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本文中略去了很多枯燥但严格的证明，请不要怀疑它们的正确性。我们之所以将其略去，是因为我们不希望那种乏味打搅了读者学习一种使用技巧的兴致。
读者一定不介意解以下几个方程：x 7=0,2c=6,x2 2x-3=0,m2-2m 1=0。
权当娱乐了，也可以顺便嘲笑一下笔者的水平，增加一条在众多资料中忽略本篇的理由。
我们当然希望你读到了这一句——这意味着——你继续读下去了。恭喜你做出了正确的选择。我们是绝不会以上述几个“开玩笑”的问题浪费读者时间的。严肃一点，如果将上述第一和第三个方程相乘，即x3 9x2 11x-21=0（它无非是(x 7)(x2 2x-3)=0）,读者是否有把握将它解出来？
你将完全有可能在各种考试中遇到这样一些解高次方程的问题。读完本文，你就会对如何解高次方程的有理根有深刻的认识（至于那些只有复杂的方法才能对付的无理根，我们没有理由认为读者会在考试中遇到），从而填补一个空白。
一、一元三次方程有理根解法
我们准备着重介绍一元三次、四次方程的有理根解法，至于更高次的方程，属于那种百年不得一见之类，虽然可以使用同样的方法解决，但实属无必要。
请看例子：
解方程：2x 3=0, 3x 1=0, x-2=0
解方程：6x3-x2-19x-6=0((2x 3)(3x 1)(x-2)=0)
也许你已经看出我们的思路了。是的，分解。就像我们计算乘积(2x 3)(3x 1)(x-2)= 6x3-x2-19x-6那样自然，我们对6x3-x2-19x-6做除法就会得到想要的结果。而问题仅仅在于——除什么。
下面开始精彩的工作。我们不妨假定6x3-x2-19x-6有一个形如ax b的因式。容易看出，a是6的因数，b是-6的因数。你的直觉告诉你什么样的a和b是可行的？
a=1,b=3?试试看：6x3-x2-19x-6=(x 3)(6x2-17x 32)-102失败！
a=1,b=-2?再试试：6x3-x2-19x-6=(x-2)(6x2 11x 3) 成功了
够简便？其实不见得。我们还有更好的方法来简化这一过程：
（*）6① -1 -19 -6③（**）6① -1 -19 -6③（***）6① -1 -19 -6③
6 -12② 6 2② 6 9②
11 -22 -3 -1 -10 -15
3 -6 -18 -6 -4 -6
似乎有点抽象，但我们愿意相信读者已经明白了其中的道理。还是做一点说明吧。（事先声明，如果你觉得这一段过于艰涩而想要放弃，请读完整段再做决定。当然，最好的情况是读者还没有读下面的内容就已经明白了这种方法的操作过程。）为了方便起见，我们称上面例子中标①处为首位，标②处为第二位，标③处为末位。我们按降幂将系数写成一行，（请将空位用“0”补出），然后将首位抄在下一行。下面试试你的直觉，第二位是几？请注意，它的那些多于首位的素因数（忽略符号）将必须是末位的因数（大致来说，这是因为下面的所有行都将按照同样的比例写下去，而上文中我们又得出过“b是-6的因数”这一结论）。例如，(*)中，-12的素因数有2,2,3，而6的素因数有2,3，-12比6 多了一个2，2就必须是末位-6的因数。(***)中，9的素因数有3,3,6的素因数有2,3,9比6多了一个3,3就必须是末位-6的因数。现在，一旦第二位决定，你将只有撞向南墙（它不会让你头破血流，大不了重头再来。其实，从某种程度上讲，这种撞南墙的勇气同时猜断了a和b，从而帮助读者节约了工夫）。接着计算：-1-(-12)=11,11后面写几？当然，-12是6的-2倍，11的-2倍是-22，-19-(-22)=3,3的-2倍是-6。刚好是末位，恭喜你，成功了。注意到每行都是-2倍关系，所以直接提出(x-2)（或者说1，-2），各行分别是它的6,11,3倍，因而6x3-x2-19x-6=(x-2)(6x2 11x 3)。
再对6x2 11x 3试试这种方法吧：
6113
69
23
6x2 11x 3=(2x 3)(3x 1)
二、一些补充和更多技巧
请先看这种情况：
6-1-19-6
6-10 -4
9-15-6
6x3-x2-19x-6=(3x2-5x-2)(2x 3)
读者可能已经发现了这些问题：为什么每次都要拿出两项而不是像这一例的三项？一定有一种拿出两项就能成功的方法吗？
对于三次方程，它至少有一个实根，那么如果幸运的话（或者说多数情况下），是会有有理根的。也就是说，你根本不必怀疑每次拿出两项而成功的可能性。问题是，当存在着运算、估计明显更简便的“两项”算法，我们为什么非要与“三项”算法纠缠不清呢？而对于任意高次方程，如果“两项”法成功，我们就已经实现了化简（降次）（然后可以继续使用“两项”算法），何必在那么高的次数上进行“三项”算法呢（经验说明，四次水平上的“三项”算法就已经不容易了）？
读者到现在可能仍然不认可这种分解法，因为稍加试验便知，估计第二位并不是十分容易的事情。没有必要为此烦恼！事实上，读者应该为自己不会去进行包含更复杂的猜断的“三项”算法（最起码到目前为止）而感到高兴了。我们仍然回到这句话上来：第二位多于首位的因数必须是末位的因数。由前文所述，在那些占大多数的情况下（首项为1），这个关键句可以改写成：第二位必须是末位的因数。或者说：去末位的因数里寻找你的第二位吧。这意味着：如果读者遇到一些“好好先生”末位，比如1,-5或者13什么的，读者就尽管偷着乐吧。当然还有一些其实也并不坏的末位，比如6,12或-35。我们相信读者一定知道它们的因数（虽然各数不少，但总会有那么一些灵敏的直觉告诉你哪个才是你要找的因数。事实上，它们中的好几个可能都在等你，也就是说你找的它们并不困难）。可是如果你遇到的末位是223怎么办？
对了！这需要一些分解质因数的功夫。你会发现223=13*31。我们建议先试验31，因为这么古怪的一个因数出现在这里一定是有原因的。所以读者也不必为最后一种情况担心，越是为难人的末位就越容易露出类似于“31”这样的狐狸尾巴。
多说一句，对于首位不是1的情形，读者可以这样进行：在末位的因数里寻找第二位比首位多的因数。
练习：1、x3 2x2-19x-20=0;2、x3 7x2-54x 72=0;3、4x3-51x2 149x-126=0
解答：1、x1=-5,x2=-1,x3=4;2、x1=-12,x2=2,x3=3;3、x1=7/4,x2=2,x3=9
三、多元高次方程有理根解法
多元方程看起来要比一元方程复杂，其实不然。请看：
(1)2xy2 x2y 2y-x3-x 2xy 2x2 2=0
整理得：x3-(y 2)x2 (1-2y-2y2)x-2y-2=0
1-y-21-2y-2y2-2y-2
1-2y-2
y-2y2-2y
1 -2y-2
即(x-2y-2)(x2 xy 1)=0
(2)2x3-3x2y 3x2z-5xyz-2xy2-2y2z xz2-2yz2=0
整理得：2x3 (3z-3y)x2 (z2-5yz-2y2)x-2y2z-2yz2=0
23z-3yz2-5yz-2y2-2y2z-2yz2(或者-2yz(y z))
2y z
-4y 2z -2y2-yz z2
-4yz-2yz(y z)
即(2x y z)[x2 (z-2y)x-2yz]=0
事实上，由于多项式的一般性，0次项系数的因式基本上就是第二项多于首项的因式（如(1)中-2y-2的因式-2y-2，(2)中-2y2z-2yz2的因式y z），这里甚至不需猜断。也就是说，对于多元方程，我们只需分解主元的0次项！
一般方法：确定主元（一般是任意的），按降幂排列系数（式），分解0次幂项系数（式）以寻找第二项比首项多的因式（分解得到的多项式一般都是读者苦苦追寻的目标，这样就减少了变元个数——即只需分解不含主元的0次幂（直至只需分解仅含一个变元的多项式为止））。
读者一定不介意解以下几个方程：x 7=0,2c=6,x2 2x-3=0,m2-2m 1=0。
权当娱乐了，也可以顺便嘲笑一下笔者的水平，增加一条在众多资料中忽略本篇的理由。
我们当然希望你读到了这一句——这意味着——你继续读下去了。恭喜你做出了正确的选择。我们是绝不会以上述几个“开玩笑”的问题浪费读者时间的。严肃一点，如果将上述第一和第三个方程相乘，即x3 9x2 11x-21=0（它无非是(x 7)(x2 2x-3)=0）,读者是否有把握将它解出来？
你将完全有可能在各种考试中遇到这样一些解高次方程的问题。读完本文，你就会对如何解高次方程的有理根有深刻的认识（至于那些只有复杂的方法才能对付的无理根，我们没有理由认为读者会在考试中遇到），从而填补一个空白。
一、一元三次方程有理根解法
我们准备着重介绍一元三次、四次方程的有理根解法，至于更高次的方程，属于那种百年不得一见之类，虽然可以使用同样的方法解决，但实属无必要。
请看例子：
解方程：2x 3=0, 3x 1=0, x-2=0
解方程：6x3-x2-19x-6=0((2x 3)(3x 1)(x-2)=0)
也许你已经看出我们的思路了。是的，分解。就像我们计算乘积(2x 3)(3x 1)(x-2)= 6x3-x2-19x-6那样自然，我们对6x3-x2-19x-6做除法就会得到想要的结果。而问题仅仅在于——除什么。
下面开始精彩的工作。我们不妨假定6x3-x2-19x-6有一个形如ax b的因式。容易看出，a是6的因数，b是-6的因数。你的直觉告诉你什么样的a和b是可行的？
a=1,b=3?试试看：6x3-x2-19x-6=(x 3)(6x2-17x 32)-102失败！
a=1,b=-2?再试试：6x3-x2-19x-6=(x-2)(6x2 11x 3) 成功了
够简便？其实不见得。我们还有更好的方法来简化这一过程：
（*）6① -1 -19 -6③（**）6① -1 -19 -6③（***）6① -1 -19 -6③
6 -12② 6 2② 6 9②
11 -22 -3 -1 -10 -15
3 -6 -18 -6 -4 -6
似乎有点抽象，但我们愿意相信读者已经明白了其中的道理。还是做一点说明吧。（事先声明，如果你觉得这一段过于艰涩而想要放弃，请读完整段再做决定。当然，最好的情况是读者还没有读下面的内容就已经明白了这种方法的操作过程。）为了方便起见，我们称上面例子中标①处为首位，标②处为第二位，标③处为末位。我们按降幂将系数写成一行，（请将空位用“0”补出），然后将首位抄在下一行。下面试试你的直觉，第二位是几？请注意，它的那些多于首位的素因数（忽略符号）将必须是末位的因数（大致来说，这是因为下面的所有行都将按照同样的比例写下去，而上文中我们又得出过“b是-6的因数”这一结论）。例如，(*)中，-12的素因数有2,2,3，而6的素因数有2,3，-12比6 多了一个2，2就必须是末位-6的因数。(***)中，9的素因数有3,3,6的素因数有2,3,9比6多了一个3,3就必须是末位-6的因数。现在，一旦第二位决定，你将只有撞向南墙（它不会让你头破血流，大不了重头再来。其实，从某种程度上讲，这种撞南墙的勇气同时猜断了a和b，从而帮助读者节约了工夫）。接着计算：-1-(-12)=11,11后面写几？当然，-12是6的-2倍，11的-2倍是-22，-19-(-22)=3,3的-2倍是-6。刚好是末位，恭喜你，成功了。注意到每行都是-2倍关系，所以直接提出(x-2)（或者说1，-2），各行分别是它的6,11,3倍，因而6x3-x2-19x-6=(x-2)(6x2 11x 3)。
再对6x2 11x 3试试这种方法吧：
6113
69
23
6x2 11x 3=(2x 3)(3x 1)
二、一些补充和更多技巧
请先看这种情况：
6-1-19-6
6-10 -4
9-15-6
6x3-x2-19x-6=(3x2-5x-2)(2x 3)
读者可能已经发现了这些问题：为什么每次都要拿出两项而不是像这一例的三项？一定有一种拿出两项就能成功的方法吗？
对于三次方程，它至少有一个实根，那么如果幸运的话（或者说多数情况下），是会有有理根的。也就是说，你根本不必怀疑每次拿出两项而成功的可能性。问题是，当存在着运算、估计明显更简便的“两项”算法，我们为什么非要与“三项”算法纠缠不清呢？而对于任意高次方程，如果“两项”法成功，我们就已经实现了化简（降次）（然后可以继续使用“两项”算法），何必在那么高的次数上进行“三项”算法呢（经验说明，四次水平上的“三项”算法就已经不容易了）？
读者到现在可能仍然不认可这种分解法，因为稍加试验便知，估计第二位并不是十分容易的事情。没有必要为此烦恼！事实上，读者应该为自己不会去进行包含更复杂的猜断的“三项”算法（最起码到目前为止）而感到高兴了。我们仍然回到这句话上来：第二位多于首位的因数必须是末位的因数。由前文所述，在那些占大多数的情况下（首项为1），这个关键句可以改写成：第二位必须是末位的因数。或者说：去末位的因数里寻找你的第二位吧。这意味着：如果读者遇到一些“好好先生”末位，比如1,-5或者13什么的，读者就尽管偷着乐吧。当然还有一些其实也并不坏的末位，比如6,12或-35。我们相信读者一定知道它们的因数（虽然各数不少，但总会有那么一些灵敏的直觉告诉你哪个才是你要找的因数。事实上，它们中的好几个可能都在等你，也就是说你找的它们并不困难）。可是如果你遇到的末位是223怎么办？
对了！这需要一些分解质因数的功夫。你会发现223=13*31。我们建议先试验31，因为这么古怪的一个因数出现在这里一定是有原因的。所以读者也不必为最后一种情况担心，越是为难人的末位就越容易露出类似于“31”这样的狐狸尾巴。
多说一句，对于首位不是1的情形，读者可以这样进行：在末位的因数里寻找第二位比首位多的因数。
练习：1、x3 2x2-19x-20=0;2、x3 7x2-54x 72=0;3、4x3-51x2 149x-126=0
解答：1、x1=-5,x2=-1,x3=4;2、x1=-12,x2=2,x3=3;3、x1=7/4,x2=2,x3=9
三、多元高次方程有理根解法
多元方程看起来要比一元方程复杂，其实不然。请看：
(1)2xy2 x2y 2y-x3-x 2xy 2x2 2=0
整理得：x3-(y 2)x2 (1-2y-2y2)x-2y-2=0
1-y-21-2y-2y2-2y-2
1-2y-2
y-2y2-2y
1 -2y-2
即(x-2y-2)(x2 xy 1)=0
(2)2x3-3x2y 3x2z-5xyz-2xy2-2y2z xz2-2yz2=0
整理得：2x3 (3z-3y)x2 (z2-5yz-2y2)x-2y2z-2yz2=0
23z-3yz2-5yz-2y2-2y2z-2yz2(或者-2yz(y z))
2y z
-4y 2z -2y2-yz z2
-4yz-2yz(y z)
即(2x y z)[x2 (z-2y)x-2yz]=0
事实上，由于多项式的一般性，0次项系数的因式基本上就是第二项多于首项的因式（如(1)中-2y-2的因式-2y-2，(2)中-2y2z-2yz2的因式y z），这里甚至不需猜断。也就是说，对于多元方程，我们只需分解主元的0次项！
一般方法：确定主元（一般是任意的），按降幂排列系数（式），分解0次幂项系数（式）以寻找第二项比首项多的因式（分解得到的多项式一般都是读者苦苦追寻的目标，这样就减少了变元个数——即只需分解不含主元的0次幂（直至只需分解仅含一个变元的多项式为止））。