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物理与数学密切相关,数学是物理解题的工具,若恰当运用数学知识及技法,可使物理推导过程简单明了,合乎逻辑,下面举例介绍物理题中常用的数学知识及技法。
一、合比、分比、等比定理
【数学知识概述】
合比定理:若a/b=c/d则:(a+b)/b=(c+d)/d
分比定理:若a/b=c/d则:(a-b)/b=(c-d)/d
等比定理:若a/b=c/d则:a/b=c/d=(a±b)/(c±d)
【应用】
例1:飞机设计师为减轻飞机的质量将一钢制零件改为铝制零件,使其质量减少了104kg则所用铝的质量为(ρ钢=7.9g/cm3,ρ铝=2.7g/cm3)
A.35.5kgB.54kg
C.104kg D.158kg
分析:由于零件体积不变可以列式找到各用钢、铝的质量比,再运用分比定理求解。
解:设所用钢时质量为m1,用铝时质量为m2,则m1/ρ钢=m2/ρ铝 m1/m2=ρ钢/ρ铝
由分比定理可知(m1-m2)/m2=(ρ钢-ρ铝)/ρ铝=(7.9-2.7)/2.7
104/m2=5.2/2.7故m2=54kg。
例2:一个定值电阻两端的电压增加2v,此时通过定值的电流由0.4A增大到0.8A,问该定值电阻所消耗的电功率增大了多少?
分析:R=U1/I1=U2/I2则由等比定理可得R再利用P=I2R求解。
解:R=U1/I1=U2/I2=(U1-U2)/(I1-I2)=2V/(0.8A-0.4A)=5Ω
P1=I12R P2=I22R △P=P2-P1=(I22-I12)R=(0.82-0.42)×5=2.4W
二、相似三角形的基本性质
【数学知识概述】
若两三角形相似则对应边成比例,如△ABC∽△A′B′C′则有AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′
【应用】
例1:某人高1.7m为了测试路灯高度,他从路灯正下方沿平直公路以1m/s的速度匀速走开,某时刻它的影子长是1.3m,再经过2s它的影子长是1.8m,问路灯距地面高度是多少?
分析:本题只要先画出示意图,就会发现利用相似三角形的基本性质可列出相应比例式,即能求解。
解:如图所示AB为路灯距地面的高度,当人在D点时影长DE=1.3m,当人走到F点时影长FH=1.8m,图中CD、GF均为人的身高都等于1.7m,DF=vt=1m/s×2s=2m
由图可知△ABE∽△CDE,△ABH∽△GFH,则AB/CD=BE/DE=(BD+DE)/DE,即AB/1.7=(BD+1.3)/1.3①
AB/GF=BH/FH=(BD+DF+FH)/FH,即AB/1.7=(BD+2+1.8)/1.8②
联立①、②得AB=8.5m,故路灯距地面的高度是8.5m
例2:某同学要利用一把卷尺和一块平面镜测出图中所示的水平地面上一颗大树的高度
⑴在图中画图表示他的测量方法、并简述实验步骤。
⑵用字母表示所测的量,并写出大树高度H的表达式。
分析:本题是利用平面镜成像原理来解决实际问题的实例,显然先要作出相关的光路图,再利用相似三角形的基本性质即可获解。
解:由图示可知树为AB,平面镜距大树距离近似等于OB,人眼的高度为CD,平面镜距离任的距离近似为OD,图中△ABO∽△CDO则有AB/CD=OB/OD,AB=OB/OD﹒CD只要分别测量出树与平面镜的距离OB平面镜与人的距离OD以及人眼的高度CD即可测得树的高度。
三、求极值所用的数学方
【数学知识概括】
1、 利用完全平方公式
(a-b)2≥0或a2+b2-2ab≥0即a2+b2≥2ab且当且a=b时才有a2+b2=2ab即有最大值2ab.
2、利用根的判别式
若方程ax2+bx+c=0有实数根则其判别式△=b2-4ac≥0
3、二次函数的顶点公式
对于二次函数式y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0,x=-b/2a时y有最小值,y最小=(4ac-b2)/4a
当a<0,x=-b/2a时y有最大值,y最大=(4ac-b2)/4a
4、极值定理
a>0,b>0若两数和a+b=常数,则当a=b时两数积ab最大。
【应用】
例:如图所示电源电压U=12V,R1=6Ω,变阻器R2的最大值为12Ω,求R2消耗的最大功率Pm大?
分析:此题只能先列出R2消耗电功率P2的表达式再运用数学方法加以讨论分析
解:设P在某位置,变阻器连入电路中电阻为RX,此时电路中电流为IX,则R2消耗电功率P2=U2IX=(U-IXR1)IX=(12-6IX)IX
即P2=-6IX2+12IX
讨论分析P2的极值可采用下列数学方法
1、 配方法
P2=-6IX2+12IX=-6(IX-1)2+6
当IX=1时P2有最大值,且最大值Pm=6W
2、 用一元二次方程判别式
P2=-6IX2+12IX可变形为6IX2-2IX+P2=0
IX要有实数解,则判别式Δ≥0即
Δ=(-12)2-4×P2≥0得P2≤6故Pm=6W
一、合比、分比、等比定理
【数学知识概述】
合比定理:若a/b=c/d则:(a+b)/b=(c+d)/d
分比定理:若a/b=c/d则:(a-b)/b=(c-d)/d
等比定理:若a/b=c/d则:a/b=c/d=(a±b)/(c±d)
【应用】
例1:飞机设计师为减轻飞机的质量将一钢制零件改为铝制零件,使其质量减少了104kg则所用铝的质量为(ρ钢=7.9g/cm3,ρ铝=2.7g/cm3)
A.35.5kgB.54kg
C.104kg D.158kg
分析:由于零件体积不变可以列式找到各用钢、铝的质量比,再运用分比定理求解。
解:设所用钢时质量为m1,用铝时质量为m2,则m1/ρ钢=m2/ρ铝 m1/m2=ρ钢/ρ铝
由分比定理可知(m1-m2)/m2=(ρ钢-ρ铝)/ρ铝=(7.9-2.7)/2.7
104/m2=5.2/2.7故m2=54kg。
例2:一个定值电阻两端的电压增加2v,此时通过定值的电流由0.4A增大到0.8A,问该定值电阻所消耗的电功率增大了多少?
分析:R=U1/I1=U2/I2则由等比定理可得R再利用P=I2R求解。
解:R=U1/I1=U2/I2=(U1-U2)/(I1-I2)=2V/(0.8A-0.4A)=5Ω
P1=I12R P2=I22R △P=P2-P1=(I22-I12)R=(0.82-0.42)×5=2.4W
二、相似三角形的基本性质
【数学知识概述】
若两三角形相似则对应边成比例,如△ABC∽△A′B′C′则有AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′
【应用】
例1:某人高1.7m为了测试路灯高度,他从路灯正下方沿平直公路以1m/s的速度匀速走开,某时刻它的影子长是1.3m,再经过2s它的影子长是1.8m,问路灯距地面高度是多少?
分析:本题只要先画出示意图,就会发现利用相似三角形的基本性质可列出相应比例式,即能求解。
解:如图所示AB为路灯距地面的高度,当人在D点时影长DE=1.3m,当人走到F点时影长FH=1.8m,图中CD、GF均为人的身高都等于1.7m,DF=vt=1m/s×2s=2m
由图可知△ABE∽△CDE,△ABH∽△GFH,则AB/CD=BE/DE=(BD+DE)/DE,即AB/1.7=(BD+1.3)/1.3①
AB/GF=BH/FH=(BD+DF+FH)/FH,即AB/1.7=(BD+2+1.8)/1.8②
联立①、②得AB=8.5m,故路灯距地面的高度是8.5m
例2:某同学要利用一把卷尺和一块平面镜测出图中所示的水平地面上一颗大树的高度
⑴在图中画图表示他的测量方法、并简述实验步骤。
⑵用字母表示所测的量,并写出大树高度H的表达式。
分析:本题是利用平面镜成像原理来解决实际问题的实例,显然先要作出相关的光路图,再利用相似三角形的基本性质即可获解。
解:由图示可知树为AB,平面镜距大树距离近似等于OB,人眼的高度为CD,平面镜距离任的距离近似为OD,图中△ABO∽△CDO则有AB/CD=OB/OD,AB=OB/OD﹒CD只要分别测量出树与平面镜的距离OB平面镜与人的距离OD以及人眼的高度CD即可测得树的高度。
三、求极值所用的数学方
【数学知识概括】
1、 利用完全平方公式
(a-b)2≥0或a2+b2-2ab≥0即a2+b2≥2ab且当且a=b时才有a2+b2=2ab即有最大值2ab.
2、利用根的判别式
若方程ax2+bx+c=0有实数根则其判别式△=b2-4ac≥0
3、二次函数的顶点公式
对于二次函数式y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0,x=-b/2a时y有最小值,y最小=(4ac-b2)/4a
当a<0,x=-b/2a时y有最大值,y最大=(4ac-b2)/4a
4、极值定理
a>0,b>0若两数和a+b=常数,则当a=b时两数积ab最大。
【应用】
例:如图所示电源电压U=12V,R1=6Ω,变阻器R2的最大值为12Ω,求R2消耗的最大功率Pm大?
分析:此题只能先列出R2消耗电功率P2的表达式再运用数学方法加以讨论分析
解:设P在某位置,变阻器连入电路中电阻为RX,此时电路中电流为IX,则R2消耗电功率P2=U2IX=(U-IXR1)IX=(12-6IX)IX
即P2=-6IX2+12IX
讨论分析P2的极值可采用下列数学方法
1、 配方法
P2=-6IX2+12IX=-6(IX-1)2+6
当IX=1时P2有最大值,且最大值Pm=6W
2、 用一元二次方程判别式
P2=-6IX2+12IX可变形为6IX2-2IX+P2=0
IX要有实数解,则判别式Δ≥0即
Δ=(-12)2-4×P2≥0得P2≤6故Pm=6W