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概率问题的探究旨在让同学们在学习中培养和发展随机观念，初步形成用随机观念观察和分析问题的意识.“等可能条件下的概率”是初中数学概率部分的重点，用树状图或列表法列举所有等可能事件的结果来计算概率是学好本章的关键，也是中考重点考查的内容.本文以“摸球实验”为基本模型，和同学们一起来探究在列举的过程中如何有条理地思考，并把思考过程有序、直观、简捷地呈现出来，使得列举的结果不重不漏，从而解决问题并形成解题模型，达到“一通百通”的目的.
一、一题为基，外形多变
例1 一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，求摸到红球的概率.
变1：一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.
变2：一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，搅匀，再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.
变3：一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出3个球.求三次都摸到红球的概率.
【分析】 一问：“摸球几次？”
请同学们仔细阅读以上例题和变式，你会发现题目雷同却存不同，在摸球实验中，若摸一次球，则利用事件A发生的概率公式 P（A）=[mn]（m为事件A发生可能出现的结果数；n为所有等可能出现的结果数）直接计算概率，如上题中的“例题”直接可求出P（摸到红球）=[34]；若摸球次数为2次或2次以上，则可以用树状图或列表法列举所有等可能事件的结果来计算概率.这“一问”是解题基础，“摸几次”的答案直接将题目进行分类，从而将题目“定性”；若摸球次数为2次或2次以上，可根据摸球的次数再次将树状图或表格进行“定形”.所以，同学们在审题时，一定要找准这审题第一问的答案，为以下解题筑好基础.
二问：“摸球以后放不放回？”
在多数摸球实验中，摸球次数为2次或2次以上，所以，“二问”将目光瞄准了此类题目.同学们在审题过程中，要找准摸球实验的规则和方法，找准关键词“放回”“不放回”.如“变1”强调了“放回”，“变2”强调了“不放回”.此类题目在树状图或表格法的绘制上略有不同，如下：
在变1、2题中，相同之处为摸球2 次，在树状图中表现为树状图分为两层（如图1、图2）；在表格的绘制上表现为表格的第一行和第一列（如图3、图4）.若摸球3次（如变3题），则树状图分为三层，以此类推.
两张树状图的不同之处在于图1第二层每个枝丫下分了4支，图2每个枝丫下则分为了3支；两张表格的不同之处在实验结果的矩形对角线上.导致这些不同之处的原因，相信同学们都已经找到了答案，那就是摸球后“放不放回”起了关键性的作用.
由此可见，同学们在解题时，一定要找准关键词“放回”“不放回”，这是解此类概率题的易错点，也是画对树状图和表格的重中之重.但是，有一类题没有明确的导向性字眼，如变3题，叙述为“摸出3个球”，其试验模型为“不放回”，这就需要同学们在审题时结合生活情境仔细分析，从而得出“放回”“不放回”的结论用于解题.这也需要同学们接触题目时多思考多总结，找到题目特征，形成一套正确的判断标准.
三问：“树状图和表格法哪个更适用？”
“工欲善其事，必先利其器”，只有选对了工具，才能事半功倍.在题目涉及用树状图和表格法解决时，同学们要思考一下：“树状图和表格法哪个更适用？”当试验中摸球2次，则树状图和表格法都可以用.但实际绘制中可以发现，所有等可能事件的结果数量较少时，树状图是一个很好的选择；反之，所有等可能事件的结果数量较多时，表格法更加清晰明了.当试验中摸球3次或3次以上，则表格法就不适用了，这时树状图更加适合.
【解答】当审题三问都明确答案后，进入解题程序：
第一步：用树状图或列表法列举所有等可能事件的结果；
第二步：结合题意挑选出符合要求的结果（为了不漏解，可在图表上做上恰当的标注），并做好分析，如变1分析为“共有16种等可能的结果，其中‘2次都摸到红球’的有9种”；
第三步：计算概率，下好结论，如变1的计算过程为“P（2次都摸到红球）=[916]，即2次都摸到红球的概率是[916]”.
【点评】“等可能条件下的概率”中概率值的求得，一定要明确三个要点：1.明确题型列结果；2.找准目的取所需；3.精准计算得概率.第一个要点是在“三问”的基础上得出的；第二个要点强调了要根据题意明确目的找自己需要的结果，在这一环节上，同学们较容易犯错，少解、漏解情况频频发生；第三个要点要注意计算的正确性.
二、一题为基，方法多解
例2 在一个盒子中装有红球、绿球、白球各1个，这三个球除颜色外都相同，小明先从盒子中摸出2个球后放回，小李再从盒子中摸出2个球.请用列表或画树状图法求他们摸到的4个球恰好包含所有颜色的概率.
【解答】设红—R、绿—G、白—W；
法1：画出树状图：
共有36种等可能的结果，其中“4个球包含所有颜色”的结果有24种；
P（4个球包含所有颜色）=[2436]=[23]，
所以4个球包含所有颜色的概率为[23].
法2：画出树状图：
共有9种等可能的结果，其中“4个球包含所有颜色”的结果有6种.P（4个球包含所有颜色）=[69]=[23]，所以4个球包含所有颜色的概率为[23] .
法3：画出树状图：
共有9种等可能的结果，其中“4个球包含所有颜色”的结果有6种.P（4个球包含所有颜色）=[69]=[23]，所以4个球包含所有颜色的概率为[23].
【点评】法1体现了“一通百通”的精髓，即：摸球摸了4次，小明、小李摸球以后都不放回，但是在树状图的绘制上较复杂，在找需要的等可能结果时工作量也较大，容易犯错；法2用枚举法直接列举了小明、小李摸球2次的结果，将结果看成整体绘制树状图，本质为“不放回”，较为简洁，但是在枚举时容易遗漏；法3则是换了一个角度思考问题，考虑的是小明、小李摸球两次后剩下的球，本质为“不放回”，树状图也较为简洁，但是在找需要的等可能结果时也需要反向思维.三种方法在解题时都遵循了三要素：明确题型列结果；找准目的取所需；精准计算得概率.在解题过程中的“化繁为简”也是同学们在方法、技巧学习上的一个升华，这样往往能够达到事半功倍的效果.
本章内容紧密联系生活实际，涉及的题目背景内容宽泛，但万变不离其宗，对于题目的“华丽变身”，我们要建立“摸球试验”的模型，找异同、抓本质，审题时紧扣“三问”、解题时践行“三步”、检验时遵循“三要”，灵活机动考虑问题.相信同学们抓住了这些，就能做到真正的“一通百通”.
（作者单位：江苏省无锡市新吴区第一实验学校）
一、一题为基，外形多变
例1 一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，求摸到红球的概率.
变1：一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.
变2：一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后不放回，搅匀，再从中任意摸出1个球.求两次都摸到红球的概率.
变3：一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出3个球.求三次都摸到红球的概率.
【分析】 一问：“摸球几次？”
请同学们仔细阅读以上例题和变式，你会发现题目雷同却存不同，在摸球实验中，若摸一次球，则利用事件A发生的概率公式 P（A）=[mn]（m为事件A发生可能出现的结果数；n为所有等可能出现的结果数）直接计算概率，如上题中的“例题”直接可求出P（摸到红球）=[34]；若摸球次数为2次或2次以上，则可以用树状图或列表法列举所有等可能事件的结果来计算概率.这“一问”是解题基础，“摸几次”的答案直接将题目进行分类，从而将题目“定性”；若摸球次数为2次或2次以上，可根据摸球的次数再次将树状图或表格进行“定形”.所以，同学们在审题时，一定要找准这审题第一问的答案，为以下解题筑好基础.
二问：“摸球以后放不放回？”
在多数摸球实验中，摸球次数为2次或2次以上，所以，“二问”将目光瞄准了此类题目.同学们在审题过程中，要找准摸球实验的规则和方法，找准关键词“放回”“不放回”.如“变1”强调了“放回”，“变2”强调了“不放回”.此类题目在树状图或表格法的绘制上略有不同，如下：
在变1、2题中，相同之处为摸球2 次，在树状图中表现为树状图分为两层（如图1、图2）；在表格的绘制上表现为表格的第一行和第一列（如图3、图4）.若摸球3次（如变3题），则树状图分为三层，以此类推.
两张树状图的不同之处在于图1第二层每个枝丫下分了4支，图2每个枝丫下则分为了3支；两张表格的不同之处在实验结果的矩形对角线上.导致这些不同之处的原因，相信同学们都已经找到了答案，那就是摸球后“放不放回”起了关键性的作用.
由此可见，同学们在解题时，一定要找准关键词“放回”“不放回”，这是解此类概率题的易错点，也是画对树状图和表格的重中之重.但是，有一类题没有明确的导向性字眼，如变3题，叙述为“摸出3个球”，其试验模型为“不放回”，这就需要同学们在审题时结合生活情境仔细分析，从而得出“放回”“不放回”的结论用于解题.这也需要同学们接触题目时多思考多总结，找到题目特征，形成一套正确的判断标准.
三问：“树状图和表格法哪个更适用？”
“工欲善其事，必先利其器”，只有选对了工具，才能事半功倍.在题目涉及用树状图和表格法解决时，同学们要思考一下：“树状图和表格法哪个更适用？”当试验中摸球2次，则树状图和表格法都可以用.但实际绘制中可以发现，所有等可能事件的结果数量较少时，树状图是一个很好的选择；反之，所有等可能事件的结果数量较多时，表格法更加清晰明了.当试验中摸球3次或3次以上，则表格法就不适用了，这时树状图更加适合.
【解答】当审题三问都明确答案后，进入解题程序：
第一步：用树状图或列表法列举所有等可能事件的结果；
第二步：结合题意挑选出符合要求的结果（为了不漏解，可在图表上做上恰当的标注），并做好分析，如变1分析为“共有16种等可能的结果，其中‘2次都摸到红球’的有9种”；
第三步：计算概率，下好结论，如变1的计算过程为“P（2次都摸到红球）=[916]，即2次都摸到红球的概率是[916]”.
【点评】“等可能条件下的概率”中概率值的求得，一定要明确三个要点：1.明确题型列结果；2.找准目的取所需；3.精准计算得概率.第一个要点是在“三问”的基础上得出的；第二个要点强调了要根据题意明确目的找自己需要的结果，在这一环节上，同学们较容易犯错，少解、漏解情况频频发生；第三个要点要注意计算的正确性.
二、一题为基，方法多解
例2 在一个盒子中装有红球、绿球、白球各1个，这三个球除颜色外都相同，小明先从盒子中摸出2个球后放回，小李再从盒子中摸出2个球.请用列表或画树状图法求他们摸到的4个球恰好包含所有颜色的概率.
【解答】设红—R、绿—G、白—W；
法1：画出树状图：
共有36种等可能的结果，其中“4个球包含所有颜色”的结果有24种；
P（4个球包含所有颜色）=[2436]=[23]，
所以4个球包含所有颜色的概率为[23].
法2：画出树状图：
共有9种等可能的结果，其中“4个球包含所有颜色”的结果有6种.P（4个球包含所有颜色）=[69]=[23]，所以4个球包含所有颜色的概率为[23] .
法3：画出树状图：
共有9种等可能的结果，其中“4个球包含所有颜色”的结果有6种.P（4个球包含所有颜色）=[69]=[23]，所以4个球包含所有颜色的概率为[23].
【点评】法1体现了“一通百通”的精髓，即：摸球摸了4次，小明、小李摸球以后都不放回，但是在树状图的绘制上较复杂，在找需要的等可能结果时工作量也较大，容易犯错；法2用枚举法直接列举了小明、小李摸球2次的结果，将结果看成整体绘制树状图，本质为“不放回”，较为简洁，但是在枚举时容易遗漏；法3则是换了一个角度思考问题，考虑的是小明、小李摸球两次后剩下的球，本质为“不放回”，树状图也较为简洁，但是在找需要的等可能结果时也需要反向思维.三种方法在解题时都遵循了三要素：明确题型列结果；找准目的取所需；精准计算得概率.在解题过程中的“化繁为简”也是同学们在方法、技巧学习上的一个升华，这样往往能够达到事半功倍的效果.
本章内容紧密联系生活实际，涉及的题目背景内容宽泛，但万变不离其宗，对于题目的“华丽变身”，我们要建立“摸球试验”的模型，找异同、抓本质，审题时紧扣“三问”、解题时践行“三步”、检验时遵循“三要”，灵活机动考虑问题.相信同学们抓住了这些，就能做到真正的“一通百通”.
（作者单位：江苏省无锡市新吴区第一实验学校）