁，让学生充分体验逐步完成动作思维到形象思维，再到抽象思维的过程。B老师让学生对比36-23与51-36，这两道题在计算上有什么相同点，有什么不同点？如何进行两位数减两位数的竖式计算？计算时要注意什么？学生在亲身经历“结果”形成的过程中发展思维。教学中没有刻意追求得出所谓形式上的计算法则，但学生所说的不就是算理算法的核心嗎？“理”通了，“法”就顺了。借助直观，为学生理解算理提供支撑的直观材料，建立感悟算理桥梁，从而达到算理与算法的有效融合。
4.让错误成为资源，通理晓法，夯实计算基础
孩子在计算中出现的错误，往往被我们认为是习惯不好，粗心大意，极易被忽视。殊不知这种“忽视”会让“马虎”的幌子掩盖了问题的真相，是孩子算理不通，还是算法不明，只有辨别清楚“真伪”之后，才能帮助孩子通理晓法，对症下药。在计算教学中，我最深刻的感受是：计算教学要理法融合，用好直观模型，理清“算理”，才能探得“通理晓法”这朵花。
六、研究成效
1.学生的变化
（1）学生的学习方式变了
从前学生的学习方法是灌输式、注入式，所以他们在学习算法时被动接受算法。而现在，借助直观模型，学生可以在活动中自主探究算理，真正做到将算理与算法有效融合。
（2）学生的计算能力在逐步提高
从学生的作业和试卷中我们可以清晰地看到学生的错题在逐渐减少，在期末测评及平时的计算能力竞赛中，我们都会对数据进行分析，数据结果表示学生的正确率上去了，计算能力提高了！
2.教师的变化
（1）教师教学方式变了
传统的教学方式是教师一张嘴、一支粉笔，从头讲到尾。而现在教师在课堂上运用“讨论”“探究”“情境”“发现”等方法，真正使学生成为课堂主人，而教师则是学生学习的组织者、引导者、合作者。
（2）促进教师整体素质的提升
在多次的专题研讨及课堂教学展示活动中，教师都能围绕“借助直观模型，促进算理与算法的有效融合”进行深入探讨，在研究中不断反思、总结，提升了自身业务素质及教科研水平。
七、研究中的困惑及今后研究方向
在专题研究的过程中，我校数学教师教学理念发生了很大的转变，在教学中不断改善教学方法，在计算教学中算理和算法得到了有效融合，学生的计算能力明显提升。同时在研究过程中也遇到了一些困惑，如，教学中个别教师专注于理解算理，用了大量时间让学生去探索算理，算法练习的时间相对减少，总感觉40分钟不够用等。在计算教学中，如何把握算理和算法教学时间的合理分配;如何处理算法多样化和算法优化之间的关系;如何将计算与应用问题进行融合;如何处理估算和精算之间的关系等成为摆在当前计算教学中亟须解决的问题，希望得到各位专家及同行的指导。
针对以上困惑及问题，在今后的工作中我们将继续扎实开展借助直观模型，促进算理与算法有效融合策略的研究工作，将专题做得更细致，进而确保专题研究的高水平、高质量！
参考文献：
[1]陈培群.在丰富的思考活动中发展学生的数感[J].小学数学教师，2012（12）.
[2]胡爱明.虚实相生 法理互通[J].小学数学教师，2010（4）.
[3]肖川.义务教育《数学课程标准》（2011年版）解读[M].武汉：湖北教育出版社，2012.
[4]杨颖.数形结合 自然建构 突破难点[J].小学数学，2012（3）.
[5]张丹.小学数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版集团，2010.
基金项目：本文系宁夏第五届基础教育教学课题“基于数学核心素养的高中数学教学实践研究”（课题编号：JXKT-ZS-05-078）的研究成果。
编辑 王亚青