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[摘要]数学是研究数量关系和空间形式的科学，借助思维导图为研究数学课程新发展的有效途径之一。从数学课程与思维导图形式融合（重思维导图形式）、数学课程与思维导图内容融合（重数学课程内容）、数学课程与思维导图辩证融合（重科学研究态度）三个方面进行研究，依托思维导图将学习者对于数学课程的不同角度的理解进行不同形态的建构，锤炼学习者对于数学学习经验的自我体验和重新创造，使之形成一个有序、有效的数学思维框架，达到数学课程和思维发展图形的无限融合。
[关键词]数学课程;思维导图;融合美
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号] 1007—9068（2019）32—0050—02
课程标准明确提出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”儿童的思维是直观形象的，而数学知识是抽象理性的，任何儿童的思维发展都有一个进行的序列，需要在一个有序的时空中进行数学课程的学习和发展。刻意的延缓节奏和盲目的越位教学都是不符合儿童认知发展规律的。皮亚杰亦认为：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑。”无论是数学知识发展的序列还是数学知识的四大领域，抑或是儿童学习认知能力的发展，都可以从结构建构角度来进行探索和研究。
如何合理建构数学课程？如何遵循学生思维发展规律？如何将数学课程中的结构元素与学生思维发展贴切融合？如何获得“合理建构”和“思维发展”有机融合？这一系列想法，随着学校开展的“高年级数学课程与思维导图的有效融合研究”而逐渐铺陈开来。思维导图又叫心智导图，是表达发散性思想的有效图形思维工具。思维导图运用图文并重的技巧，把各主题的关系用相互隶属和相关的层级图表现出来，把主题关键词通过图像、颜色等链接或区分开来。
根据思维导图的工具性和可操作性，笔者主要尝试从数学课程与思维导图融合研究中思维导图形式、数学课程内容、科学研究态度三个方面进行了研究，旨在以图融数，让数学课程更美一些。
一、借鉴思维导图蓝本，构建数学课程美的形式
每一门学科都不是独立存在的个体课程，或多或少都会包含其他学科的特色元素。例如，数学涉及画图即美术元素，数学涉及读题即阅读元素，数学涉及比赛成绩即体育元素，数学涉及节约能源即德育元素，数学涉及用字母表示数即英语元素，等等。由此可见，如果割裂开来看一门学科教学是不科学的。有了这些多元的表达元素，数学课程的表达也得以多样化，从而促进学生能从多个维度学习逻辑抽象的数学课程。
在数学课程中尝试进行多样化形式表达，让每一个表达形式都存在各自的数值意义和美育价值。那么如何将繁多的文字表达、直观的图形、趣味的字母、特殊的符号、丰富的色彩等元素有效地融合在一起呢？如何构建出一个有序、简要、精准表达数学课程内容的有效模式？这样的课程意义，是值得我们深入开发和进行序列研究的，在这样的场域之下，数学课程与思维導图的有效融合就值得期待和推崇了。
在我组J老师的“多边形的面积”复习课中，J老师从知识的梳理回顾序列中，为我们打开了一幅形式多样、思维延展的融合美图。
（1）形式多样自然美。第一主干——专门回顾研究多边形的面积。第一分支：常见多边形有哪些？第二分支：你想研究这些多边形的什么知识？（概念、面积、周长）。接着明确研究方向——回顾研究多边形的面积。第三分支：多边形面积公式以及如何推导公式，沟通这几种图形面积之间的联系，进行思维导图的小分支图建构。第二主干——多边形面积中的特殊关系。分三个分支进行研究，分别是等底等高的平行四边形和三角形、梯形的面积关系，等积等高的平行四边形和三角形面积关系，等积等底的平行四边形和三角形面积关系。第三主干——多边形面积的万能公式（梯形面积公式）。第一分支：演绎变化的梯形，发现只要上底与下底的和不变、高不变，多边形面积就不变。第二分支：沟通长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式，发现都可以用梯形面积公式来计算。随着整堂课的结束，一根根粗细得当的彩色线条、一块块布局分明的分支小图、一整幅呈现多元元素的思维导图跃然眼前。
（2）思维框架清晰美。在J老师的数学课程和思维导图研究课中，我们似乎品味到了散文中“形散而神不散”的意味。看似散乱的课堂学习形式，却始终紧紧围绕着数学知识“多边形面积”和“学生思维发展”双向目标进行。从基本知识的回顾整理到延展多边形面积内部勾连知识，从常规的思考复习方式到结合思维导图开放型自我复习，从杂乱无序到精准有序的思维整理……一切都有条不紊地进行。
学习思维导图，引进思维导图，结合思维导图进行数学课程结构合理建构，将思维发展形式与数学课程内容完美结合，将前沿思维发展理论与数学课程实践无缝对接，让学生在一幅幅左右对称、知识对应的框架图中，看到数学课程的结构美;在色彩鲜明、箭头指向小分支图中，看到数学课程的色彩美;在多样元素表征的思维导图中，看到自我数学课程的融合美！
二、迁移思维导图本质，丰富数学课程美的内容
数学知识不仅包括“客观性知识”（如乘法运算法则、三角形面积公式等），还包括从属于学生自己的“主观知识”，即带有鲜明个体认知特征的个人知识和数学活动经验。如对“数”的作用认识、解决某种数学问题的习惯性方法等，可谓仁者见仁，智者见智。这类知识是学生可以个性化理解的，不能一味地判断对错，只能说合适与否。由此可见，数学课程的内容也是包容万象，各者兼可融合的。
本学期，有幸聆听了数学课程中思维导图研究领域专家李保伟老师的研究课和专题讲座。笔者对于李保伟老师关于“分数知识”这一数字领域的思维导图课颇有感触。李保伟老师从一个分数引发了思维的发散研究，对分数的意义、分数的读写、分数的组成、比较分数大小、分数小数整数的转化、分数的四则运算、分数的由来、解决分数的实际问题、研究过程中的注意点（即强调内容）等诸多方面进行了梳理，脉络清晰、支支分明。从本堂课的内容来看，涉及了分数概念、分数的运算、分数的历史渊源、数学的思想方法、学习思维品质诸多元素。从李保伟老师的思维导图研究课中，我们见到了思维导图和数学课程丰富内容的紧密结合，更看到了数学课程内容和思维导图的有效融合。由李保伟老师的“分数知识”思维导图可联想到：小数知识的思维发展、自然数的思维发展、整数的思维发展、近似数的思维发展……一张张看得到的数学思维导图直观展现了丰满的数学课程内容，迸发出数学课程和思维导图的融合之美，同时也诱发了我们对思维导图中看不到极限领域的无限探究欲望。 三、甄别思维导图合理性，辩证助力数学课程美的发展
端正的研究态度和严谨的学习品质，也是每一个数学课程执行者行走着的动力和宗旨。世间万事万物皆有发展规律，数学课程发展也不例外，学生思维能力的培养和思维品质的發展更需要遵循辩证发展观。关于数学课程与思维导图的融合研究我们经历的不多，但是我们在思考，更在不断地行走下去。
任何一个课程的研究都不是一蹴而就的，需要一个长效的机制。制订切实可行的研究计划，并随着研究的有效展开，及时调整策略和修改研究的计划。遵循数学课程中知识的科学发展序列，秉持认真严谨的研究态度，从一个知识点到另一个知识生长点进行知识的序列衍生，由一个点勾连起另一个点，星星点点成一线;一条线串联起另一条线，线线连连成一网;一张网配搭另一张网，网络辐射无极限……这也是思维导图和数学课程融合的一大价值体现。
在进行统计知识和解决实际问题的教学中，有的数学内容可以结合思维导图进行有效融合。例如，数的知识序列、图形面积序列、找规律等知识，就可以很好地结合思维导图，进行从主干到分支的思维延展铺设，在一个个思维分支点中，形式和内容迸射成一朵朵思维之花。但在数学课程与思维导图的实际融合中，仍旧存在一些需要商榷的因素。第一，知识点跨度大。如，一册书中的每一个单元、每一个知识，是否都可以串联成一幅思维导图？如果知识点的跨度比较大，对学生知识的掌握完整性方面还是存在一定影响的。第二，知识点的勾连。每一个知识点中是否存在数学知识的内在联系？这种存在的勾连是否经得起推敲？如果仅仅是设计者（老师）一家之言，不一定能够引发学习者的学习共鸣，那么对于学生的思维发展促进性就需要考量了。
数学来源于人类的创造，在人们创造数学的过程中，数学真理由一个个直接经验转化为间接经验，并依赖一代一代人的重新演绎而传承延续下来。皮亚杰说：“个体的认识发展在一定意义上被看成整个人类认识的发展在较小范围内的重演或缩影。”在再创造过程中，学生获得数学知识的思维活动就如同人类认识发展的重新演绎。在这个传承过程中，代代相传的课程执行者更有不可懈怠的责任和义务，为数学课程的研究不懈努力。
美国著名课程理论家派纳和美术教育家艾斯纳将课程解读为一种包容性、开放性的文本，教师和学生都能够对文本进行不同角度的解读和不同形态的建构，让教育成为“自身经验创造者的历程”，进而“学会如何创造自己”，达到“美的生命境界”。尝试依托思维导图，让学习者从不同角度对数学课程进行不同形态的建构，重在锤炼学习者对于数学学习经验的自我体验和重新创造，形成一个有序、有效的数学思维框架，达到数学课程和思维导图的无限融合。实践证明，跨越领域、引进思维导图的数学课程研究，能让“教”与“学”从单一的数学学科学习延伸搭配其他各科课程学习，让学生透过支点相连的数学知识网络图看到无极限的思维发展可能性，获得直观和抽象的有效融合感，架构起数学课程中丰富多彩的思维导图。
（责编 吴关玲）
[关键词]数学课程;思维导图;融合美
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号] 1007—9068（2019）32—0050—02
课程标准明确提出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”儿童的思维是直观形象的，而数学知识是抽象理性的，任何儿童的思维发展都有一个进行的序列，需要在一个有序的时空中进行数学课程的学习和发展。刻意的延缓节奏和盲目的越位教学都是不符合儿童认知发展规律的。皮亚杰亦认为：“全部数学都可以按照结构的建构来考虑。”无论是数学知识发展的序列还是数学知识的四大领域，抑或是儿童学习认知能力的发展，都可以从结构建构角度来进行探索和研究。
如何合理建构数学课程？如何遵循学生思维发展规律？如何将数学课程中的结构元素与学生思维发展贴切融合？如何获得“合理建构”和“思维发展”有机融合？这一系列想法，随着学校开展的“高年级数学课程与思维导图的有效融合研究”而逐渐铺陈开来。思维导图又叫心智导图，是表达发散性思想的有效图形思维工具。思维导图运用图文并重的技巧，把各主题的关系用相互隶属和相关的层级图表现出来，把主题关键词通过图像、颜色等链接或区分开来。
根据思维导图的工具性和可操作性，笔者主要尝试从数学课程与思维导图融合研究中思维导图形式、数学课程内容、科学研究态度三个方面进行了研究，旨在以图融数，让数学课程更美一些。
一、借鉴思维导图蓝本，构建数学课程美的形式
每一门学科都不是独立存在的个体课程，或多或少都会包含其他学科的特色元素。例如，数学涉及画图即美术元素，数学涉及读题即阅读元素，数学涉及比赛成绩即体育元素，数学涉及节约能源即德育元素，数学涉及用字母表示数即英语元素，等等。由此可见，如果割裂开来看一门学科教学是不科学的。有了这些多元的表达元素，数学课程的表达也得以多样化，从而促进学生能从多个维度学习逻辑抽象的数学课程。
在数学课程中尝试进行多样化形式表达，让每一个表达形式都存在各自的数值意义和美育价值。那么如何将繁多的文字表达、直观的图形、趣味的字母、特殊的符号、丰富的色彩等元素有效地融合在一起呢？如何构建出一个有序、简要、精准表达数学课程内容的有效模式？这样的课程意义，是值得我们深入开发和进行序列研究的，在这样的场域之下，数学课程与思维導图的有效融合就值得期待和推崇了。
在我组J老师的“多边形的面积”复习课中，J老师从知识的梳理回顾序列中，为我们打开了一幅形式多样、思维延展的融合美图。
（1）形式多样自然美。第一主干——专门回顾研究多边形的面积。第一分支：常见多边形有哪些？第二分支：你想研究这些多边形的什么知识？（概念、面积、周长）。接着明确研究方向——回顾研究多边形的面积。第三分支：多边形面积公式以及如何推导公式，沟通这几种图形面积之间的联系，进行思维导图的小分支图建构。第二主干——多边形面积中的特殊关系。分三个分支进行研究，分别是等底等高的平行四边形和三角形、梯形的面积关系，等积等高的平行四边形和三角形面积关系，等积等底的平行四边形和三角形面积关系。第三主干——多边形面积的万能公式（梯形面积公式）。第一分支：演绎变化的梯形，发现只要上底与下底的和不变、高不变，多边形面积就不变。第二分支：沟通长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式，发现都可以用梯形面积公式来计算。随着整堂课的结束，一根根粗细得当的彩色线条、一块块布局分明的分支小图、一整幅呈现多元元素的思维导图跃然眼前。
（2）思维框架清晰美。在J老师的数学课程和思维导图研究课中，我们似乎品味到了散文中“形散而神不散”的意味。看似散乱的课堂学习形式，却始终紧紧围绕着数学知识“多边形面积”和“学生思维发展”双向目标进行。从基本知识的回顾整理到延展多边形面积内部勾连知识，从常规的思考复习方式到结合思维导图开放型自我复习，从杂乱无序到精准有序的思维整理……一切都有条不紊地进行。
学习思维导图，引进思维导图，结合思维导图进行数学课程结构合理建构，将思维发展形式与数学课程内容完美结合，将前沿思维发展理论与数学课程实践无缝对接，让学生在一幅幅左右对称、知识对应的框架图中，看到数学课程的结构美;在色彩鲜明、箭头指向小分支图中，看到数学课程的色彩美;在多样元素表征的思维导图中，看到自我数学课程的融合美！
二、迁移思维导图本质，丰富数学课程美的内容
数学知识不仅包括“客观性知识”（如乘法运算法则、三角形面积公式等），还包括从属于学生自己的“主观知识”，即带有鲜明个体认知特征的个人知识和数学活动经验。如对“数”的作用认识、解决某种数学问题的习惯性方法等，可谓仁者见仁，智者见智。这类知识是学生可以个性化理解的，不能一味地判断对错，只能说合适与否。由此可见，数学课程的内容也是包容万象，各者兼可融合的。
本学期，有幸聆听了数学课程中思维导图研究领域专家李保伟老师的研究课和专题讲座。笔者对于李保伟老师关于“分数知识”这一数字领域的思维导图课颇有感触。李保伟老师从一个分数引发了思维的发散研究，对分数的意义、分数的读写、分数的组成、比较分数大小、分数小数整数的转化、分数的四则运算、分数的由来、解决分数的实际问题、研究过程中的注意点（即强调内容）等诸多方面进行了梳理，脉络清晰、支支分明。从本堂课的内容来看，涉及了分数概念、分数的运算、分数的历史渊源、数学的思想方法、学习思维品质诸多元素。从李保伟老师的思维导图研究课中，我们见到了思维导图和数学课程丰富内容的紧密结合，更看到了数学课程内容和思维导图的有效融合。由李保伟老师的“分数知识”思维导图可联想到：小数知识的思维发展、自然数的思维发展、整数的思维发展、近似数的思维发展……一张张看得到的数学思维导图直观展现了丰满的数学课程内容，迸发出数学课程和思维导图的融合之美，同时也诱发了我们对思维导图中看不到极限领域的无限探究欲望。 三、甄别思维导图合理性，辩证助力数学课程美的发展
端正的研究态度和严谨的学习品质，也是每一个数学课程执行者行走着的动力和宗旨。世间万事万物皆有发展规律，数学课程发展也不例外，学生思维能力的培养和思维品质的發展更需要遵循辩证发展观。关于数学课程与思维导图的融合研究我们经历的不多，但是我们在思考，更在不断地行走下去。
任何一个课程的研究都不是一蹴而就的，需要一个长效的机制。制订切实可行的研究计划，并随着研究的有效展开，及时调整策略和修改研究的计划。遵循数学课程中知识的科学发展序列，秉持认真严谨的研究态度，从一个知识点到另一个知识生长点进行知识的序列衍生，由一个点勾连起另一个点，星星点点成一线;一条线串联起另一条线，线线连连成一网;一张网配搭另一张网，网络辐射无极限……这也是思维导图和数学课程融合的一大价值体现。
在进行统计知识和解决实际问题的教学中，有的数学内容可以结合思维导图进行有效融合。例如，数的知识序列、图形面积序列、找规律等知识，就可以很好地结合思维导图，进行从主干到分支的思维延展铺设，在一个个思维分支点中，形式和内容迸射成一朵朵思维之花。但在数学课程与思维导图的实际融合中，仍旧存在一些需要商榷的因素。第一，知识点跨度大。如，一册书中的每一个单元、每一个知识，是否都可以串联成一幅思维导图？如果知识点的跨度比较大，对学生知识的掌握完整性方面还是存在一定影响的。第二，知识点的勾连。每一个知识点中是否存在数学知识的内在联系？这种存在的勾连是否经得起推敲？如果仅仅是设计者（老师）一家之言，不一定能够引发学习者的学习共鸣，那么对于学生的思维发展促进性就需要考量了。
数学来源于人类的创造，在人们创造数学的过程中，数学真理由一个个直接经验转化为间接经验，并依赖一代一代人的重新演绎而传承延续下来。皮亚杰说：“个体的认识发展在一定意义上被看成整个人类认识的发展在较小范围内的重演或缩影。”在再创造过程中，学生获得数学知识的思维活动就如同人类认识发展的重新演绎。在这个传承过程中，代代相传的课程执行者更有不可懈怠的责任和义务，为数学课程的研究不懈努力。
美国著名课程理论家派纳和美术教育家艾斯纳将课程解读为一种包容性、开放性的文本，教师和学生都能够对文本进行不同角度的解读和不同形态的建构，让教育成为“自身经验创造者的历程”，进而“学会如何创造自己”，达到“美的生命境界”。尝试依托思维导图，让学习者从不同角度对数学课程进行不同形态的建构，重在锤炼学习者对于数学学习经验的自我体验和重新创造，形成一个有序、有效的数学思维框架，达到数学课程和思维导图的无限融合。实践证明，跨越领域、引进思维导图的数学课程研究，能让“教”与“学”从单一的数学学科学习延伸搭配其他各科课程学习，让学生透过支点相连的数学知识网络图看到无极限的思维发展可能性，获得直观和抽象的有效融合感，架构起数学课程中丰富多彩的思维导图。
（责编 吴关玲）