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问题的解决过程包括读题、审题、知识与方法的选择、运算的精度和步骤书写的完美度等诸多程序，任何一个环节都必须仔细认真，否则就会出现这样那样的纰漏，造成纰漏的因素很多，除了知识的匮乏之外，更多在于一个“准”字不够，其呈现形式一般如下：
1. 题意把握不准、关键词领会不到位，甚至出现看错字句；
2. 过程跨度大，推理计算不详实、书写欠规范.
在解题过程中还会出现一些比较隐蔽的另类纰漏，从整个解题过程上看，表面上似乎准确无误，实质上在不知不觉中已经偏离了正确的解题思路，走入误区.追根溯源，这类错误的产生是因为没有深入挖掘问题的本源造成，对一些重要的数学概念、数学思想、基本定理、性质结论理解不到位，有效地进行解题错因分析，加强反馈性训练对于问题的准确解决十分有利.下面列举一些实例来探讨这类问题求解的基本途径和方法.
例1 设平面向量a=(6,2)，b=(-3,k),若a,b的夹角θ是钝角，求k的范围？
错解：因为a，b的夹角θ是钝角，
所以cosθ=a•b｜a｜｜b｜＜0，即a•b＜0，
∴-18+2k<0 ∴k<9
错因分析：当a,b的夹角θ是钝角时，可以导出a•b＜0，但忽视了当“a•b＜0”成立时能否导出“a,b的夹角θ为钝角”.实际上，当k=-1时a=(6,2)，b=(-3,-1)，此时a=-2b，a•b=-18-2=-20＜0，成立，但a,b方向相反，夹角为180°，a,b的夹角不是钝角.
正解：∵a，b的夹角θ为钝角，
∴cosθ＝a•b｜a｜｜b｜＜0cosθ≠-1即a•b＜0a,b不共线 ∴-18+2k＜06k+6≠0 ∴k＜9k≠-1
从上面的解法我们还容易得到如下结论：
若向量a=（x1,y1）,b=(x2,y2)，则
(1) 向量a，b的夹角θ为钝角cosθ＜0cosθ≠-1a•b＜0a,b不共线
x1x2+y1y2＜0x1y2-x2y1≠0
(2) 向量a，b的夹角θ为锐角cosθ＞0cosθ≠1
a,b＞0a,b不共线x1x2+y1y2＞0x1y2-x2y1=0
例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任做一条射线CM，与线段AB交与于点M,求AM＜AC的概率.（苏教版高中课程标准实验教科书必修3第104页，探究，拓展第6题）.
错解：如图，记“AM＜AC”为事件E,由于点M随机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D,在线段AB上截取AC′=AC,当点M位线段AC′内时，AM＜AC,故线段AC′
即为区域d,于是P(E)=P(AM＜AC′)=AC′AB=ACAB=22
答：AM小于AC的概率为22
错因分析：由于本题所作射线CM等可能分布在∠ACB内的任一位置，因此区域D应是∠ACB而不是线段AB，实际上，造成本题错误的原因在于题意理解不到位，即在∠ACB内部任作一射线CM并不等同于在线段AB上等可能地任取一点M,这也就是不能把线段AB看做区域D的根本原因，在此，我们可以作更深层的探究：假设在∠ACB内部任作一射线CM等同于在线段AB上取点M,则M也不是等可能的.这里我们不妨取∠ACE=∠ECF=∠BCF=30°,E,F∈线段AB,如下图所示：
由正弦选定理可得：AEsin30°=ACsin105°=ACsin75°，EFsin30°=CEsin75°
∴AE=sin30°sin75°•AC,EF=sin30°sin75°•CE
显然 BF=AE≠EF
这样，我们可以看到，在∠ACB内部任作一射线，并不等同于在线段AB上等可能地任取一点M，实质上应该等同于在以点C为圆心，AC为半径的劣弧AB上等可能的任取一点.
正解：因为射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AC′=AC,则∠ACC′=67．5°，故满足条件的概率为67.590=34.
本题说明了背景相似的问题，当考察的等可能的角度不同时，其概率也是不一样的.在求解本题中，必定会有不少同学采用错解解法，只有引导学生进行深入剖析，挖掘其内在的本质特征，找出错因所在，并找出相关题目进行类比，联系，才能使学生深刻领悟其内在的数学本质，从根本上减少或避免类似错误发生.
例3 函数f(x)=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
错解：函数的导数f′(x)= 3ax2+6x-1，当f′(x)＜0时，f(x)是减函数，则f′(x)= 3ax2+6x-1＜0（x∈R）.故a＜0，且Δ＜0，解得a＜-3.
错因分析：f′(x)＜0（x∈（a,b））是f(x)在（a,b）上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x)=-x3在R上递减，但f′(x)= -3x2≤0.
正解：函数的导数f′(x)= 3ax2+6x-1
（1） 当f′(x)＜0时，f(x)是减函数，则f′(x)= 3ax2+6x-1＜0（x∈R）.
故a＜0，且Δ＜0，解得a＜-3.
（2） 当a=-3时，f(x)= -3x3+3x2-x+1=-3x-133+89，易知此时函数也在R上是减函数.综上可知a的取值范围是a≤-3.
剖析：函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，用导数判断函数的单调性，一定要把握好分界点f′(x)=0的处理情况.在实际应用时当遇到临界点值f′(x)=0的讨论时，要谨慎处理，注意思维的严密性.对于可导函数f(x)，其导数与函数单调性的关系，现以增函数为例来说明：
① f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定，如函数f(x)= x3在（-∞，+∞）上递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
② f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系：f(x)为增函数可以推出f′(x)≥0，但反之不一定，因为f′(x)≥0，即为f′(x)＞0或f′(x)=0，当函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常函数，函数不具有单调性，∴f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.由以上分析可以得到：当f′(x)≠0时，则f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分必要条件.
因此，在遇到类似问题时，可以先避开分界点f′(x)=0的情况，最后检验“f′(x)=0”时是否满足题意.
通过以上探究，我们找到了问题的本源，发现了错解的根本原因，既开阔了知识视野，又增强了探究学习的能力.在我们平时的教与学的过程中，类似上面的“隐性”错误还有很多，这些错误绝不能简单地认为是“粗心大意”造成的，实际上错误的原因在于对一些潜在的数学知识认识不深刻，没有真正理解问题的本源.我们只有在平时的学习过程中，勤于思考，勇于探究，才能深刻感悟所学知识的数学本质，从根本上减少或避免类似错误的发生.其实，“错误是最好的老师”，错题病例也是财富，特别是一些隐蔽的本质错误，只有认真的追根溯源查找错因，教训才会深刻，建议我们在教与学的过程中，做到建立错题集，随时记录心得体会，经常翻阅，常常提醒，避免再错.
参考文献：
（1） 孙枫 “抓教学本质，挖问题本源”，高中数学教与学，2010 （10）
（2） 任志鸿 《高中优秀教案》（数学必修3， 配新课标苏教版）2006— 11
1. 题意把握不准、关键词领会不到位，甚至出现看错字句；
2. 过程跨度大，推理计算不详实、书写欠规范.
在解题过程中还会出现一些比较隐蔽的另类纰漏，从整个解题过程上看，表面上似乎准确无误，实质上在不知不觉中已经偏离了正确的解题思路，走入误区.追根溯源，这类错误的产生是因为没有深入挖掘问题的本源造成，对一些重要的数学概念、数学思想、基本定理、性质结论理解不到位，有效地进行解题错因分析，加强反馈性训练对于问题的准确解决十分有利.下面列举一些实例来探讨这类问题求解的基本途径和方法.
例1 设平面向量a=(6,2)，b=(-3,k),若a,b的夹角θ是钝角，求k的范围？
错解：因为a，b的夹角θ是钝角，
所以cosθ=a•b｜a｜｜b｜＜0，即a•b＜0，
∴-18+2k<0 ∴k<9
错因分析：当a,b的夹角θ是钝角时，可以导出a•b＜0，但忽视了当“a•b＜0”成立时能否导出“a,b的夹角θ为钝角”.实际上，当k=-1时a=(6,2)，b=(-3,-1)，此时a=-2b，a•b=-18-2=-20＜0，成立，但a,b方向相反，夹角为180°，a,b的夹角不是钝角.
正解：∵a，b的夹角θ为钝角，
∴cosθ＝a•b｜a｜｜b｜＜0cosθ≠-1即a•b＜0a,b不共线 ∴-18+2k＜06k+6≠0 ∴k＜9k≠-1
从上面的解法我们还容易得到如下结论：
若向量a=（x1,y1）,b=(x2,y2)，则
(1) 向量a，b的夹角θ为钝角cosθ＜0cosθ≠-1a•b＜0a,b不共线
x1x2+y1y2＜0x1y2-x2y1≠0
(2) 向量a，b的夹角θ为锐角cosθ＞0cosθ≠1
a,b＞0a,b不共线x1x2+y1y2＞0x1y2-x2y1=0
例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任做一条射线CM，与线段AB交与于点M,求AM＜AC的概率.（苏教版高中课程标准实验教科书必修3第104页，探究，拓展第6题）.
错解：如图，记“AM＜AC”为事件E,由于点M随机地落在线段AB上，故可以认为点M落在线段AB上任一点是等可能的，可将线段AB看做区域D,在线段AB上截取AC′=AC,当点M位线段AC′内时，AM＜AC,故线段AC′
即为区域d,于是P(E)=P(AM＜AC′)=AC′AB=ACAB=22
答：AM小于AC的概率为22
错因分析：由于本题所作射线CM等可能分布在∠ACB内的任一位置，因此区域D应是∠ACB而不是线段AB，实际上，造成本题错误的原因在于题意理解不到位，即在∠ACB内部任作一射线CM并不等同于在线段AB上等可能地任取一点M,这也就是不能把线段AB看做区域D的根本原因，在此，我们可以作更深层的探究：假设在∠ACB内部任作一射线CM等同于在线段AB上取点M,则M也不是等可能的.这里我们不妨取∠ACE=∠ECF=∠BCF=30°,E,F∈线段AB,如下图所示：
由正弦选定理可得：AEsin30°=ACsin105°=ACsin75°，EFsin30°=CEsin75°
∴AE=sin30°sin75°•AC,EF=sin30°sin75°•CE
显然 BF=AE≠EF
这样，我们可以看到，在∠ACB内部任作一射线，并不等同于在线段AB上等可能地任取一点M，实质上应该等同于在以点C为圆心，AC为半径的劣弧AB上等可能的任取一点.
正解：因为射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AC′=AC,则∠ACC′=67．5°，故满足条件的概率为67.590=34.
本题说明了背景相似的问题，当考察的等可能的角度不同时，其概率也是不一样的.在求解本题中，必定会有不少同学采用错解解法，只有引导学生进行深入剖析，挖掘其内在的本质特征，找出错因所在，并找出相关题目进行类比，联系，才能使学生深刻领悟其内在的数学本质，从根本上减少或避免类似错误发生.
例3 函数f(x)=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
错解：函数的导数f′(x)= 3ax2+6x-1，当f′(x)＜0时，f(x)是减函数，则f′(x)= 3ax2+6x-1＜0（x∈R）.故a＜0，且Δ＜0，解得a＜-3.
错因分析：f′(x)＜0（x∈（a,b））是f(x)在（a,b）上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x)=-x3在R上递减，但f′(x)= -3x2≤0.
正解：函数的导数f′(x)= 3ax2+6x-1
（1） 当f′(x)＜0时，f(x)是减函数，则f′(x)= 3ax2+6x-1＜0（x∈R）.
故a＜0，且Δ＜0，解得a＜-3.
（2） 当a=-3时，f(x)= -3x3+3x2-x+1=-3x-133+89，易知此时函数也在R上是减函数.综上可知a的取值范围是a≤-3.
剖析：函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，用导数判断函数的单调性，一定要把握好分界点f′(x)=0的处理情况.在实际应用时当遇到临界点值f′(x)=0的讨论时，要谨慎处理，注意思维的严密性.对于可导函数f(x)，其导数与函数单调性的关系，现以增函数为例来说明：
① f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定，如函数f(x)= x3在（-∞，+∞）上递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
② f′(x)≥0与f(x)为增函数的关系：f(x)为增函数可以推出f′(x)≥0，但反之不一定，因为f′(x)≥0，即为f′(x)＞0或f′(x)=0，当函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常函数，函数不具有单调性，∴f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.由以上分析可以得到：当f′(x)≠0时，则f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分必要条件.
因此，在遇到类似问题时，可以先避开分界点f′(x)=0的情况，最后检验“f′(x)=0”时是否满足题意.
通过以上探究，我们找到了问题的本源，发现了错解的根本原因，既开阔了知识视野，又增强了探究学习的能力.在我们平时的教与学的过程中，类似上面的“隐性”错误还有很多，这些错误绝不能简单地认为是“粗心大意”造成的，实际上错误的原因在于对一些潜在的数学知识认识不深刻，没有真正理解问题的本源.我们只有在平时的学习过程中，勤于思考，勇于探究，才能深刻感悟所学知识的数学本质，从根本上减少或避免类似错误的发生.其实，“错误是最好的老师”，错题病例也是财富，特别是一些隐蔽的本质错误，只有认真的追根溯源查找错因，教训才会深刻，建议我们在教与学的过程中，做到建立错题集，随时记录心得体会，经常翻阅，常常提醒，避免再错.
参考文献：
（1） 孙枫 “抓教学本质，挖问题本源”，高中数学教与学，2010 （10）
（2） 任志鸿 《高中优秀教案》（数学必修3， 配新课标苏教版）2006— 11