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课题：三角形面积的计算
课时：一课时
场景观察：
这是该校一个较大的阶梯教室(说明：专门用来教学公开课、示范课、观摩课的教室)。
学生人数52人，分小组围坐，学生的前方是一大块空地，偏北靠墙的地方安放着一台电脑投影仪和一个实物投影仪(已经打开)，空地的中央偏南一点有一个三角形的花圃，摆放了很多盆菊花。
教学过程：
这节课按以下四个环节进行：
环节一：首次探索，感知体验
教师出示一个平行四边形。
提问：一个平行四边形能分成两个三角形吗?你是怎样分的?
学生说分法，教师课件演示。
提问：一个平行四边形分成的两个三角形大小怎样?你有什么办法来说明?
学生发言，教师课件演示两个三角形完全重合。
出示例4的方格图及其中的平行四边形。
谈话：图中每个小方格表示1平方厘米。
你能说出涂色三角形的面积各是多少平方厘米吗?
描述：学生独立思考，再在小组里讨论、交流。
组织学生交流想法。
学生甲：我是用数方格的方法。
学生乙：我先计算平行四边形的面积再除以2。
(大多数学生采用第二种方法)
谈话：因为涂色三角形的面积正好是它所在的平行四边形面积的一半，而平行四边形的面积我们已经在，上节课学过。知道如何计算了，所以不少同学先算平行四边形的面积，再除以2得到三角形的面积。这个事实给了我们启示：可以通过算平行四边形l的面积来算三角形的面积，因此我们下面要研究的问题有两个：一是任何两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形吗?二是拼成的平行四边形和三角形有什么关系?
时间描述：至此用了6分钟。
环节二：动手操作，获取新知
1 谈话：首先我们来解决第一个问题。课前你们从书上剪下了三个三角形。在小组中开展活动，每人从中拿出一个三角形和书上例5中的三角形拼一拼，看看与哪个三角形可以拼成平行四边形。在小组里先分好工，每种形状的三角形都有人去拼。
描述：学生在小组中拼图形，教师巡视，参与学生活动。
做好后，分别指名演示拼法。(同样两个三角形拼成平行四边形的方法不止一种)
谈话：你认为拼成一个平行四边形所需要的两个三角形有什么关系?任何两个完全一样的三角形都能拼成一个平行四边形吗?依据提供的三角形和拼成的平行四边形，将例2中的表格填一填。
指名说一说表格填写情况，并集体交流。
2 谈话：接着我们再来解决第二个问题。出示例5讨论题，学生在小组里讨论。
组织学生在班级里交流，从中发现用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个平行四边形的底和高与三角形的底和高相等，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
提问：平行四边形面积公式是什么?根据平行四边形面积公式，怎样求三角形的面积?
学生说出三角形面积的计算公式。
三角形的面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2(教师根据学生发言课件展示)
谈话：如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，你能写出三角形的面积公式吗?
学生发言：S=a×h÷2(教师根据学生发言课件展示)
谈话：请同学们比较一下平行四边形的面积公式和三角形的面积计算公式，它们的异同点是什么?
描述：学生小组讨论，交流发言。
提问：为什么求三角形面积算出底和高的乘积后还要除以2?
时间描述：至此用了17分钟
环节三：运用公式，完成练习
1 教学“试一试”。
描述：学生独立做题，做好后同桌交流做法和想法。
提问：你是怎么算的?计算时应用了什么计算公式?
指名说算法，把这个学生的作业在实物投影仪上展示。集体反馈。
2 教学“练一练”。
(1)出示第1题，指名说题意，学生独立做题。
谈话：说一说你是怎样算的。
学生说算法：8×2＝16(平方分米)
提问：这里为什么用三角形面积乘2?
(2)出示第2题，学生读题并独立做题。
描述：学生做题，教师巡视，展示学生作业，指名说算法。
提问：这道题求涂色部分的面积为什么用平行四边形的面积除以2?
3 做练习三第1题。
默读题目，各自做题。教师巡视。
指名说答案，共同评议。
提问：为什么长方形的面积除以2也能得到一个三角形的面积?
谈话：比较刚才做过的三道题，你有什么想说的吗?
(学生各抒己见)
4 做练习三第2题。
学生独立计算。教师巡视。做题后实物投影仪展示学生的作业，集体交流。
提问：第一个三角形是什么三角形?它的底和高分别是多少?
(学生发现直角三角形两条直角边的长度就是这个三角形的底和高。)
5 出示补充题。
出示右图。
提问：你能求出这个三角形的面积吗?
学生独立做一做。做好后在小组里说一说你是怎么想的。怎么算的?
谈话：你们选择三角形的底和高为什么分别是4厘米和5厘米，而不用6厘米呢?
(学生讨论达成共识：计算三角形面积时，要用底和相应的高相乘。)
6 做练习三第3题。
指名读题后，学生独立完成。
学生做题，指名说算法和想法，集体反馈。
时间描述：至此用了29分钟。
环节四：学以致用。服务生活
教师指着教室前方空地上的菊花花圃
谈话：这块花圃美丽吗?它是什么形状的?你能求出它的面积吗?
学生观察这个花圃，举手发言：这个花圃非常美丽，是一个三角形，我们只要测量出三角形的底和高，就能够算出它的面积。
谈话：如果每平方米可以摆放36盆菊花，那么你知道这个花圃是由多少盆菊花摆成的吗?老师请6名同学上台来实际测量并向大家汇报数据，共同完成这道题目。
描述：学生们热情高涨，纷纷举手。
教师从不同的小组中选了6名学生上台测量(直尺、卷尺等测量工具事先已准备好)。教师同时宣布：如果有学生认为自己有不同的方法或对数据有疑问可上台自己测量。
学生相互合作，研究测量方法，及时汇报数据供下面的同学们计算，最终求出菊花的盆数。
时间描述：至此下课铃响。
简要的剖析
如果我们较为仔细地思考一下这堂课的教学，这个“临床案例”至少会给我们提供以下几方面可借鉴的启示。
启示一 数学教学活动中必须让学生真正成为学习的主人
《新课程标准》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验之上。教师应激发学生的学习积极性。向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中 真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”学生是数学学习的主人。教师是数学学习的组织者、引导者、合作者。纵观本节课，学生探索三角形面积计算的过程，就是一个自主体验的过程，学生是在体验的过程中了解知识的价值，在体验中理解了知识的本质，在体验中构建了知识间的联系，在体验中学会了将知识运用于现实的方法，解决了实际生活中的问题。而教师则因势利导，并没有把学生看做是一张依靠教师去描绘的“白纸”，是填充知识的容器，而是有效地组织好学生的整个学习过程，积极地唤起学生已有的零散的、混沌的、粗糙的、杂乱的数学经验。引导学生进发、点燃积极思维的火花，使学’生学得轻松，记得牢固，真正成为学习的主人，感受到数学学习的乐趣。
启示二 让日常生活情境引领学生去发现学习数学的价值
《新课程标准》明确指出：“人人学有价值的数学：人人都能获得必需的数学。”显然，数学对一般公民而言都有价值。数学源于生活，更应服务于生活。学会在社会生活中去发现数学，运用数学是一般公民的基本素养。本节课的第四个环节就是充分利用日常生活中的问题，让学生感受到数学与我们的日常生活紧密相连，充分体会到学习数学是有用的，从而激发学生的学习兴趣。但是在日常的数学学习的过程中。符号是抽象的、计算是复杂的、公式是拗口的、习题是难做的。学生们常常会有畏难情绪，这就要求教师适时、恰当地运用和创设日常生活情境，让他们感受到数学就在我们身边，当学生们发现呈现在自己面前的数学学习任务其实就是自己日常生活中的问题时，他们就会更加积极地去探究、去思考、去分析、去解决。因此。我认为数学课堂不应脱离现实生活，反而数学教学应鼓励所有学生都积极参与。只有通过这种实践性的参与，才能使学生真正懂得数学的价值，增强自己学好数学的信心，提高自己解决数学问题的能力，学会数学合作与交流。掌握数学的思想方法。
启示三探究学习过程中应还学生自由和开放的空间
纵观本节课，教学目标之一是让学生经历三角形面积公式的探索过程，理解并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。从教学效果来看是非常好的。那么为何会有这么好的教学效果呢?我认为是教师在学生探究学习过程中为学生提供了充分的自由和开放的空间。作为教师没有无视学生可接受程度和心理，把自己事先的准备好的内容硬塞给学·生，而是积极引导学生在亲自动手操作、拨弄、感知实物的过程中去体验获取知识的乐趣：作为学生则在自由和开放的空间里。亲身经历了操作、观察、填表、讨论、分析、归纳等数学活动过程。体会了等积变形、转化等数学思想方法，发展了空间观念和初步的推理能力，从而获得了学习成功的体验。
课时：一课时
场景观察：
这是该校一个较大的阶梯教室(说明：专门用来教学公开课、示范课、观摩课的教室)。
学生人数52人，分小组围坐，学生的前方是一大块空地，偏北靠墙的地方安放着一台电脑投影仪和一个实物投影仪(已经打开)，空地的中央偏南一点有一个三角形的花圃，摆放了很多盆菊花。
教学过程：
这节课按以下四个环节进行：
环节一：首次探索，感知体验
教师出示一个平行四边形。
提问：一个平行四边形能分成两个三角形吗?你是怎样分的?
学生说分法，教师课件演示。
提问：一个平行四边形分成的两个三角形大小怎样?你有什么办法来说明?
学生发言，教师课件演示两个三角形完全重合。
出示例4的方格图及其中的平行四边形。
谈话：图中每个小方格表示1平方厘米。
你能说出涂色三角形的面积各是多少平方厘米吗?
描述：学生独立思考，再在小组里讨论、交流。
组织学生交流想法。
学生甲：我是用数方格的方法。
学生乙：我先计算平行四边形的面积再除以2。
(大多数学生采用第二种方法)
谈话：因为涂色三角形的面积正好是它所在的平行四边形面积的一半，而平行四边形的面积我们已经在，上节课学过。知道如何计算了，所以不少同学先算平行四边形的面积，再除以2得到三角形的面积。这个事实给了我们启示：可以通过算平行四边形l的面积来算三角形的面积，因此我们下面要研究的问题有两个：一是任何两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形吗?二是拼成的平行四边形和三角形有什么关系?
时间描述：至此用了6分钟。
环节二：动手操作，获取新知
1 谈话：首先我们来解决第一个问题。课前你们从书上剪下了三个三角形。在小组中开展活动，每人从中拿出一个三角形和书上例5中的三角形拼一拼，看看与哪个三角形可以拼成平行四边形。在小组里先分好工，每种形状的三角形都有人去拼。
描述：学生在小组中拼图形，教师巡视，参与学生活动。
做好后，分别指名演示拼法。(同样两个三角形拼成平行四边形的方法不止一种)
谈话：你认为拼成一个平行四边形所需要的两个三角形有什么关系?任何两个完全一样的三角形都能拼成一个平行四边形吗?依据提供的三角形和拼成的平行四边形，将例2中的表格填一填。
指名说一说表格填写情况，并集体交流。
2 谈话：接着我们再来解决第二个问题。出示例5讨论题，学生在小组里讨论。
组织学生在班级里交流，从中发现用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个平行四边形的底和高与三角形的底和高相等，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。
提问：平行四边形面积公式是什么?根据平行四边形面积公式，怎样求三角形的面积?
学生说出三角形面积的计算公式。
三角形的面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2(教师根据学生发言课件展示)
谈话：如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，你能写出三角形的面积公式吗?
学生发言：S=a×h÷2(教师根据学生发言课件展示)
谈话：请同学们比较一下平行四边形的面积公式和三角形的面积计算公式，它们的异同点是什么?
描述：学生小组讨论，交流发言。
提问：为什么求三角形面积算出底和高的乘积后还要除以2?
时间描述：至此用了17分钟
环节三：运用公式，完成练习
1 教学“试一试”。
描述：学生独立做题，做好后同桌交流做法和想法。
提问：你是怎么算的?计算时应用了什么计算公式?
指名说算法，把这个学生的作业在实物投影仪上展示。集体反馈。
2 教学“练一练”。
(1)出示第1题，指名说题意，学生独立做题。
谈话：说一说你是怎样算的。
学生说算法：8×2＝16(平方分米)
提问：这里为什么用三角形面积乘2?
(2)出示第2题，学生读题并独立做题。
描述：学生做题，教师巡视，展示学生作业，指名说算法。
提问：这道题求涂色部分的面积为什么用平行四边形的面积除以2?
3 做练习三第1题。
默读题目，各自做题。教师巡视。
指名说答案，共同评议。
提问：为什么长方形的面积除以2也能得到一个三角形的面积?
谈话：比较刚才做过的三道题，你有什么想说的吗?
(学生各抒己见)
4 做练习三第2题。
学生独立计算。教师巡视。做题后实物投影仪展示学生的作业，集体交流。
提问：第一个三角形是什么三角形?它的底和高分别是多少?
(学生发现直角三角形两条直角边的长度就是这个三角形的底和高。)
5 出示补充题。
出示右图。
提问：你能求出这个三角形的面积吗?
学生独立做一做。做好后在小组里说一说你是怎么想的。怎么算的?
谈话：你们选择三角形的底和高为什么分别是4厘米和5厘米，而不用6厘米呢?
(学生讨论达成共识：计算三角形面积时，要用底和相应的高相乘。)
6 做练习三第3题。
指名读题后，学生独立完成。
学生做题，指名说算法和想法，集体反馈。
时间描述：至此用了29分钟。
环节四：学以致用。服务生活
教师指着教室前方空地上的菊花花圃
谈话：这块花圃美丽吗?它是什么形状的?你能求出它的面积吗?
学生观察这个花圃，举手发言：这个花圃非常美丽，是一个三角形，我们只要测量出三角形的底和高，就能够算出它的面积。
谈话：如果每平方米可以摆放36盆菊花，那么你知道这个花圃是由多少盆菊花摆成的吗?老师请6名同学上台来实际测量并向大家汇报数据，共同完成这道题目。
描述：学生们热情高涨，纷纷举手。
教师从不同的小组中选了6名学生上台测量(直尺、卷尺等测量工具事先已准备好)。教师同时宣布：如果有学生认为自己有不同的方法或对数据有疑问可上台自己测量。
学生相互合作，研究测量方法，及时汇报数据供下面的同学们计算，最终求出菊花的盆数。
时间描述：至此下课铃响。
简要的剖析
如果我们较为仔细地思考一下这堂课的教学，这个“临床案例”至少会给我们提供以下几方面可借鉴的启示。
启示一 数学教学活动中必须让学生真正成为学习的主人
《新课程标准》明确指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验之上。教师应激发学生的学习积极性。向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中 真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”学生是数学学习的主人。教师是数学学习的组织者、引导者、合作者。纵观本节课，学生探索三角形面积计算的过程，就是一个自主体验的过程，学生是在体验的过程中了解知识的价值，在体验中理解了知识的本质，在体验中构建了知识间的联系，在体验中学会了将知识运用于现实的方法，解决了实际生活中的问题。而教师则因势利导，并没有把学生看做是一张依靠教师去描绘的“白纸”，是填充知识的容器，而是有效地组织好学生的整个学习过程，积极地唤起学生已有的零散的、混沌的、粗糙的、杂乱的数学经验。引导学生进发、点燃积极思维的火花，使学’生学得轻松，记得牢固，真正成为学习的主人，感受到数学学习的乐趣。
启示二 让日常生活情境引领学生去发现学习数学的价值
《新课程标准》明确指出：“人人学有价值的数学：人人都能获得必需的数学。”显然，数学对一般公民而言都有价值。数学源于生活，更应服务于生活。学会在社会生活中去发现数学，运用数学是一般公民的基本素养。本节课的第四个环节就是充分利用日常生活中的问题，让学生感受到数学与我们的日常生活紧密相连，充分体会到学习数学是有用的，从而激发学生的学习兴趣。但是在日常的数学学习的过程中。符号是抽象的、计算是复杂的、公式是拗口的、习题是难做的。学生们常常会有畏难情绪，这就要求教师适时、恰当地运用和创设日常生活情境，让他们感受到数学就在我们身边，当学生们发现呈现在自己面前的数学学习任务其实就是自己日常生活中的问题时，他们就会更加积极地去探究、去思考、去分析、去解决。因此。我认为数学课堂不应脱离现实生活，反而数学教学应鼓励所有学生都积极参与。只有通过这种实践性的参与，才能使学生真正懂得数学的价值，增强自己学好数学的信心，提高自己解决数学问题的能力，学会数学合作与交流。掌握数学的思想方法。
启示三探究学习过程中应还学生自由和开放的空间
纵观本节课，教学目标之一是让学生经历三角形面积公式的探索过程，理解并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。从教学效果来看是非常好的。那么为何会有这么好的教学效果呢?我认为是教师在学生探究学习过程中为学生提供了充分的自由和开放的空间。作为教师没有无视学生可接受程度和心理，把自己事先的准备好的内容硬塞给学·生，而是积极引导学生在亲自动手操作、拨弄、感知实物的过程中去体验获取知识的乐趣：作为学生则在自由和开放的空间里。亲身经历了操作、观察、填表、讨论、分析、归纳等数学活动过程。体会了等积变形、转化等数学思想方法，发展了空间观念和初步的推理能力，从而获得了学习成功的体验。