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摘要：著名数学家赖登塔尔表示：反思是培养学生数学思维能力的核心和动力，没有反思，学生的理解能力就不可能从一个水平升华到另一个水平。本文就反思的作用和如何反思谈几点看法。
关键词：反思 高效 数学思维
2017版课标将6个高中数学学科的核心素养分为三个水平，其中每个水平层次最后都是通过交流与反思表达出来，由此可见反思的重要性。高中数学对一部分学生来说是一门高难度，高耗时的学科，不少学生都反映明明自己在数学学习上花了很多时间，但成绩就是不理想，而一般情况下老师的指导意见是多做题，但这不是学生想要的。数学学习解题是必不可少的，但超负荷，重复性，低水平地做题只会使学生兴趣减少，丧失信心，如何实现轻松的学习，高效的复习，实现学习过程最优化的目的，笔者认为反思是其中最重要且必不可少的环节。下面笔者就反思谈几点自己的看法：
一、什么是反思
反思，回头、反过来思考的意思。近代西方哲学中广泛使用的概念之一。反思，就是思考过去的事情，从中总结经验教训。海涅说：反思是一面镜子，它能将我们的错误清清楚楚的照出来，使我们改正。将海涅的话应用到数学的学习上同样是适用的。數学本身是抽象的，学习数学过程必须反复训练，当然训练不只是为了做题，而是为了反复思考，而反思是对“思考本身的思考”。要不断去提炼题目中的精髓，去伪存真，去粗存精，使问题简明，抓住问题本质。
二、反思的作用是什么
（一）反思使概念明确
数学的概念往往抽象且不易理解，一般情况下，第一遍学不能理解其深意，但能通过做题，练习加深对它的理解，这时的适当反思对概念的理解将起到事半功倍的效果。例如：若f′（3）=5，则求limh→∞f（3+h）-f（3-h）5h的值，本题学生在初学导数时，可能会认为它的值就是5。因为函数值与自变量的变化量都趋向于0，但根据定义仔细一分析可以看出导数就是函数值的变化量与相应的自变量的变化量的比值的极限值，此处的“相应”要注意。所以上式只是f′（3）的25倍。所以答案是2。
（二）反思使思路清晰
有些题目第一遍做时，也能跌跌撞撞做出来，但学生并不能清楚地理解题目的做题过程，从而下一次做到同类的题甚至原题仍然不是太顺利。例如学生在做下面题目：
例1 已知函数y=f（x+1）的定义域是-2，3，则y=f（2x-1）的定义域为（ ）
A.-3，7
B.-1，4
C.-5，5
D.0，52
本题学生在做的过程可能会出现以下几种错误情况：
①认为-2，3是y=f（x+1）中的（x+1）的范围;
②认为y=f（2x-1）的定义域就是y=f（x+1）的定义域或者认为它们没关系。
产生这些错误的原因通过反思之后就会很明了。显然是函数的定义没搞清楚，要搞清楚y=f（x+1）与y=f（2x-1）中x才是自变量，而对于法则f来说总体是一样的，它们根本不是同一个函数但有关系。当清楚这一点本题太容易了，下次遇到就能很快解决了。这种思考的过程就是反思。
（三）反思使学习高效
笔者告诉学生“学习数学主要不是看做了多少题，而看动了多少脑筋”。一味做题，没有反思，只是重复劳动，但茫茫题海，你所做的不过是沧海一粟，不可能有太多收获。题目条件稍有变化就可能会无从下手，若通过反思总结，做到知其然也知其所以然，就可避免重复劳动，从而有条理有目标的做题，得到大幅度的提高复习效率目的。另外通过反思，也能使我们再解做过题目时，有一定解题套路，从而省时省力，还能有很高的正确率。
三、反思什么
（一）反思解题过程中所涉及基本知识、基本概念是否清晰
数学解题过程往往有很多是基本知识、基本概念的应用。这些内容不会太难，但出题人一般都会从某些细节上下功夫，都是一些我们平时不太注意的地方。其目的是加深我们对基础知识的理解，也是我们做题最容易出错的地方。要想把会的题做对、做全，那我们就应该时刻在解题中、解题后自我反思。
（二）反思解题方法的多样性及多个题目之间的联系
解题需要有一定的目标意识，不光要认认真真地“低头拉车”，还不能忘了去“抬头看路”。重点专题要梳理，难点突破要积累，才能使知识系统化，思维过程清晰化，方法策略明确化，促进学习进步，提升解题能力。找出多个题目的共性，从而把解题系统化。从不同角度去思考一个题目往往能出现我们意想不到的收获。解题过程多种方法解同一题，以及多个题目的同一解法，题目条件的变式，思路灵活。
（三）反思解题过程中出现的错误
找到错误的根源。纠错是进步的重要节点。有些学生解题后，不进行反思，错后反思防止一错再错，改进优化，提炼解题流程，使解题流畅。有些同学总是丢三落四，总是在细节上丢分，解题最主要地方都解对了，别人想不到地方也想到了，但总出现一些很低级的错误。比如设直线方程斜率的存在，比如区间的开闭等小错，我们常进行反思，可减少错题发生的可能性。反思错误可以多方面进行，比如审题，基本知识，运算量解题方法，细节错误等等。
（四）反思我们的解题过程，提高思维的批判性
美国著名数学家、教育家波利亚有一句耳熟能详的名言：掌握数学就意味着善于解题。不是“多”而是“善于”，因此当我们解题之后，要自我反思这道题为什么要这样去解;还有没有其他别的解法;这道题是否有其他的变化形式，这道题目的解法是否还可以解决其他类似的问题等等，这些都能充分说明反思的重要性。
例2 在《通用技术》课上，某小组同学准备用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型（其底面在正四面体一个面上），要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为（ ）
A.263
B.463
C.4
D.26
本题中正三棱柱放在正四面体内部，并且底面在正四面体的一个面上，考虑到正三棱柱的上下底面平行，所以反思后想到可以使用相似比解决，而体积的最值求解则考虑使用导数或不等式解决。
做完本题之后，对这题我们可进行如下反思：
①正四面体的高如何求？正三棱柱的体积公式是什么？（基本知识反思）
②本题图形如何画？正三棱柱在正四面体的什么位置？削去的越少等价于正三棱柱体积越大吗？（解题策略反思）
③本题解题的步骤是什么？（方法总结反思）
④本题我还会用其他方法解决最值吗？（解题方法优化反思）
总之，反思是数学学习不可缺少的重要环节，从不同角度，不同层次进行反思是提高复习效率的重要途径。
参考文献：
[1]何则兴.强化数学教学反思 提高数学复习效率[J].教学创新，2008（7）：13-15.
[2]王赟.培养学生解题反思习惯 提高高三数学复习效率[J].长三角（教育），2012（05）：40-41.
[3]刘新春.反思使复习高效[J].新高考，2015（5-6）.
关键词：反思 高效 数学思维
2017版课标将6个高中数学学科的核心素养分为三个水平，其中每个水平层次最后都是通过交流与反思表达出来，由此可见反思的重要性。高中数学对一部分学生来说是一门高难度，高耗时的学科，不少学生都反映明明自己在数学学习上花了很多时间，但成绩就是不理想，而一般情况下老师的指导意见是多做题，但这不是学生想要的。数学学习解题是必不可少的，但超负荷，重复性，低水平地做题只会使学生兴趣减少，丧失信心，如何实现轻松的学习，高效的复习，实现学习过程最优化的目的，笔者认为反思是其中最重要且必不可少的环节。下面笔者就反思谈几点自己的看法：
一、什么是反思
反思，回头、反过来思考的意思。近代西方哲学中广泛使用的概念之一。反思，就是思考过去的事情，从中总结经验教训。海涅说：反思是一面镜子，它能将我们的错误清清楚楚的照出来，使我们改正。将海涅的话应用到数学的学习上同样是适用的。數学本身是抽象的，学习数学过程必须反复训练，当然训练不只是为了做题，而是为了反复思考，而反思是对“思考本身的思考”。要不断去提炼题目中的精髓，去伪存真，去粗存精，使问题简明，抓住问题本质。
二、反思的作用是什么
（一）反思使概念明确
数学的概念往往抽象且不易理解，一般情况下，第一遍学不能理解其深意，但能通过做题，练习加深对它的理解，这时的适当反思对概念的理解将起到事半功倍的效果。例如：若f′（3）=5，则求limh→∞f（3+h）-f（3-h）5h的值，本题学生在初学导数时，可能会认为它的值就是5。因为函数值与自变量的变化量都趋向于0，但根据定义仔细一分析可以看出导数就是函数值的变化量与相应的自变量的变化量的比值的极限值，此处的“相应”要注意。所以上式只是f′（3）的25倍。所以答案是2。
（二）反思使思路清晰
有些题目第一遍做时，也能跌跌撞撞做出来，但学生并不能清楚地理解题目的做题过程，从而下一次做到同类的题甚至原题仍然不是太顺利。例如学生在做下面题目：
例1 已知函数y=f（x+1）的定义域是-2，3，则y=f（2x-1）的定义域为（ ）
A.-3，7
B.-1，4
C.-5，5
D.0，52
本题学生在做的过程可能会出现以下几种错误情况：
①认为-2，3是y=f（x+1）中的（x+1）的范围;
②认为y=f（2x-1）的定义域就是y=f（x+1）的定义域或者认为它们没关系。
产生这些错误的原因通过反思之后就会很明了。显然是函数的定义没搞清楚，要搞清楚y=f（x+1）与y=f（2x-1）中x才是自变量，而对于法则f来说总体是一样的，它们根本不是同一个函数但有关系。当清楚这一点本题太容易了，下次遇到就能很快解决了。这种思考的过程就是反思。
（三）反思使学习高效
笔者告诉学生“学习数学主要不是看做了多少题，而看动了多少脑筋”。一味做题，没有反思，只是重复劳动，但茫茫题海，你所做的不过是沧海一粟，不可能有太多收获。题目条件稍有变化就可能会无从下手，若通过反思总结，做到知其然也知其所以然，就可避免重复劳动，从而有条理有目标的做题，得到大幅度的提高复习效率目的。另外通过反思，也能使我们再解做过题目时，有一定解题套路，从而省时省力，还能有很高的正确率。
三、反思什么
（一）反思解题过程中所涉及基本知识、基本概念是否清晰
数学解题过程往往有很多是基本知识、基本概念的应用。这些内容不会太难，但出题人一般都会从某些细节上下功夫，都是一些我们平时不太注意的地方。其目的是加深我们对基础知识的理解，也是我们做题最容易出错的地方。要想把会的题做对、做全，那我们就应该时刻在解题中、解题后自我反思。
（二）反思解题方法的多样性及多个题目之间的联系
解题需要有一定的目标意识，不光要认认真真地“低头拉车”，还不能忘了去“抬头看路”。重点专题要梳理，难点突破要积累，才能使知识系统化，思维过程清晰化，方法策略明确化，促进学习进步，提升解题能力。找出多个题目的共性，从而把解题系统化。从不同角度去思考一个题目往往能出现我们意想不到的收获。解题过程多种方法解同一题，以及多个题目的同一解法，题目条件的变式，思路灵活。
（三）反思解题过程中出现的错误
找到错误的根源。纠错是进步的重要节点。有些学生解题后，不进行反思，错后反思防止一错再错，改进优化，提炼解题流程，使解题流畅。有些同学总是丢三落四，总是在细节上丢分，解题最主要地方都解对了，别人想不到地方也想到了，但总出现一些很低级的错误。比如设直线方程斜率的存在，比如区间的开闭等小错，我们常进行反思，可减少错题发生的可能性。反思错误可以多方面进行，比如审题，基本知识，运算量解题方法，细节错误等等。
（四）反思我们的解题过程，提高思维的批判性
美国著名数学家、教育家波利亚有一句耳熟能详的名言：掌握数学就意味着善于解题。不是“多”而是“善于”，因此当我们解题之后，要自我反思这道题为什么要这样去解;还有没有其他别的解法;这道题是否有其他的变化形式，这道题目的解法是否还可以解决其他类似的问题等等，这些都能充分说明反思的重要性。
例2 在《通用技术》课上，某小组同学准备用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型（其底面在正四面体一个面上），要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为（ ）
A.263
B.463
C.4
D.26
本题中正三棱柱放在正四面体内部，并且底面在正四面体的一个面上，考虑到正三棱柱的上下底面平行，所以反思后想到可以使用相似比解决，而体积的最值求解则考虑使用导数或不等式解决。
做完本题之后，对这题我们可进行如下反思：
①正四面体的高如何求？正三棱柱的体积公式是什么？（基本知识反思）
②本题图形如何画？正三棱柱在正四面体的什么位置？削去的越少等价于正三棱柱体积越大吗？（解题策略反思）
③本题解题的步骤是什么？（方法总结反思）
④本题我还会用其他方法解决最值吗？（解题方法优化反思）
总之，反思是数学学习不可缺少的重要环节，从不同角度，不同层次进行反思是提高复习效率的重要途径。
参考文献：
[1]何则兴.强化数学教学反思 提高数学复习效率[J].教学创新，2008（7）：13-15.
[2]王赟.培养学生解题反思习惯 提高高三数学复习效率[J].长三角（教育），2012（05）：40-41.
[3]刘新春.反思使复习高效[J].新高考，2015（5-6）.