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摘 要：利用费马原理推导出球形透镜的齐明点位置，并把齐明点应用于物镜组上。在给定参数的条件下设计一个物镜组，计算得出该物镜组中第二个透镜的曲面曲率半径、凹凸组合类别、出射光的孔径角和成像放大率。
关键词：齐明点；物镜组；放大率
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）6-0061-3
透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的介质，通常是玻璃。光经过两个表面的折射形成会聚或是发散的效果。在光具组成像的过程中，要求物是傍轴条件。傍轴条件要求成像光束的孔径小，这样的限制在实际应用中往往行不通，比如高倍显微镜物镜需要傍轴小物能以大孔径成像，所以实际应用中往往要突破傍轴条件的限制，从而不可避免地会带来几何像差。球差和彗差是比较常见几何像差，在透镜的某些特殊点处可以消除球差和彗差。例如，物体位于球形折射面的球心处和齐明点处，成像不产生球差和彗差。本文根据费马原理推导球形折射面的齐明点位置，并详细讨论了一道物理竞赛题目中关于齐明点在显微物镜组中的应用。[1-2]
1 由费马原理推导球面的齐明点位置
对单个折射球面齐明点的位置的求解：如图1（a）所示，设真空中放置一个半径为R、折射率为n的玻璃球。在轴线上有一点P，在此放置一个小物体，物体向上发出的任一条光线经过球面折射后反向延长线严格交于一点Q，下面通过费马原理计算P和Q的位置。
因为所成的像是虚像，所以段的光程是虚的。物点P与像点Q之间的光程为：
（PAQ）=n-=n-（1）
由费马原理可知物点与像点之间的光程是定值，则光程（PAQ）与γ无关，即：
=0
= =0，即
[n22（2 R2）-2（2 R2）] （2n22-
22）cosγ=0（2）
（2）式对任意γ恒成立，整理得：
n22（2 R2）=2（2 R2），
2n22=22
因≥0，故得两组解：
==0或=，=nR。第一组解对应物体位于球心的情形，第二组解对应球面的齐明点位置。
上面讨论的是折射率为n的介质球的齐明点。假设在折射率为n的介质中有半径为R的空气球，如图1（b）所示。那么这个空气球的齐明点的位置应与上述讨论的位置相同，但物和像的位置与折射率為n的介质球相反，即物放置在距离空气球的球心nR处，成像在距空气球的球心处。
（a） （b）
2 齐明点应用于透镜组的论述
下面的论述是基于一道物理竞赛习题，取自竞赛题目的相关参数。题目的部分内容如下：
设某显微镜的物镜是折射率为n1，半径为R1的半球，其平底面和物同浸在折射率与物镜材料相同的油中，物即位于一个齐明点上。
①试设计物镜组第二个透镜的两球面的半径R2和R3，使其物、像也是齐明点。已知该透镜材料的折射率为n2，透镜前球面与第一个透镜后球面的间距为d1，透镜中央厚度为d2；
②估算从第二个透镜出射的光的孔径角β；
③求经两个透镜成像后的放大率k；
④设n1=1.5，n2=1.6，R1=3 mm，d1=2.0 mm，d2=1.5 mm，求R2，R3，β和k的数值。
分析如下：物体在球形折射面的球心处时不产生球差和彗差，物体在齐明点处也不产生球差和彗差。无论物体位于球心还是齐明点均要求光照射在凹球面，所以凸透镜的形状不能是双凸形的凸透镜，只能是凹凸形的凸透镜。题目中的显微物镜的配置如图2所示。设半径为R2的折射曲面为∑2，半径为R3的折射曲面为∑3。原题目的解答中说明物s放在半径为R1的半球的齐明点上（作为已知条件给出），折射之后的像s’成在其另一个齐明点上，同时s’位于曲面∑2的中心处，光线无折射地射入透镜中，成像在原来的位置，这个位置正好是曲面∑3的齐明点，折射成像于另一个齐明点上。但是解答中没有明确说明这样成像的理由，本文进行了详尽的论述。
如图3所示是构成凹凸透镜的球面配置，为保证半径为R2的球在左侧，半径为R3的球在右侧，且两个球相交构成凹凸形的透镜，则两个球面的半径应满足存在条件：
2R2 d2>2R3（3）
第一步：确定R2、R3的数值，分三种情况讨论如下。
设s’是∑2面的物，s’的像s’’是∑3面的物
① 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上
s’到∑2面的顶点O2的距离为n1R1 R1 d1。同时s’位于∑2面的齐明点上，这时等效为在折射率为n2的介质中，有半径为R2的空气球，s’到O2的距离为n2R2 R2，则n1R1 R1 d1=n2R2 R2，代入数据求得R2≈3.65385 mm。s’经过∑2面成像于s’’，s’’到∑3面的顶点O3的距离为R2 R2 d2，同时s’’位于∑3面的齐明点上，则R2 R2 d2=R3 R3，代入数据求得R3≈4.57692 mm。R2和R3的数值代入存在条件（3）中，满足①这种情况的凹凸透镜不存在。
② 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的像s’’位于∑3面的球心点上
同情况①，∑2面的半径R2≈3.65385 mm。s’的像s’’位于∑3面的球心上，则R3=R2 R2 d2，代入数据得R3≈7.43750 mm。R2和R3的数值代入存在条件（3）中，满足②这种情况的凹凸透镜不存在。
③ 图4中s’位于∑2面的球心点上，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上
s’到∑2面的顶点O2的距离为n1R1 R1 d1，同时s’位于∑2面的球心处，则R2=n1R1 R1 d1，代入数据得R2=9.50000 mm。s’发出的光线无折射地进入∑2面内，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上，则R2 d2=R3 R3，代入数据解得R3≈6.76923 mm。R2和R3的数值代入存在条件（3）中，满足③这种情况下的凹凸透镜存在。 第二步：确定放大率k，也同样分三种情况讨论如下
物s放在半径为R1的半球的齐明点上，经过半球折射成像后的横向放大率
k1=n
① 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的s’’像位于∑3面的齐明点上
s’位于∑2面的齐明点上，经过∑2面折射后的横向放大率
k2==
s’’位于∑3面的齐明点上，经过∑3面折射后的横向放大率 k3==n
显微透镜组的放大率
k=k1k2k3=n··n=n
代入数据求得这种情况下显微透镜组的放大率为2.25。
② 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的像s’’位于∑3面的球心点上
s’位于∑2面的齐明点上，情况同①，则
k2=
s’’位于∑3面的球心上，经过∑3面折射后的横向放大率
k3==n2
显微透镜组的放大率
k=k1k2k3=n··n2=
代入数据求得这种情况下显微透镜组的放大率为1.41。
③ 图4中s’位于∑2面的球心点上，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上
s’位于∑2面的球心上，经过∑2面折射后的横向放大率
k2==
s’’位于∑3面的齐明点上，经过∑3面折射后的横向放大率
k3==n
显微透镜组的放大率
k=k1k2k3=n··n=n·n2
代入数据求得显微透镜组的放大率为3.6。經过上述分析发现， 情况③下的显微透镜组的放大率最大。
第三步：确定出射光的孔径角β
如图2所示的配置情况下，出射光的孔径角为β=tan-1（）≈tan-1（）（忽略透镜边缘的厚度），其中tanβ1==，s’s’’=n2R3-，代入数据得β=19.97°。如果不忽略边缘厚度，根据几何关系可求得β≈20.28°，这里就不详细论述了。
物体在球形折射面的球心处或是齐明点处，不产生球差和彗差。无论物位于球心还是齐明点均要求光照射在凹球面，所以凸透镜的形状是凹凸形的凸透镜。进一步分析发现，按原题目中提供的参数设计齐明透镜组，只有物s的像s’位于∑2面的球心，且∑2面的球心是面的齐明点时，才能构成凹凸透镜；并且通过定量计算发现，在这种情况下，对应的显微透镜组的放大率是最大的。
参考文献：
[1]赵凯华.光学[M]. 北京：高等教育出版社，2004：76-85.
[2]郑永令.国际物理奥赛的培训与选拔[M].上海：复旦大学出版社， 2006：31-31.
[3]韦超，周光忠.光学成像试题赏析[J].物理教学探讨，2006，24（14）：12-14.
（栏目编辑 王柏庐）
关键词：齐明点；物镜组；放大率
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）6-0061-3
透镜是由两个折射球面组成的光具组，两球面间是构成透镜的介质，通常是玻璃。光经过两个表面的折射形成会聚或是发散的效果。在光具组成像的过程中，要求物是傍轴条件。傍轴条件要求成像光束的孔径小，这样的限制在实际应用中往往行不通，比如高倍显微镜物镜需要傍轴小物能以大孔径成像，所以实际应用中往往要突破傍轴条件的限制，从而不可避免地会带来几何像差。球差和彗差是比较常见几何像差，在透镜的某些特殊点处可以消除球差和彗差。例如，物体位于球形折射面的球心处和齐明点处，成像不产生球差和彗差。本文根据费马原理推导球形折射面的齐明点位置，并详细讨论了一道物理竞赛题目中关于齐明点在显微物镜组中的应用。[1-2]
1 由费马原理推导球面的齐明点位置
对单个折射球面齐明点的位置的求解：如图1（a）所示，设真空中放置一个半径为R、折射率为n的玻璃球。在轴线上有一点P，在此放置一个小物体，物体向上发出的任一条光线经过球面折射后反向延长线严格交于一点Q，下面通过费马原理计算P和Q的位置。
因为所成的像是虚像，所以段的光程是虚的。物点P与像点Q之间的光程为：
（PAQ）=n-=n-（1）
由费马原理可知物点与像点之间的光程是定值，则光程（PAQ）与γ无关，即：
=0
= =0，即
[n22（2 R2）-2（2 R2）] （2n22-
22）cosγ=0（2）
（2）式对任意γ恒成立，整理得：
n22（2 R2）=2（2 R2），
2n22=22
因≥0，故得两组解：
==0或=，=nR。第一组解对应物体位于球心的情形，第二组解对应球面的齐明点位置。
上面讨论的是折射率为n的介质球的齐明点。假设在折射率为n的介质中有半径为R的空气球，如图1（b）所示。那么这个空气球的齐明点的位置应与上述讨论的位置相同，但物和像的位置与折射率為n的介质球相反，即物放置在距离空气球的球心nR处，成像在距空气球的球心处。
（a） （b）
2 齐明点应用于透镜组的论述
下面的论述是基于一道物理竞赛习题，取自竞赛题目的相关参数。题目的部分内容如下：
设某显微镜的物镜是折射率为n1，半径为R1的半球，其平底面和物同浸在折射率与物镜材料相同的油中，物即位于一个齐明点上。
①试设计物镜组第二个透镜的两球面的半径R2和R3，使其物、像也是齐明点。已知该透镜材料的折射率为n2，透镜前球面与第一个透镜后球面的间距为d1，透镜中央厚度为d2；
②估算从第二个透镜出射的光的孔径角β；
③求经两个透镜成像后的放大率k；
④设n1=1.5，n2=1.6，R1=3 mm，d1=2.0 mm，d2=1.5 mm，求R2，R3，β和k的数值。
分析如下：物体在球形折射面的球心处时不产生球差和彗差，物体在齐明点处也不产生球差和彗差。无论物体位于球心还是齐明点均要求光照射在凹球面，所以凸透镜的形状不能是双凸形的凸透镜，只能是凹凸形的凸透镜。题目中的显微物镜的配置如图2所示。设半径为R2的折射曲面为∑2，半径为R3的折射曲面为∑3。原题目的解答中说明物s放在半径为R1的半球的齐明点上（作为已知条件给出），折射之后的像s’成在其另一个齐明点上，同时s’位于曲面∑2的中心处，光线无折射地射入透镜中，成像在原来的位置，这个位置正好是曲面∑3的齐明点，折射成像于另一个齐明点上。但是解答中没有明确说明这样成像的理由，本文进行了详尽的论述。
如图3所示是构成凹凸透镜的球面配置，为保证半径为R2的球在左侧，半径为R3的球在右侧，且两个球相交构成凹凸形的透镜，则两个球面的半径应满足存在条件：
2R2 d2>2R3（3）
第一步：确定R2、R3的数值，分三种情况讨论如下。
设s’是∑2面的物，s’的像s’’是∑3面的物
① 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上
s’到∑2面的顶点O2的距离为n1R1 R1 d1。同时s’位于∑2面的齐明点上，这时等效为在折射率为n2的介质中，有半径为R2的空气球，s’到O2的距离为n2R2 R2，则n1R1 R1 d1=n2R2 R2，代入数据求得R2≈3.65385 mm。s’经过∑2面成像于s’’，s’’到∑3面的顶点O3的距离为R2 R2 d2，同时s’’位于∑3面的齐明点上，则R2 R2 d2=R3 R3，代入数据求得R3≈4.57692 mm。R2和R3的数值代入存在条件（3）中，满足①这种情况的凹凸透镜不存在。
② 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的像s’’位于∑3面的球心点上
同情况①，∑2面的半径R2≈3.65385 mm。s’的像s’’位于∑3面的球心上，则R3=R2 R2 d2，代入数据得R3≈7.43750 mm。R2和R3的数值代入存在条件（3）中，满足②这种情况的凹凸透镜不存在。
③ 图4中s’位于∑2面的球心点上，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上
s’到∑2面的顶点O2的距离为n1R1 R1 d1，同时s’位于∑2面的球心处，则R2=n1R1 R1 d1，代入数据得R2=9.50000 mm。s’发出的光线无折射地进入∑2面内，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上，则R2 d2=R3 R3，代入数据解得R3≈6.76923 mm。R2和R3的数值代入存在条件（3）中，满足③这种情况下的凹凸透镜存在。 第二步：确定放大率k，也同样分三种情况讨论如下
物s放在半径为R1的半球的齐明点上，经过半球折射成像后的横向放大率
k1=n
① 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的s’’像位于∑3面的齐明点上
s’位于∑2面的齐明点上，经过∑2面折射后的横向放大率
k2==
s’’位于∑3面的齐明点上，经过∑3面折射后的横向放大率 k3==n
显微透镜组的放大率
k=k1k2k3=n··n=n
代入数据求得这种情况下显微透镜组的放大率为2.25。
② 图4中s’位于∑2面的齐明点上，s’的像s’’位于∑3面的球心点上
s’位于∑2面的齐明点上，情况同①，则
k2=
s’’位于∑3面的球心上，经过∑3面折射后的横向放大率
k3==n2
显微透镜组的放大率
k=k1k2k3=n··n2=
代入数据求得这种情况下显微透镜组的放大率为1.41。
③ 图4中s’位于∑2面的球心点上，s’的像s’’位于∑3面的齐明点上
s’位于∑2面的球心上，经过∑2面折射后的横向放大率
k2==
s’’位于∑3面的齐明点上，经过∑3面折射后的横向放大率
k3==n
显微透镜组的放大率
k=k1k2k3=n··n=n·n2
代入数据求得显微透镜组的放大率为3.6。經过上述分析发现， 情况③下的显微透镜组的放大率最大。
第三步：确定出射光的孔径角β
如图2所示的配置情况下，出射光的孔径角为β=tan-1（）≈tan-1（）（忽略透镜边缘的厚度），其中tanβ1==，s’s’’=n2R3-，代入数据得β=19.97°。如果不忽略边缘厚度，根据几何关系可求得β≈20.28°，这里就不详细论述了。
物体在球形折射面的球心处或是齐明点处，不产生球差和彗差。无论物位于球心还是齐明点均要求光照射在凹球面，所以凸透镜的形状是凹凸形的凸透镜。进一步分析发现，按原题目中提供的参数设计齐明透镜组，只有物s的像s’位于∑2面的球心，且∑2面的球心是面的齐明点时，才能构成凹凸透镜；并且通过定量计算发现，在这种情况下，对应的显微透镜组的放大率是最大的。
参考文献：
[1]赵凯华.光学[M]. 北京：高等教育出版社，2004：76-85.
[2]郑永令.国际物理奥赛的培训与选拔[M].上海：复旦大学出版社， 2006：31-31.
[3]韦超，周光忠.光学成像试题赏析[J].物理教学探讨，2006，24（14）：12-14.
（栏目编辑 王柏庐）