设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。
　　1 整体代入，设而不求
　　在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。
　　例1：已知等比数列 {an}中，Sm=16 ，S2m=64，求S3m。
　　解：设公比为q，由于S2m≠2Sm，故q≠1。
　　于是 ■=16 ① ■=64 ②
　　②÷①得1+qm=4，则qm=3
　　所以S3m=■=■（1+qm+q2m）
　　=16×（1+3+32）
　　=208
　　2 转化图形，设而不求
　　有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。
　　例2：设a、b均为正数，且a+b=1，求证■+■≤2■。
　　证明：设u=■，v=■（u>1、v>1），u+v=m
　　则u、v同时满足u+v=m u2+v2=4
　　其中u+v=m表示直线，m为此直线在v轴上的截距，u2+v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图1），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。 图1
　　由图易得 mmax=2■，即■+■≤2■。
　　3 适当引参，设而不求
　　恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。
　　例3：已知对任何满足（x—1）2+y2=1（）的实数x、y，如果 x+y+k≥0恒成立，求实数k的取值范围。
　　解：设x=1+cosθ y=sinθ （θ∈R）
　　则g（θ）=x+y+k=sinθ+cosθ+1+k≥—■+1+k
　　令—■+1+k≥，得k≥■—1。
　　4 巧设坐标，设而不求
　　在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。
　　例4：设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，求证：直线AC经过原点O。
　　证明：设点A（2pt12，2pt1 ）、B（2pt22，2pt2），则点C（—■，2pt2），因为AB过焦点F，所以2pt1·2pt2=—p2，得t1t2=—■，又直线OC的斜率Koc =—■=—4t2=■，直线OA的斜率KOA=■=■，则Koc =KOA，故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。 图2
　　5 活用性质，设而不求
　　解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。
　　例5：求证■+■+…+■>■（n≥2，n∈N*）
　　证明：设xn=■+■+…+■—■
　　则xn+1=■+■+…+■+■+■—■
　　由xn+1—xn=■+■—■=■—■>0可知：数列{xn}为单调递增数列。
　　又x2=■+■—■>0，则xn>0（n≥2，n∈N*）
　　即■+■+…+■>■（n≥2，n∈N*）
　　6 中介过渡，设而不求
　　根据解题需要，可引入一个中间量作为中介，起到过渡作用，使问题得以解决。
　　例6：如图3，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分，求圆锥母线与轴（下转第19页）
　　（上接第20页）
　　的夹角α。
　　解：过点A作SO的垂线，垂足为M，可知∠MAO=∠AOB=∠OSB=α。
　　设MA=x，OB=r，SO=h则有■πr2h化简可得（■）2=■，又因为cosα=■=■即cosα=■=■，所以cos2α=■·■=■，于是cos4α=■，从而α=arccos■。
　　7 恒等变形，设而不求
　　某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。
　　例7：求cos■cos■cos■…cos■的值。
　　解：设M=cos■cos■cos■…cos■
　　N=sin■sin■sin■…sin■
　　则MN=sin■cos■·sin■cos■·sin■cos■…sin■cos■=■sin■sin■…sin■=■sin■sin■…sin■=■·N
　　而N≠0，故M=■=■。