例谈平面法向量的应用

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  【摘要】立體几何是历年来高考的必考题型之一,然而引入空间向量后,几何已经趋于代数化,它把数形结合的数学思想发挥得淋漓尽致。本文作者借助几个教学案例,谈谈平面法向量在解这类问题的方法,试图用代数方法,去除繁杂的辅助线,探索出简洁、容易入手的解题方法。
  【关键词】空间直角坐标系 平面法向量 距离 夹角
  几何发展的根本出路是代数化,引入向量研究几何是几何代数化的需要。大家知道,使用“形到形”的综合推理方法学习立体几何,对多数学生都是比较困难的,通过使用向量方法学习立体几何,可使学生较牢固地掌握向量代数工具,从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。这样做不仅不会增加学生的负担,相反,由于学生掌握了一套有力的工具反而会降低学习的难度,减轻学生的负担。因此在高中引进向量的代数方法是比较自然的,也是必要的。下面是我在教学中一些体验,就是平面法向量在解决空间点、线、面的夹角和距离的应用。
  一、在空间中求点到平面的距离
  例:已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F、G分别是C1C,D1A1,AB的中点,求点A到平面EFG的距离。 z
  分析:求点到平面的距离常见的有三种方法:一是 D1 C1
  作出垂线段;二是用等积法;三是用向量的方法: F
  设AP是平面α的一条斜线段,n是平面α的一 A1 B1 E
  个法向量,则AP在n上射影的长就是点A到平 D C y
  面α的距离(P为斜足),本题用向量法可谓直接
  了当。 A G B
  解: 如图(1)以D为坐标原点建立空间直角坐标系 x (1)
  D-xyz 。由正方体棱长为2知A(2,0,0)G(2,1,1)E(0,2,1)
  F(1,0,2)则
  设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,则
  ,
  1. 求异面直线的距离
  例:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2若M、N分别为DC,BB1中点,求异面直线MN与A1B间的距离。
  分析:将MN与A1B的距离转化为
  的公共法向量上的射影长,勿须找公垂线段,
  方法令人耳目一新。 (2)
  解:如图(2)以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz
  因为M,N为CD,BB1中点
  所以M(3,2,0),N(0,4,1)
  2. 求线面夹角问题
  例:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB= ,AA1=1,AD= ,E、F分别是AB,C1D1的中点,求直线A1B1与平面A1EF所成的角。
  分析:本题可转化为求向量 与面A1EF的
  法向量所成的角再求其余角,而不必找线
  面夹角的位置,可省去多条辅助线,
  方法浅显易懂。
  解:如图(3)以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-XYZ
  1. 求二面角
  例:正三棱锥ABC-A1B1C1中,底面边长为a,在BB1上截取BD=a,在CC1上截取CE=a,求截面ADE和底面ABC所成角的大小。
  分析:本题可转化为求平面ADE与平
  面ABC两法向量的夹角(同时应判别该二面角
  是钝角或锐角,若夹角为0或 时,
  平面ADE//平面ABC ),方法避免了寻找二
  面角的平面角的繁杂过程,可谓简洁方便。
  (4)
  解:如图(4)以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C-xyz,
  以上是笔者对平面法向量在立体几何中的几点应用的看法,当然平面法向量的功能是强大的,在解决许多具体问题中发挥的很大的作用,希望读者能提出更多好建议。勿庸置疑,向量法解立体几何问题,并不是完美无缺,有时会发现它是一个较啰嗦的东西,对学生的空间想象能力是有碍的。因此我们在教学过程中对解题方法应权衡利弊,舍远求近,去繁求简,开阔学生的解题思路,增强学生解决实际问题的能力。
  【参考文献】:
  [1]中华人民共和国教育部 普通高中数学课程标准(实验) 人民教育出版社 2003
  [2]施良方等.课堂教学的原理 策略与研究.华东师范大学出版社 1999
  [3]李建明.从新旧教材例(习)题的变化感悟课程理念 《中学数学教与学》2008.5
  [4]中学数学课程教材研究开发中心 《数学1必修》《数学2必修》《数学3必修》(A版)人民教育出版社
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