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【摘要】本文论述小学高段数学合情推理教学策略：在概念与规则学习中渗透合情推理方法、利用数学建模训练合情推理能力、设计多元化立足点推动合情推理教学。
【关键词】小学数学 高段 合情推理 教学策略
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）29-0139-02
演绎推理和合情推理是数学推理应用中两种较为普遍的推理形式，而合情推理在小学阶段应用更多。所谓“合情推理”，是学生在学习过程中根据已具备的经验，利用观察、归纳、类比、联想、实验等多种非演绎的思维形式，获得猜测结果或推断出某些结论。小学高段学生已积累一定的生活经验，对周围事物形成一定的认知，思维能力也在逐渐增强，能够利用已有经验对新接触的事物进行归纳和类比，为自己的猜测提供依据。因此，小学高段是学生数学合情推理能力发展的关键时期。自新课改实施以来，小学生数学合情推理能力培养逐渐被重视，但受到培养策略及途径的局限，每当遇到不依靠精算解决的问题或以逻辑思维无法推测出结论的问题时，学生往往不能主动采用直观思维进行合情推理。可见，学生合情推理能力的培养没有有效落实到小学数学教学中。以下，笔者结合自身的教学实践，从几个方面谈谈在小学高段实施数学合情推理教学的策略。
一、学习概念与规则，渗透合情推理方法
合情推理可分为归纳推理和类比推理两种方式。其中，归纳推理是由某类事物中部分对象具有的属性，推测出此类事物全部对象都具有这些属性的推理，是由部分向整体、个别向一般的推理过程;类比推理则是根据事物间某些相似或相同的属性，通过比较推断出它们在其他属性上也相同的推理过程，是由特殊向特殊的推理过程。概念和规则是小学数学基础教学内容之一，旨在指导学生对大量同类事物进行观察、比较、分析、归纳，从中概括出此类事物的共同特征，学生在这一过程中可以尝试识别规律，形成初步的猜想，并设法验证猜想的正确性。这一内容的教学，对提升学生的归纳推理能力具有重要意义。此外，学生在尝试形成概念和规则时，往往偏向比较相似之处、搜索可类比对象、采用属性推理等方式，这些推理活动可视为类比推理的过程。因此，教师在进行概念与规则教学时，应当注重将合情推理的每一种方式落实到教学设计中，将合情推理能力训练渗透在课程之中。
例如，在教学人教版数学五年级下册《分数的意义和性质》一课时，在导入环节笔者提出一个问题：“150÷50的商是多少？如果把150和50同时扩大2倍，那么相除的结果会有变化吗？同时缩小10倍呢？”引导学生回忆四年级时学过的“商不变的性质”相关内容。随后笔者将问题内的除式改写为另一种形式：150÷50=[（ ）（ ）]和（150×2）÷（50×2）=[（ ）×（ ）（ ）×（ ）]=[（ ）（ ）]，再次向学生提问：“既然分数与除法有着明显的相似之处，在整数除法中存在商不变的性质，那在分数中会不会也有类似的性质呢？”此处笔者用“那在分数中会不会也有类似的性质”这样的问题引发学生猜测，正是渗透类比推理的过程。学生在这一过程中尝试用整数除法中“商不变”的属性来推理分数中的类似属性，从中发现分数的性质。
正式进入课程内容后，笔者利用课件展示三个完全一样的正方形，将其分别平均分为2份、4份和8份，将其中的1部分、2部分和4部分涂黑，并用分数形式[12]、[24]、[48]来表示（见图1），然后让学生根据图示和分数的意义思考这三个分数的变化规律。学生仔细观察之后，认为[12]是把一个正方形平均分为2份并取其中1份，而将其中1份再平均分为2份，便能获得1×2=2份。此时如果想取得和之前一样多的数量，那么必须取2份，由[12][×2]=[24]得到第二个分数[24]，可见[12]和[24]的大小是相等的。同样道理，[24]与[48]也是相等的，因此可以认定[12]=[24]=[48]。当学生明確这一结论之后，笔者让他们举出几个类似的例子，并引导他们尝试识别其中的规律，利用归纳推理提出猜想，再用实例来验证猜想。整堂课有效地渗透了类比推理和归纳推理的方法，让学生在主动猜想中完整地经历推理过程，高质量地完成合情推理的训练。
二、建立数学模型，训练合情推理能力
数学模型是一种运用数理逻辑方法和数学语言构建的抽象而简化的结构，通常是为了反应部分现实世界或为实现某种特殊目的、解决实际问题而建。学生学习概念、推导公式及探索数量关系的过程，实际上是建构数学模型解决实际问题的过程。探索未知的世界离不开猜测和推理，所以建构数学模型也离不开合情推理的辅助。教师指导学生利用数学模型解决实际问题，应同时注重学生合情推理能力的训练。
例如，在教学人教版数学五年级上册“植树问题”时，笔者为帮助学生发现“两端都种”的规律，创设了一个具体情境：在校园的主路上种植美人蕉，全长40米，每隔2米种一棵，要求两端都种，请问一共需要多少棵美人蕉？面对这一问题，笔者要求学生先利用以往经验做一个大致数量的猜测。许多学生表示40米的路程太长，且每2米种一棵美人蕉，比较难完成猜测的构想，而且两端都种的要求也不利于用除法进行精确计算。在此情形下，笔者提示学生用一条等比例缩小的线段模拟这条主路。受此启发学生画了一条40cm的线段作为学校主路，并在线段上每隔2cm画上一个圆点表示美人蕉。但在实践过程中，学生发现即使将实物缩小成线段模型，在计算圆点的数量时仍然繁琐且费时费力。于是，笔者又启发学生取40cm线段其中一小段，再按比例画圆点。有学生取了8cm，圆点之间的间隔距离仍为2cm。图示画出之后，该生发现8cm的线段，间隔数为4，圆点数为5，则表示当路长为8米时，间隔数为4，棵数为5。由此推出，当路长为16米时，间隔为8，棵数为9;当路长为32米时，间隔数为16，棵数为17。这一过程意在引导学生利用多种简化实例进行归纳识别，从中总结规律。在本道植树题目中，学生经过简化实例后发现规律：间隔数=总距离÷间隔距离，棵数=间隔数+1，于是利用这一规律计算题目：40÷2=20，20+1=21，共计需要21棵美人蕉。 可见，建构数学模型是解决数学问题的有效途径，而建构模型时可以充分借助合情推理的各种方式，通过推理归纳出规律，再将规律用于题目的计算，最终得出计算结果。学生在建立数学模型过程中，经历的猜测、类比、归纳，实际上是对他们合情推理能力的一种训练、巩固、提升。
三、设计多元立足点，推动合情推理教学
合情推理能力的培养需要紧密结合课型及教学目标，并立足学生的学习需求，设计多元化教学策略，如立足解决学生的认知困惑，以启发性问题引导学生推理;立足学生的已有知识，引导学生进行自主化推理训练等。在教学人教版数学五年级上册《三角形的面积》一课时，笔者着眼不同立足点设计教学情境，以推动合情推理的教学。
（一）以启发性问题引导推理
合情推理能力的培养需要学生产生逻辑思维的跳跃，这一过程通常建立在學生存在认知困惑的基础上。当学生在学习过程中经历质疑、解答、领悟，才能深刻理解所学内容，对合情推理的应用产生深切的体会。因此，在教学中引导学生自主发现认知困惑，是开展合情推理训练的重要步骤。而提出启发性的问题，则是引导学生自主发现认知困惑的有效手段。
本课是教学三角形面积的计算，为了让学生准确理解三角形面积计算公式是如何推导出来，笔者设计了一系列启发性问题，首先展示两个一样的直角三角形，让学生思考：用它们能拼成什么样的图形？有学生拼出平行四边形，笔者就此提问：“大家认为每个直角三角形的面积与它们拼成的平行四边形面积之间有什么联系？”当学生完成讨论后，笔者再依次展示两个一样的锐角三角形、两个一样的钝角三角形，让学生思考同样的问题，并在此基础上追问：“大家所拼成的图形与三角形之间存在什么样的关系？”这些启发性的问题引发了学生的认知困惑，吸引着学生不断思考，逐步进行合情推理，进而发现两个完全一样的三角形能够拼成一个平行四边形，且平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，一个三角形的面积相当于它们拼成的平行四边形面积的一半，由此推导出三角形面积计算公式为S=a×h÷2。
（二）强调自主化推理
合情推理能力的培养要以自主体验为基础，学生只有亲历推理过程，才能够真切感知合情推理的含义和价值。对此，教师在课堂教学中要尽可能为学生创造自主体验的机会，强调通过动手实践和操作完成猜测、比较、分析和验证的过程，避免“人云亦云”，实现“知其然”又“知其所以然”，由此强化自主合情推理训练。
在本节课中的操作环节，笔者让学生带着命题“用两个相同的三角形能拼成什么样的图形”“每个三角形的面积与它们拼成的平行四边形面积之间有什么样的关系”，尝试利用自制的三角形纸片学具进行操作。在操作过程中，学生发现两个三角形能够拼成一个平行四边形这一事实，从而推测出三角形的面积应当是这一平行四边形的一半。随后，学生又利用不同的三角形继续进行拼接实验，验证了以上的推测，最终归纳出三角形与平行四边形之间的关系，推导出三角形的面积公式。动手操作的过程，就是自主体验的过程。学生在自主体验中，通过不断尝试、猜测、归纳、验证，最终获得结论，完成命题的合情推理过程，使认知获得升华。
综上所述，在小学高段实施数学合情推理教学，需要教师充分利用概念与规则的学习，积极进行合情推理方法的渗透，同时结合数学建模加强合情推理能力的训练，并立足于学生多元化的学习需求，设计启发性问题、鼓励自主化推理，从多个层面提高学生数学合情推理能力培养的质量。
【作者简介】黄玉云（1978— ），汉族，福建上杭人，大学本科学历，一级教师，现就职于福建省龙岩市上杭县南阳中心小学，研究方向为小学数学教学。
（责编 黄健清）
【关键词】小学数学 高段 合情推理 教学策略
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）29-0139-02
演绎推理和合情推理是数学推理应用中两种较为普遍的推理形式，而合情推理在小学阶段应用更多。所谓“合情推理”，是学生在学习过程中根据已具备的经验，利用观察、归纳、类比、联想、实验等多种非演绎的思维形式，获得猜测结果或推断出某些结论。小学高段学生已积累一定的生活经验，对周围事物形成一定的认知，思维能力也在逐渐增强，能够利用已有经验对新接触的事物进行归纳和类比，为自己的猜测提供依据。因此，小学高段是学生数学合情推理能力发展的关键时期。自新课改实施以来，小学生数学合情推理能力培养逐渐被重视，但受到培养策略及途径的局限，每当遇到不依靠精算解决的问题或以逻辑思维无法推测出结论的问题时，学生往往不能主动采用直观思维进行合情推理。可见，学生合情推理能力的培养没有有效落实到小学数学教学中。以下，笔者结合自身的教学实践，从几个方面谈谈在小学高段实施数学合情推理教学的策略。
一、学习概念与规则，渗透合情推理方法
合情推理可分为归纳推理和类比推理两种方式。其中，归纳推理是由某类事物中部分对象具有的属性，推测出此类事物全部对象都具有这些属性的推理，是由部分向整体、个别向一般的推理过程;类比推理则是根据事物间某些相似或相同的属性，通过比较推断出它们在其他属性上也相同的推理过程，是由特殊向特殊的推理过程。概念和规则是小学数学基础教学内容之一，旨在指导学生对大量同类事物进行观察、比较、分析、归纳，从中概括出此类事物的共同特征，学生在这一过程中可以尝试识别规律，形成初步的猜想，并设法验证猜想的正确性。这一内容的教学，对提升学生的归纳推理能力具有重要意义。此外，学生在尝试形成概念和规则时，往往偏向比较相似之处、搜索可类比对象、采用属性推理等方式，这些推理活动可视为类比推理的过程。因此，教师在进行概念与规则教学时，应当注重将合情推理的每一种方式落实到教学设计中，将合情推理能力训练渗透在课程之中。
例如，在教学人教版数学五年级下册《分数的意义和性质》一课时，在导入环节笔者提出一个问题：“150÷50的商是多少？如果把150和50同时扩大2倍，那么相除的结果会有变化吗？同时缩小10倍呢？”引导学生回忆四年级时学过的“商不变的性质”相关内容。随后笔者将问题内的除式改写为另一种形式：150÷50=[（ ）（ ）]和（150×2）÷（50×2）=[（ ）×（ ）（ ）×（ ）]=[（ ）（ ）]，再次向学生提问：“既然分数与除法有着明显的相似之处，在整数除法中存在商不变的性质，那在分数中会不会也有类似的性质呢？”此处笔者用“那在分数中会不会也有类似的性质”这样的问题引发学生猜测，正是渗透类比推理的过程。学生在这一过程中尝试用整数除法中“商不变”的属性来推理分数中的类似属性，从中发现分数的性质。
正式进入课程内容后，笔者利用课件展示三个完全一样的正方形，将其分别平均分为2份、4份和8份，将其中的1部分、2部分和4部分涂黑，并用分数形式[12]、[24]、[48]来表示（见图1），然后让学生根据图示和分数的意义思考这三个分数的变化规律。学生仔细观察之后，认为[12]是把一个正方形平均分为2份并取其中1份，而将其中1份再平均分为2份，便能获得1×2=2份。此时如果想取得和之前一样多的数量，那么必须取2份，由[12][×2]=[24]得到第二个分数[24]，可见[12]和[24]的大小是相等的。同样道理，[24]与[48]也是相等的，因此可以认定[12]=[24]=[48]。当学生明確这一结论之后，笔者让他们举出几个类似的例子，并引导他们尝试识别其中的规律，利用归纳推理提出猜想，再用实例来验证猜想。整堂课有效地渗透了类比推理和归纳推理的方法，让学生在主动猜想中完整地经历推理过程，高质量地完成合情推理的训练。
二、建立数学模型，训练合情推理能力
数学模型是一种运用数理逻辑方法和数学语言构建的抽象而简化的结构，通常是为了反应部分现实世界或为实现某种特殊目的、解决实际问题而建。学生学习概念、推导公式及探索数量关系的过程，实际上是建构数学模型解决实际问题的过程。探索未知的世界离不开猜测和推理，所以建构数学模型也离不开合情推理的辅助。教师指导学生利用数学模型解决实际问题，应同时注重学生合情推理能力的训练。
例如，在教学人教版数学五年级上册“植树问题”时，笔者为帮助学生发现“两端都种”的规律，创设了一个具体情境：在校园的主路上种植美人蕉，全长40米，每隔2米种一棵，要求两端都种，请问一共需要多少棵美人蕉？面对这一问题，笔者要求学生先利用以往经验做一个大致数量的猜测。许多学生表示40米的路程太长，且每2米种一棵美人蕉，比较难完成猜测的构想，而且两端都种的要求也不利于用除法进行精确计算。在此情形下，笔者提示学生用一条等比例缩小的线段模拟这条主路。受此启发学生画了一条40cm的线段作为学校主路，并在线段上每隔2cm画上一个圆点表示美人蕉。但在实践过程中，学生发现即使将实物缩小成线段模型，在计算圆点的数量时仍然繁琐且费时费力。于是，笔者又启发学生取40cm线段其中一小段，再按比例画圆点。有学生取了8cm，圆点之间的间隔距离仍为2cm。图示画出之后，该生发现8cm的线段，间隔数为4，圆点数为5，则表示当路长为8米时，间隔数为4，棵数为5。由此推出，当路长为16米时，间隔为8，棵数为9;当路长为32米时，间隔数为16，棵数为17。这一过程意在引导学生利用多种简化实例进行归纳识别，从中总结规律。在本道植树题目中，学生经过简化实例后发现规律：间隔数=总距离÷间隔距离，棵数=间隔数+1，于是利用这一规律计算题目：40÷2=20，20+1=21，共计需要21棵美人蕉。 可见，建构数学模型是解决数学问题的有效途径，而建构模型时可以充分借助合情推理的各种方式，通过推理归纳出规律，再将规律用于题目的计算，最终得出计算结果。学生在建立数学模型过程中，经历的猜测、类比、归纳，实际上是对他们合情推理能力的一种训练、巩固、提升。
三、设计多元立足点，推动合情推理教学
合情推理能力的培养需要紧密结合课型及教学目标，并立足学生的学习需求，设计多元化教学策略，如立足解决学生的认知困惑，以启发性问题引导学生推理;立足学生的已有知识，引导学生进行自主化推理训练等。在教学人教版数学五年级上册《三角形的面积》一课时，笔者着眼不同立足点设计教学情境，以推动合情推理的教学。
（一）以启发性问题引导推理
合情推理能力的培养需要学生产生逻辑思维的跳跃，这一过程通常建立在學生存在认知困惑的基础上。当学生在学习过程中经历质疑、解答、领悟，才能深刻理解所学内容，对合情推理的应用产生深切的体会。因此，在教学中引导学生自主发现认知困惑，是开展合情推理训练的重要步骤。而提出启发性的问题，则是引导学生自主发现认知困惑的有效手段。
本课是教学三角形面积的计算，为了让学生准确理解三角形面积计算公式是如何推导出来，笔者设计了一系列启发性问题，首先展示两个一样的直角三角形，让学生思考：用它们能拼成什么样的图形？有学生拼出平行四边形，笔者就此提问：“大家认为每个直角三角形的面积与它们拼成的平行四边形面积之间有什么联系？”当学生完成讨论后，笔者再依次展示两个一样的锐角三角形、两个一样的钝角三角形，让学生思考同样的问题，并在此基础上追问：“大家所拼成的图形与三角形之间存在什么样的关系？”这些启发性的问题引发了学生的认知困惑，吸引着学生不断思考，逐步进行合情推理，进而发现两个完全一样的三角形能够拼成一个平行四边形，且平行四边形的底就是三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，一个三角形的面积相当于它们拼成的平行四边形面积的一半，由此推导出三角形面积计算公式为S=a×h÷2。
（二）强调自主化推理
合情推理能力的培养要以自主体验为基础，学生只有亲历推理过程，才能够真切感知合情推理的含义和价值。对此，教师在课堂教学中要尽可能为学生创造自主体验的机会，强调通过动手实践和操作完成猜测、比较、分析和验证的过程，避免“人云亦云”，实现“知其然”又“知其所以然”，由此强化自主合情推理训练。
在本节课中的操作环节，笔者让学生带着命题“用两个相同的三角形能拼成什么样的图形”“每个三角形的面积与它们拼成的平行四边形面积之间有什么样的关系”，尝试利用自制的三角形纸片学具进行操作。在操作过程中，学生发现两个三角形能够拼成一个平行四边形这一事实，从而推测出三角形的面积应当是这一平行四边形的一半。随后，学生又利用不同的三角形继续进行拼接实验，验证了以上的推测，最终归纳出三角形与平行四边形之间的关系，推导出三角形的面积公式。动手操作的过程，就是自主体验的过程。学生在自主体验中，通过不断尝试、猜测、归纳、验证，最终获得结论，完成命题的合情推理过程，使认知获得升华。
综上所述，在小学高段实施数学合情推理教学，需要教师充分利用概念与规则的学习，积极进行合情推理方法的渗透，同时结合数学建模加强合情推理能力的训练，并立足于学生多元化的学习需求，设计启发性问题、鼓励自主化推理，从多个层面提高学生数学合情推理能力培养的质量。
【作者简介】黄玉云（1978— ），汉族，福建上杭人，大学本科学历，一级教师，现就职于福建省龙岩市上杭县南阳中心小学，研究方向为小学数学教学。
（责编 黄健清）