【摘 要】对二元函數极值存在的充分条件给出了一种新的证明方法，并对此充分条件的结论做了适当补充.
　　【关键词】二元函数 极值 充分条件
　　一、二元函数极值存在充分条件及其证明
　　则函数在处是否取得极值的条件如下：
　　（1）当时，具有极值.且当时，有极大值；当时有极小值；
　　（2）当时，没有极值；
　　（3）当时，若，则除了在的邻域内满足的点之外，有极小值；若，则除了在的邻域内满足的点之外，有极大值；若且时，若有极小值，若，有极大值.
　　分析：若函数在处取得极值，不妨设取得极大值.即存在的某个邻域 ，对且，都有.所以，在此邻域内，任意过的直线及上的点，都有.即对，为曲线 及曲线的极大值点.
　　反之，若能证明，对，为曲线 及曲线的极大值点，即为一元函数的极大值点，和为一元函数的极大值点，则就证明了为函数的极大值点.
　　对极小值点的情况，可作类似的讨论.
　　证明：任作过且与面垂直的平面
　　（1）若，当时，对，$所以， 为函数的极大值点；
　　当时，对部分对部分，所以， 对部分为函数的极大值点，对部分是函数的极小值点；
　　当时，对时，为函数的极大值点.
　　（2）若，作与（1）类似的讨论，可得：
　　当时，对为函数的极小值点；
　　当时，对部分为函数的极小值点；对部分为函数的极大值点；
　　当时，对时，为函数的极小值点.
　　（3）若，当时， 的符号对部分为正，对部分为负，所以，对部分，为函数的极小值点，对部分，为函数的极大值点.此时， .
　　当时，若，则，从而为函数的极小值点.若，则，从而为函数的极大值点.
　　由于不包括的直线，下对上的点作另外的讨论.
　　作平面，其截曲面得曲线对一元函数有
　　即为一元函数的驻点.又
　　若，为一元函数的极小值点.若，为一元函数的极大值点.
　　综上述：
　　（1）当时，函数具有极值.且当时，有极大值，当时有极小值；
　　（2）当时，没有极值；
　　（3）当时，若，则除了在的邻域内满足的点之外，有极小值；若，则除了在的邻域内满足的点之外，有极大值；若且时，若有极小值，若，有极大值.
　　二、举例
　　例：求函数的极值与极值点.
　　解：由函数极值的必要条件，令
　　因在驻点处，，故题给的函数在处取得极小值，点都为它的极小值点，其极小值为.
　　在驻点处，则在点的邻域内除满足的点之外，题给函数在处取得极小值0.但当时，.所以，不是题给函数的极值点.
　　参考文献：
　　[1]同济大学数学系.高等数学（下册）. 北京：高等教育出版社，2007.06：110页.
　　[2]邵剑，李大侃.高等数学专题梳理与解读.上海：同济大学出版社，2008.03：358页.
　　作者简介：
　　王淑娟（1980- ），女， 河南焦作人，讲师，理学博士，主要从事偏微分方程解得存在性研究。