关于Pell方程的正整数解问题,国内外学者进行了广泛的讨论。本文以ax~2-by~2=±1为例,通过两种解法得出10个定理,并分别进行证明,结论如下:两种解法都假设(mod 20)为素数,第一种解法当1 (q≡±3,±7)、-1 (q≡±3,±7)、-1 (q≡-1,-3,-7,-9)、1 (q≡-1,-3,-7,-9)时,Pell方程都没有正整数解;第二种解法当1 (m,t∈Z~+,q≡±1,±9),且(pi/q)=-1(i=1,2,…2s+1)时,当1 (m,t∈Z~+,q≡±3,±7),且(pi/q=-1 (i=1,2,…s)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡1,9),且(pi/q)=-1 (i=1,2…2s+1)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡-3,-7),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…,s)时;当-1 (m,t∈Z~+,q≡3,7),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…,s)时;当=-1 (m,t∈Z~+,q≡-1,-9),且(pi/q)=-1 (i=1,2,…2s)时,Pell方程都没有整数解。