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摘 要：数与形是数学研究的两个重要方面，本文利用数与形的结合解决大学生数学竞赛中的一些问题，使较为复杂的问题直观而形象的得以解答。
关键词：数形结合；竞赛；应用
一、引言
大学生数学竞赛的举办可以促进高层次人才的培养，选拔许多有创新精神的优秀者，培养学生的数学应用能力，促进学生学习高等数学的热情，因此，每年许多高校都会举办、选拔优秀学生参与大学生数学竞赛，而在数学学习研究中，会灵活运用数学思想方法来解决问题又十分关键。在大学生数学竞赛中常会用到反证法，数形结合思想，数学归纳法等等来帮助解决问题，那么本文将浅谈数形结合思想在大学数学竞赛中的应用。
二、数形结合思想概述
数形结合主要是指数与形的结合，是一种思维转换思想，是将抽象问题直接地，简单地呈现出来，帮助学生分析问题，解决问题。
数和形是数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。它的优越性在于将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系与转化，化难为易，化抽象为直观，根据解决问题的需要，沟通数与形的内在联系，由数构形，以形促数，或由形的思想，以数论形。运用这种思想，可以把抽象的“数”转化为直观的“形”，加大解题的透明度，避免繁琐的运算过程.这样简捷解题，能提高解题速度和提高解题的完整性。
三、数学结合思想实例
（1）数与形在一定条件下可以相互转化，例如某些代数问题往往有几何背景，利用其几何背景的性质，可以使得复杂的数量关系，抽象的概念变得直观，从而容易找到解决问题的思路。
例1计算[Dx2y2dxdy]，其中D由直线y=0，y=2，x=-2和曲线[x=-2y-y2]所围成。
解析：在直角坐標系中作出积分区域的草图可知，积分区域是弧形，可以考虑极坐标变换，从而能计算出结果。
[Dx2y2dxdy=-20dx02x2y2dy-π2πdθ02sinθ（rcosθ）2（rsinθ）2rdr]
=[649-7π48]
（2）数形结合思想可以使得抽象的复杂问题简单化，巧用数形结合的方法可以避免复杂的计算和推理，大大简化解题的过程，在竞赛中既能准确得出结果，也能帮助节约时间。
例2一半径为[a]的圆面绕其所在平面内与圆心相距为[b（b>a）]的一条直线旋转180度，问当[ba]为何值时，旋转所生成的立体的重心位于立体的表面上？
解析：建立适当的坐标系，使旋转所生成的立体的重心易于计算，在根据图形特点找到重心位于立体表面上的条件从而算出[ba]的值。
首先建立坐标系：把母圆开始所在的平面作为xOz平面，则母圆方程为[（x-b）2+z2=a2]，把旋转轴作为z轴，则生成的立体为一半环体，环面的方程为[（x2+y2-b）2+z2=a2]，由图形的对称性可知，重心在[y]轴上，设为[（o，y，0）]，若重心位于立体的表面上，则有[y=b-a]。又重心公式可知：
[y=ΩydVΩdV=20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2ρsinφdz20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2dz]
[=4πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρ2dρ2πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρdρ]
[=a2+4b22πb]。
四、结束语
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。对所要解决的问题如果能够意识到数形联系，寻觅到对应的几何图形特征，思维就会茅塞顿开，问题就会迎刃而解。数形结合思想在大学生数学竞赛中作用十分强大，应用也十分广泛，在此不一一举例，灵活运用这一思想是关键。
参考文献：
[1]翁凯庆.竞赛数学专题研究[M].四川教育出版社.
[2]张来庆.“数”与“形”结合的应用[J].广东教育·教研，2007，2.
[3]蒲和平.大学生数学竞赛教材[M].电子工业出版社.
[4]更秉辉.应用形分析法解数学题[M].上海科技教育出版社.
[5]鲍培文.例析数学结合思想在高等数学教学中的应用[J].当代教育理论与实践，2012，10.
[6]张小泉.数形结合思想在解数学题中的应用[J].高中生·高考指导.
[7]徐天顺.例谈数形结合思想的在高考题中的应用[J].山西师范大学学报，2008.
关键词：数形结合；竞赛；应用
一、引言
大学生数学竞赛的举办可以促进高层次人才的培养，选拔许多有创新精神的优秀者，培养学生的数学应用能力，促进学生学习高等数学的热情，因此，每年许多高校都会举办、选拔优秀学生参与大学生数学竞赛，而在数学学习研究中，会灵活运用数学思想方法来解决问题又十分关键。在大学生数学竞赛中常会用到反证法，数形结合思想，数学归纳法等等来帮助解决问题，那么本文将浅谈数形结合思想在大学数学竞赛中的应用。
二、数形结合思想概述
数形结合主要是指数与形的结合，是一种思维转换思想，是将抽象问题直接地，简单地呈现出来，帮助学生分析问题，解决问题。
数和形是数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。它的优越性在于将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系与转化，化难为易，化抽象为直观，根据解决问题的需要，沟通数与形的内在联系，由数构形，以形促数，或由形的思想，以数论形。运用这种思想，可以把抽象的“数”转化为直观的“形”，加大解题的透明度，避免繁琐的运算过程.这样简捷解题，能提高解题速度和提高解题的完整性。
三、数学结合思想实例
（1）数与形在一定条件下可以相互转化，例如某些代数问题往往有几何背景，利用其几何背景的性质，可以使得复杂的数量关系，抽象的概念变得直观，从而容易找到解决问题的思路。
例1计算[Dx2y2dxdy]，其中D由直线y=0，y=2，x=-2和曲线[x=-2y-y2]所围成。
解析：在直角坐標系中作出积分区域的草图可知，积分区域是弧形，可以考虑极坐标变换，从而能计算出结果。
[Dx2y2dxdy=-20dx02x2y2dy-π2πdθ02sinθ（rcosθ）2（rsinθ）2rdr]
=[649-7π48]
（2）数形结合思想可以使得抽象的复杂问题简单化，巧用数形结合的方法可以避免复杂的计算和推理，大大简化解题的过程，在竞赛中既能准确得出结果，也能帮助节约时间。
例2一半径为[a]的圆面绕其所在平面内与圆心相距为[b（b>a）]的一条直线旋转180度，问当[ba]为何值时，旋转所生成的立体的重心位于立体的表面上？
解析：建立适当的坐标系，使旋转所生成的立体的重心易于计算，在根据图形特点找到重心位于立体表面上的条件从而算出[ba]的值。
首先建立坐标系：把母圆开始所在的平面作为xOz平面，则母圆方程为[（x-b）2+z2=a2]，把旋转轴作为z轴，则生成的立体为一半环体，环面的方程为[（x2+y2-b）2+z2=a2]，由图形的对称性可知，重心在[y]轴上，设为[（o，y，0）]，若重心位于立体的表面上，则有[y=b-a]。又重心公式可知：
[y=ΩydVΩdV=20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2ρsinφdz20πdφb-ab+aρdρ0a2-（ρ-b）2dz]
[=4πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρ2dρ2πb-ab+aa2-（ρ-b）2ρdρ]
[=a2+4b22πb]。
四、结束语
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。对所要解决的问题如果能够意识到数形联系，寻觅到对应的几何图形特征，思维就会茅塞顿开，问题就会迎刃而解。数形结合思想在大学生数学竞赛中作用十分强大，应用也十分广泛，在此不一一举例，灵活运用这一思想是关键。
参考文献：
[1]翁凯庆.竞赛数学专题研究[M].四川教育出版社.
[2]张来庆.“数”与“形”结合的应用[J].广东教育·教研，2007，2.
[3]蒲和平.大学生数学竞赛教材[M].电子工业出版社.
[4]更秉辉.应用形分析法解数学题[M].上海科技教育出版社.
[5]鲍培文.例析数学结合思想在高等数学教学中的应用[J].当代教育理论与实践，2012，10.
[6]张小泉.数形结合思想在解数学题中的应用[J].高中生·高考指导.
[7]徐天顺.例谈数形结合思想的在高考题中的应用[J].山西师范大学学报，2008.