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【摘要】为了帮助学习者解决问题，教师应从沟通联系的角度出发，在探知学生的认知结构的基础上，提出恰当的、对学生有启发的类比案例，帮助学生认识概念、加强理解、强化技能、提高能力，本文通过具体的案例论述如何利用基于问题解决中的类比案例来指导学生学习.
【关键词】问题解决，类比，同质
【基金项目】江西教育科学“十三五”规划课题《基于问题解决的初中数学教学研究》（17PTYB008）研究成果.
类比是解决数学问题的常用方法.波利亚曾经说过：“类比是问题解决的引路人.”在教学活动中，通过类比来促进教学得到了很多研究人员和学者的认可.从认知心理学角度来看，类比就是特殊对象之间的特定信息的转移.运用类比有助于提出猜想、完善图式、促进新发现的产生，但是学生的类比能力不是自然形成的，需要教师不断深入地培养.在基于问题解决的学习中，类比案例以问题属性的相似点和属性关系之间的相似点为基础，通过提供本质相似或相同的问题引发学生的思考，帮助学习者补全认识、通透理解、提高思维品质，现举例与同行探讨.
一、以体会概念为核心的比较
问题1 如图1所示为一种折叠门，此门中间是左右两扇相等的活页门，活页门的右轴固定在门框上.门的上下装有轨道，可以推动左侧的活页门进行开关.现把图1的俯视图简化成图2，已知两扇活页门的宽OB=OC=60 cm，轨道AB=120 cm，点B固定时，点C在AB上左右运动，OC与OB的长度不变，求当点C从点A向右运动60 cm时，点O在此过程中运动的路径长.
问题2 如图3所示为一电动门，当门水平下落关闭时，可以抽象成图4的矩形ABCD，其中AB=3 m，AD=1 m，此时它与入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2 m，当门抬起时，变为图5的平行四边形AB′C′D，此时，AB′与水平方向的所夹的角度为60°.求在电动门抬起至图5的过程中，点C所经过的路径长.
解 问题1：60·π·60180=20π，问题2：60·π·3180=π.
学生的解答情况：这一组问题采取先解答问题1后呈现问题2的方式.刚接触问题1时，很多学生无从下笔，困难之处在于从C，O这两个动点的角度很难确定点O的运动轨迹，问题2在问题1的基础上，学生有了部分解题经验，但是很多學生错误地把A当作定点，CA当作定长来解决问题.
类比点 这一组问题的“同质”之处是对圆的概念的理解，即到定点的距离等于定长的点的集合.这个定义可以等价为圆是确定了一个定点和一段定长后，另一动点形成的图形.
教学小结 用知识解决问题的情况，可以反映学生对知识的掌握程度.通过典型问题的设置，能够帮助学生深化知识的理解，把握核心的思想方法，实现知识结构的调整、补充和完善.这组问题是对圆的定义的深入理解，用运动的观点来理解圆的定义，把动点的轨迹问题转化为找定点和固定线段.通过这样的比较，使学生能从不同角度认识概念，辨识非本质属性和本质属性，建立概念的多元联系，对发展学生的概括能力有着重要的意义.
二、以加强理解为核心的比较
问题1 如图6所示，点P为线段AB外一动点，PA=m，AB=n，请思考点P位于何位置时，线段PB的长取最大值，并求出这个最大值（用含m，n的式子表示）.
问题2 如图7所示，点D为线段EF外一动点，EF=3，DE=1，分别以DE，DF为边，作等边△DEG和等边△HDF，连接GF，HE，求线段HE的最大值.
问题3 如图8所示，已知⊙O的半径为3，OC=5，点B是⊙O上的动点.在△ACB中，∠BAC=90°，AC=AB，连接AO.现将AO绕着点A逆时针旋转90°得到AD，连接CD，求AO的最大值.
解 问题1：当点P位于BA的延长线上时，线段PB取最大值，为m n=2.问题2：易证△GDF≌△EDH，∴线段HE的最大值=线段GF的最大值.当线段GF的长取最大值时，点G在FE的延长线上，∴最大值为3 1=4.问题3：易证△ABO≌△ACD，∴BO=CD.所以当点D位于OC的延长线上时，OD取最大值8.此时AO=22OD=42.
学生的解答情况：在实际解决问题中，很多学生不理解问题1，为什么点P位于BA的延长线上时，线段PB取最大值，导致后面的问题无法解决.问题2中随着D点的运动，变化的线段很多，学生眼花缭乱、辨识不清.问题3中学生很难想到通过求线段OD来推导线段AO.
类比点 这一组问题的“同质”之处是借助三角形三边关系对图形的理解，如图6所示，随着∠B的变化，△ABC分别经历了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，虽然三角形不同，但都满足三角形两边之和大于第三边，因此，能够理解当它不构成三角形，即A，B，C在同一条直线上时，有最大值a b.
教学小结 布鲁纳曾指出，比较在帮助学生直观理解和发展抽象水平方面的作用极大.这组问题，看似复杂图形的不同变化，但其最根本的、突破的关键是如图6所示的基本图形.这个本源图形的确定就是逐渐排除无关属性，突出关键属性的过程.从学生的答题情况来看，学生缺乏对基本图形即对运动变化中线段长度的理解.由于学生的心理发展水平不够，教师就需要引领指导学生认识更多细节、本质的内涵，只有通过多角度研究和分析获得的理解，才最有可能迁移到其他事例上去.
三、以强化技能为核心的比较
问题1 若一元二次方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，求x1 x2.
问题2 已知点A（x1，6），B（x2，6）是函数y=x2-2x 4上两点，则当x=x1 x2时，函数值y为多少？
问题3 已知抛物线y=ax2 bx c与x轴交于点（-3，0），（1，0），求ba.
解 问题1：x1 x2=43，问题2：x1 x22=1，则x=x1 x2=2，∴y=4，问题3：x1 x2=-ba=-2，∴ba=2.
【关键词】问题解决，类比，同质
【基金项目】江西教育科学“十三五”规划课题《基于问题解决的初中数学教学研究》（17PTYB008）研究成果.
类比是解决数学问题的常用方法.波利亚曾经说过：“类比是问题解决的引路人.”在教学活动中，通过类比来促进教学得到了很多研究人员和学者的认可.从认知心理学角度来看，类比就是特殊对象之间的特定信息的转移.运用类比有助于提出猜想、完善图式、促进新发现的产生，但是学生的类比能力不是自然形成的，需要教师不断深入地培养.在基于问题解决的学习中，类比案例以问题属性的相似点和属性关系之间的相似点为基础，通过提供本质相似或相同的问题引发学生的思考，帮助学习者补全认识、通透理解、提高思维品质，现举例与同行探讨.
一、以体会概念为核心的比较
问题1 如图1所示为一种折叠门，此门中间是左右两扇相等的活页门，活页门的右轴固定在门框上.门的上下装有轨道，可以推动左侧的活页门进行开关.现把图1的俯视图简化成图2，已知两扇活页门的宽OB=OC=60 cm，轨道AB=120 cm，点B固定时，点C在AB上左右运动，OC与OB的长度不变，求当点C从点A向右运动60 cm时，点O在此过程中运动的路径长.
问题2 如图3所示为一电动门，当门水平下落关闭时，可以抽象成图4的矩形ABCD，其中AB=3 m，AD=1 m，此时它与入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2 m，当门抬起时，变为图5的平行四边形AB′C′D，此时，AB′与水平方向的所夹的角度为60°.求在电动门抬起至图5的过程中，点C所经过的路径长.
解 问题1：60·π·60180=20π，问题2：60·π·3180=π.
学生的解答情况：这一组问题采取先解答问题1后呈现问题2的方式.刚接触问题1时，很多学生无从下笔，困难之处在于从C，O这两个动点的角度很难确定点O的运动轨迹，问题2在问题1的基础上，学生有了部分解题经验，但是很多學生错误地把A当作定点，CA当作定长来解决问题.
类比点 这一组问题的“同质”之处是对圆的概念的理解，即到定点的距离等于定长的点的集合.这个定义可以等价为圆是确定了一个定点和一段定长后，另一动点形成的图形.
教学小结 用知识解决问题的情况，可以反映学生对知识的掌握程度.通过典型问题的设置，能够帮助学生深化知识的理解，把握核心的思想方法，实现知识结构的调整、补充和完善.这组问题是对圆的定义的深入理解，用运动的观点来理解圆的定义，把动点的轨迹问题转化为找定点和固定线段.通过这样的比较，使学生能从不同角度认识概念，辨识非本质属性和本质属性，建立概念的多元联系，对发展学生的概括能力有着重要的意义.
二、以加强理解为核心的比较
问题1 如图6所示，点P为线段AB外一动点，PA=m，AB=n，请思考点P位于何位置时，线段PB的长取最大值，并求出这个最大值（用含m，n的式子表示）.
问题2 如图7所示，点D为线段EF外一动点，EF=3，DE=1，分别以DE，DF为边，作等边△DEG和等边△HDF，连接GF，HE，求线段HE的最大值.
问题3 如图8所示，已知⊙O的半径为3，OC=5，点B是⊙O上的动点.在△ACB中，∠BAC=90°，AC=AB，连接AO.现将AO绕着点A逆时针旋转90°得到AD，连接CD，求AO的最大值.
解 问题1：当点P位于BA的延长线上时，线段PB取最大值，为m n=2.问题2：易证△GDF≌△EDH，∴线段HE的最大值=线段GF的最大值.当线段GF的长取最大值时，点G在FE的延长线上，∴最大值为3 1=4.问题3：易证△ABO≌△ACD，∴BO=CD.所以当点D位于OC的延长线上时，OD取最大值8.此时AO=22OD=42.
学生的解答情况：在实际解决问题中，很多学生不理解问题1，为什么点P位于BA的延长线上时，线段PB取最大值，导致后面的问题无法解决.问题2中随着D点的运动，变化的线段很多，学生眼花缭乱、辨识不清.问题3中学生很难想到通过求线段OD来推导线段AO.
类比点 这一组问题的“同质”之处是借助三角形三边关系对图形的理解，如图6所示，随着∠B的变化，△ABC分别经历了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，虽然三角形不同，但都满足三角形两边之和大于第三边，因此，能够理解当它不构成三角形，即A，B，C在同一条直线上时，有最大值a b.
教学小结 布鲁纳曾指出，比较在帮助学生直观理解和发展抽象水平方面的作用极大.这组问题，看似复杂图形的不同变化，但其最根本的、突破的关键是如图6所示的基本图形.这个本源图形的确定就是逐渐排除无关属性，突出关键属性的过程.从学生的答题情况来看，学生缺乏对基本图形即对运动变化中线段长度的理解.由于学生的心理发展水平不够，教师就需要引领指导学生认识更多细节、本质的内涵，只有通过多角度研究和分析获得的理解，才最有可能迁移到其他事例上去.
三、以强化技能为核心的比较
问题1 若一元二次方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1，x2，求x1 x2.
问题2 已知点A（x1，6），B（x2，6）是函数y=x2-2x 4上两点，则当x=x1 x2时，函数值y为多少？
问题3 已知抛物线y=ax2 bx c与x轴交于点（-3，0），（1，0），求ba.
解 问题1：x1 x2=43，问题2：x1 x22=1，则x=x1 x2=2，∴y=4，问题3：x1 x2=-ba=-2，∴ba=2.