立体几何题是高考的热点之一,向量法是学生得分的最主要的方法.但是向量法的公式容易混淆,记不牢.下面谈谈一种向量公式的新记法,帮助同学们事半功倍地学习.
　　公式新记法为:
　　异面直线所成的角的公式为cosθ=|AB•CD||AB|•|CD|(这里θ是两条异面直线所成的角;点A,B为第一条直线上任意两点,点C,D为第二条直线上任意两点).
　　线面角公式为sinα=|斜•法||斜|•|法|(这里α是空间直线和平面所成的角,斜指的是空间直线上任意两点所连成的向量,法指的是平面的法向量).
　　二面角公式为cosθ=|法1•法2||法1|•法2|(这里θ是二面角的平面角或其补角,法1是第一个平面的法向量,法2是第二个平面的法向量)
　　点到面的距离公式为d=|斜•法||法|(这里d表示点到面的距离,斜指的是该点到该平面内任意一点所连成的向量,法指的是该平面的法向量)
　　【例1】 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=22,SA=SB=3.
　　(Ⅰ)证明:SA⊥BC;
　　(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小.
　　解析:(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连结AO,
　　由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.
　　因为SA=SB,所以AO=BO.
　　又∠ABC=45°,△AOB為等腰直角三角形,AO⊥OB.
　　如图1,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O-xyz,
　　图1
　　A(2,0,0),
　　B(0,2,0),
　　C(0,-2,0),
　　D(2,-22,0),
　　S(0,0,1),
　　SA=(2,0,-1),
　　CB=(0,22,0),
　　SA•CB=0,
　　所以SA⊥BC.
　　(Ⅱ)设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),∵AB=(-2,2,0),AS=(-2,0,1),
　　∴n•AB=0,n•AS=0,即
　　-2x+2y=0,
　　-2x+z=0.
　　令x=1,则y=1,z=2,
　　∴n=(1,1,2).
　　又∵DS=(-2,-22,1),
　　∴sinα=|n•DS||n|•|DS|
　　=|-2+22+2|211
　　=2211.
　　所以,直线SD与平面SAB所成的角为arcsin2211.
　　评注:线面角的向量公式sinα=|斜•法||斜|•|法|,注意这里是正弦,不是余弦,分子是数量积的绝对值.
　　图2-1
　　【例2】 如图2-1,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
　　(Ⅰ)求证:PC⊥AB;
　　(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;
　　(Ⅲ)求点C到平面APB的距离.
　　解析:(Ⅰ)∵AC=BC,AP=BP,
　　∵△APC≌△BPC.
　　又PC⊥AC,∴PC⊥BC.
　　∵AC∩BC=C,
　　∴PC⊥平面ABC.
　　∵AB平面ABC,
　　∴PC⊥AB.
　　(Ⅱ)如图2-2,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
　　则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).
　　图2-2
　　很明显CB⊥面APC.
　　∴CB=(2,0,0)为面APC的法向量.
　　设平面APB的法向量为n=(x,y,z),
　　∵AB=(2,-2,0),AP=(0,-2,2),
　　∴2x-2y=0,-2y+2z=0, 即x-y=0,-y+z=0.
　　令y=1,则x=1,z=1,∴n=(1,1,1).
　　∴cos〈n,CB〉=23•2=33.
　　∴二面角B-AP-C的大小为arccos33.
　　(Ⅲ)如(Ⅱ)建立空间直角坐标系C-xyz,
　　且CB=(2,0,0),n=(1,1,1)为面APC的法向量.
　　设点C到平面APB的距离为d,
　　则d=|CB•n||n|=23=233.
　　点C到平面APB的距离为233.
　　评注:用向量法解立体几何题有三点必须要注意:一是建立空间直角坐标系,关键是要找z轴,只要z轴找到了,空间直角坐标系就能建立了;二是训练自己的空间想象能力,要写对每个点的坐标;三是向量公式要熟记于心.
　　(责任编辑 金 铃)