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摘 要：具象思维是运用具象的材料或因素为达到认识目的而进行的思维活动。具象思维是儿童数学学习中的客观存在。教育的本质是让每个学生进行个性化学习，获取知识，发现规律，发展自己。具象思维，具有赋予数学个性化学习的力量，它具备科学性、具象性、创造性和完整性的特征，有实物具象、替代物具象、图形具象和符号具象四种表现形式。教师可利用小学生数学具象思维的特点，依托其不同的表现形式，有针对性地促进数学个性化学习。
关键词：具象思维 数学 个性化学习
直观教学是数学教育的热点话题之一。“几何直观”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增加的核心概念。我认为，具象思维是直观思维的初级形式，而形象思维是直观思维的高级形式。“数学和其他科学一样，都具有抽象性”，对于以直观思维为主的小学生而言，抽象的数学是有理解难度的，具象思维是帮助他们理解抽象数学的重要手段。
由于个体差异，学生的课堂学习是个性化的历程。教育的本质是让每个学生进行个性化学习，获取知识，发现规律，发展自己。具象思维具有赋予数学个性化学习的力量，教师可以利用小学生具象思维的特点，使数学学习富有个性化，让不同智力水平的学生获得基本的数学素养。
一、小学数学具象思维的内涵理解
所谓具象，《现代汉语词典》第6版的解释是：“①具体的；不抽象的。②具体的形象。” 思维属于人类认知过程的一个组成部分。从哲学上说，思维是人脑对客观世界的本质特征和规律性联系间接的反映。就心理学而言，思维是为解决问题而进行的意象运演活动。它包含着广泛的心理活动，有多种表现形式。具象思维在心理学中是一个全新的术语，它“是运用具象的材料或因素为达到认识目的而进行的思维活动”，是个体对其意识中的物象资料进行有目的加工（构建、运演、判别）的操作活动。具象思维具有科学性、具象性、创造性和完整性的特征，“有实物具象、替代物具象、图形具象和符号具象四种表现形式”。
小学生的数学学习是一个复杂的认识过程，具象思维在小学生的数学学习过程中起着至关重要的作用。“在人类思维形式的发展史上，最先形成的是具象思维，而后是形象思维，最后是抽象思维。”形象思维是指在思维过程中借助于表象而进行的思维。抽象思维是指在思维过程中以概念、判断、推理的形式来反映事物本质属性和内在规律的思维，抽象思维需要借助语言。具象思维需要借助物象。物象是具象思维操作的媒介，它不同于形象思维的表象，也不同于抽象思维的语言，而是感知觉本身。工具是人类思维形成的标志，工具的产生就是具象思维的结果。原始人根据劳动的需要在头脑中形成一种新的原始工具的具象，并根据这种具象制造了简单的原始工具。这就是人类初始的思维——具象思维。
二、具象思维对小学数学个性化学习的价值分析
日本的米山国藏曾说过：“学生们在学校学的数学知识，因毕业进入社会后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”所以，数学的精神、数学解决问题的着眼点与方式方法，是数学学习的归宿。个性化学习是以促进学习者个性发展为根本宗旨的学习方式。数学个性化学习，即用个性化学习理念，参与到数学学习中来，通过个性化的多元道路，共同奔赴数学学习之“终极追求”的过程。
（一）具象思维是经验加工，也是个体学习实践
具象思维是儿童在学习过程中运用具象的材料或因素对数学知识或原有经验进行再加工，从而促进自己对原有知识和经验进行再创造，形成新的知识和经验——个体课程。对于儿童来说，从宏观上看，他们是用个体经验参与知识的操作、理解、建构，在此过程中对数学知识进行再加工；从微观上看，他们是用个体经验建构知识的这一过程，实现对个体数学知识的再加工。即儿童在运用具象思维进行数学学习的过程中，对个体的知识结构、学习经验等进行再学习和再运用，实现数学知识经验的重构，形成新的自我。儿童对于个体数学经验的加工是自主建构的，别人无法替代；也是一种个体学习，群体无法完成。因此，从这个意义上来说，具象思维是个体对原有数学经验的加工，是一种个体的数学学习实践，是一种数学个性化学习。
（二）具象思维是教学过程，也是个体学习方式
从教学层面看，具象思维是教师引导学生借助具象的材料不断思考、不断生成经验的过程，学生以直观思维的初级形式——具象思维作为起点，不断深化思考，在自主建构数学知识經验的过程中，不断创造着课堂事件，也用自己的理解和行为不断解释着课堂事件，在这种创造与解释的过程中，内容不断丰富和变革，意义不断生成和内化。上述这种经历、这个过程，就是教学。从学习层面看，学生用自己的具象思维方式进行思考，也是个体学习。学生在数学学习过程中，自己对文本、环境、教师和同学进行“‘意义与关系’重建的实践”的过程，是个体经验形成的过程。儿童按照自己的认知方式对客体世界意义的认知关系、同他者沟通的人际关系、同自身对峙的自我反思关系所建“意义与关系”的实践过程，是自主学习的过程。所以，从这个意义上来说，具象思维是一种教学过程，是一种个性化学习方式。
（三）具象思维是课程建构，也是个体学习习惯
具象思维的四种表现形式，决定了学生在思维时，要根据学习任务自主选择学习资源。教学过程中，可让学生自主查询与教学内容相关的教学资料和数学历史文化，也可让他们到相关资料中自主选择与教学内容融通的习题。学生在数学学习过程中通常借助具象进行思考。具象思维的“象”不仅指具象的“象”，还包括抽象的“象”；不仅指具体的形象，也包括语言、符号等。不同的学生会选用
不同的具象作思考，有的喜欢选用最普遍、最常用的具象材料——图形，有的选用最直观的实物，有的一时找不到实物，借助替代物也可以思维，思维水平高的学生会借助抽象的具象材料——符号和语言进行思考。学生在开发这些课程资源时所采用的方式都是自己的方式，这种对教学资源的查找过程是自主学习的过程。从这个角度看，具象思维是一种课程建构，是一种个体的学习习惯。 （四）具象思维是思维素描，也是个体学习精神
建筑设计者在构思桥梁、房屋之前，头脑中先要构建起桥梁、房屋的具体形象，然后通过各种数据的计算，画出它们的外形、内部构造，再通过施工者进行建设。这种在科学创造活动中形成的具体形象，不是艺术的形象，而是物质的科学的形象。由于遗传、所处家庭、社会环境的不同，每一个学生都是与众不同的，他们有自己独特的天赋、特性和偏好，探究问题的方式也不尽相同，在这个过程中，也体现出个体的毅力、耐性的差别。所以，从上述意义上看，具象思维是一种思维描述，是一种个体学习精神的体现。
三、以具象思维培养数学个性化学习的路径
人的发展，其本质是人的个性的发展。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出：“要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”学生的学习应该是一个动态的、充满灵气的个性活动，每个学生都是作为一个独特的生命个体参与学习过程的始终，尤其是数学学习，更是一种充满个性、表现个性的活动。具象思维的引入，可让学生根据自身的学习情况，有选择地进行自主学习，以满足不同学生数学个性化学习的需求。
（一）实物具象，让儿童用自己的方式开发资源
实物具象即直观可感的实物材料。在探究数学本质过程中，教师应引导学生用自己的方式寻找学习用具（实物具象），开发学习资源。
1.追根溯源，彰显个性化表达。
如六年级下册有这样一道题：
如图1所示，把底面周长18.84厘米、高10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积是多少平方厘米？体积是多少平方厘米？
教师针对这道习题的教学片段如下：
师 你打算怎样计算长方体的底面积？
生 长方体底面的长和宽，题目没有提供，不能直接计算。
生 （边说边拿出圆柱学具，边比画边说）由于近似长方体是圆柱拼成的，所以长方体的底面积就是圆柱的底面积，只要根据圆柱的底面周长，求出圆柱的底面半径，就可以求出圆柱的底面积了。
生 其实在推导圆柱的体积公式时，我们就知道，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。
师 那长方体的体积怎么计算呢？
生 因为长方体的体积等于圆柱的体积，直接用上面求出的圆柱的底面積乘圆柱的高就可以了。
教师从学生的学习起点出发，通过不断追问、步步深入，使学生借助具象的实物，在观察、思考、表达的过程中，将具象的学习素材内化为头脑中的表象，圆柱和长方体关系的本质属性被剥离、凸显出来。在教师有的放矢的导引下，学生对知识的理解越来越深刻。在一次次智慧的碰撞中，概念自然生长于学生的“再发现”，悄然生长的还有学生的个性化表达。
2.同屏互传，展示个性化思维。
同屏互传，是运用现代信息技术在设备之间实现视频、照片互传，以加强师生之间的互动与反馈。将平板电脑与投影仪无线连接，脱离黑板的束缚，师生穿梭于教室的任意角落，教师借助平板书写计算的结果，拍下学生的想法、算法，使“每一个儿童”的思维可视化，让儿童的思维火花及时交流、反馈。这样的方式，在强化师生之间互动的同时，展示了学生的个性化思维，提高了课堂教学效率。
如二年级上册《观察物体》一课教学就借助同屏互传展开，教学片段如下：
师 请小组长把玩具小猴放在桌子的正中间，小猴的脸对着自己。请同学们悄悄告诉小猴，你坐在小猴的哪一边？大家把“小手相机”准备好，一起给小猴拍张照。
（出示教材中的图片，见图2。）
师 老师已经把大家拍的照片传到大屏幕上了，请大家看大屏幕。
师 （指第一张照片）你们都拍到了小猴的眼睛、鼻子……也就是小猴的前面。请拍到这一张照片的同学起立，你们都是从小猴的前面拍的照片。
（拍到小猴前面的学生起立。）
师 （指第二张照片）你们拍到了小猴的后面。请拍到这一张照片的同学起立，你们都是从小猴的后面拍的照片。
（拍到小猴后面的学生起立。）
《观察物体》一课的重点是，让学生初步体会从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不一样的，学会根据看到的形状正确判断观察者的位置，并在实物与相应视图之间建立正确的联系。为了让学生真正去体会每个位置观察到物体的不同，同屏互传是化解难点的最好方法。在教学过程中，先让学生看学校照片，从熟悉的生活情境和事物出发，初步知道从不同位置观察到的视图可能是不一样的，从而引出课题。接着，让学生通过拍照，有效突破判断从左、右两个方位看到的视图这一难点。随后，安排学生分组活动，让学生从前后左右观察毛绒玩具，积累活动经验，初步建立表象。在此基础上，让学生判断例题中给小猴拍照的位置。学生由于之前的观察活动，由易到难地学会了观察物体的方法，形成了正确的认识，并能表达自己判断的理由。
（二）替代物具象，让儿童用自己的方式实施课程
有些抽象的数学知识是无法找到实物的，需要借助替代物。替代物具象是具象思维的又一表现形式。学生如何运用自己的方式实施课程？替代物具象是一个很好的凭借。国家课程可以让学生自我探究学习目标，校本课程可以让学生通过自己的方式去达成目标。
1.立足经验差异，搭建理性学习平台。
在教学中，我们会发现学生有的善于分析，有的善于猜想，有的善于动手实践……这正说明由于认知方式的不同而形成的经验差异。这就需要教师从儿童的学习角度出发，关注儿童的数学经验差异，为理性学习搭建平台，促进儿童数学思维有效起步。
如五年级下册《分数的基本性质》一课，教材中安排学生折纸验证
12、24、48、816等分数是否相等。其实，有些学生对类似相等的分数已经有了感性的认识，还有些学生对抽象的分数大小比较已经有了一些办法，比如化成小数比大小等等。学生有了这些知识经验，再通过折纸来发现它们相等的事实，大多缺失了学习的需要和激情。但是折纸又是一种直观手段，学生对于数学知识的抽象概括必须给予充分的感性材料以丰富认知体验，没有足够的感性体验作基础，他们的抽象概括就不可能在认知结构中内化为一般的意义，不可能达到真正的理性领悟，这对于一些抽象思维能力较弱的学生尤为重要。因此，教学中，在提出不同的方法来验证 12、24、48、816等分数是否相等之后，我设计了灵活的分组活动，既呈现直观折纸等替代物验证方法，为学生的抽象概括提供感性经验，又鼓励学生采取多样的验证方式，如采用除法计算的方式以及已有的比较分数大小策略，让形象直观和抽象推理并行。
2. 突破思考瓶颈，有效拓展具象思维。
每个学生都具有与众不同的学习风格，或喜沉思，或善交流，或爱自学，或需指引……学生的学习过程其实就是展示自己的个性的过程。教师应允许并鼓励和引导学生根据不同的内容、不同的外部环境和客观条件，灵活地动用自己喜欢的方式来学习。当学生苦苦思索、欲罢不能，想尽办法、仍得不出结论时，教师再适时引导借用替代物等辅助手段来思考，往往会取得柳暗花明的效果。
如教学四年级上册《认识平行》一课，一位教师为了帮助学生理解平行的概念，设计了一道变式题，将魔方的一个面旋转2个90°，让学生判断是否平行。在学生陷入深思、犹豫不决时，教师用一张卡片插入两条直线所在的面（见图3），两条直线同时呈现在倾斜的平面上，具象的卡片让抽象的表面得以形象地展示，让学生的具象思维得到了拓展。
（三）图形具象，让儿童用自己的方式探究问题
图形具象是最普遍、最常用的具象材料。借助图形，学生可自我发现问题，自主解决问题。儿童通过自主学习“学材”，确定学习目标，发现疑难问题；然后，围绕学习目标和疑难问题进行探究，运用自己解决问题的方式解决问题，实现学习目标。
1.化隐为显，夯实图形分析基础。
学生如果能借助图形来思考问题，就可以较好地理解数学本质和促进思维的发展。图形分析能帮助学生启迪思路，为学生创造更多的思考机会，使学生经历数学探索、发现和再创造的过程。化隐为显，可以将复杂、抽象的数学概念，用具象的图形进行描述和分析，使解决问题的思路更为巧妙、简便和易明。
教学六年级下册《圆柱的体积》，在学生通过图形分割、拼接，推导出圆柱的体积计算公式后，教师出示一道习题：
如图4，一个高为2厘米的圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了10平方厘米，求原来圆柱的体积。
学生思考如下：
生 我感覺增加的10平方厘米，应该是长方体的左右两个侧面的面积。
生 我也觉得应该是，但又不敢肯定。
师 那有没有办法验证呢？
生 画图可以验证。
学生通过画图研讨，得出：近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加的是长方体的左、右两个侧面，而这两个侧面的长又是
圆柱的高，所以增加的10平方厘米除以2，得出圆柱一个侧面的面积，
一个侧面的面积除以2，就是圆柱的底面半径。圆柱的底面半径知道了，圆柱的底面积迎刃而解，再用底面积乘圆柱的高，就得出了
圆柱的体积。“学习是一种需要，而不是一种命令。”只要重视激发学生内在的学习需要，具象的图形可以有效地深化学生对数学关系的认识，促进自主建构，深化学习体验。
2.化难为易，提高图形分析能力。
学生的数学学习是一个主动建构的过程，即通过内部认知结构与周围环境的相互作用来建构、内化知识。在这一过程中，学生必须在已有知识经验的基础上，使新的数学学习材料与原有的认知结构相互作用，主动地建构新的数学认知结构。根据这一原理，图形和等式结合分析，可以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。
有这样一道题：
如图5，两个涂色正方形周长的和是40厘米，求整个图形的面积。
为解决这个问题，教师这样引导：
师 要求整个图形的面积，必须知道什么？能直接求出来吗？
生 整个图形是一个正方形，不知道正方形的边长，不能直接计算。
师 仔细观察图5，换一个角度思考，你有什么新发现？
生 可以看出两个涂色正方形里面的两条边分别和对应的大正方形边上的某一段相等，即40厘米=大正方形的周长。40÷4=10（厘米），10×10=100（平方厘米）。
上述案例，利用图形转换思路，学生巧妙地发现两个图色正方形周长之和40厘米与大正方形周长之间的联系，从而得出40厘米就是大正方形的周长，40除以4得出大正方形的边长，用边长乘边长即得出大正方形的面积。如果按照常规思路，从正方形面积计算公式出发，就会陷入死胡同。可见，将图形与等式结合，改用推理的方法，就会很快发现解决问题的办法。图形和等式结合转化，是解决问题的突破口。
（四）符号具象，让儿童用自己的方式实现成长
符号和语言是抽象的具象材料，适时运用可以提高学生的思维水平，培养学生的形象思维能力和抽象思维能力。人的生命成长主要包括生理机能的成长和精神生命的成长，无论是生理机能的成长还是精神生命的成长，都是通过生命体内“新陈代谢”实现的，是一种“自我运动”，任何人都无法替代。学生借助符号等抽象的具象材料，对课程中提供的“食粮”进行加工，转化为“生命成长元素”，再经过“同化作用”，可丰富知识，提升学力。
1.巧设计，重创新。
具象思维的最终归宿，是培养学生能够借助数学符号进行数学思考。而数学符号是数学的重要组成部分，也是学生数学学习内容的载体。数学符号对于培养学生学习数学、学好数学，提高数学关键素养具有重要意义。因此，教师要善于挖掘教材，巧妙设计教学程序，让学生在活动中交流思路和自己的符号表征方法，拓展思维，发展能力。
教学四年级上册《简单的周期》一课，教师首先通过一首旋律优美的《小白船》的节奏“咚哒哒，咚哒哒，咚哒哒……”，引导学生发现其中隐藏的规律，从而揭示课题“找规律”。先出示问题：按照这样的规律排列下去，左起第11个字是谁？学生理解题意，有了如下个性化表征： 生 实物（汉字）表征：咚哒哒，咚哒哒，咚哒哒，咚哒。
生 图形表征：。
生 符号表征：11÷3=3（组）……2（个）。
在上述思考与探索过程中，学生经历“实物表征—图形表征—符号表征” 的过程，再通过寻找其中的规律，自然发现符号表征的优势。在这个过程中，学生不仅发现了符号的作用和优越性，还拉近了和数学符号的距离，感受了数学的魅力。也正如皮亚杰所说：思维首先是动作的一种形式，这种形式在发展过程中会分化、自组织，并且将作用方式精细化。
2.善运用，重积累。
符号具象是学生对数学符号的一种直觉感悟和敏感觉察，是一种积极的主动反应和心理倾向，需要学生在使用过程中有意识的体会和感悟，依赖学生自己长期经验的积累。符号具象更多地表现为以学生为主体的一种主动运用符号的意识，对数学符号不仅要懂，还要会用。单纯的符号推演训练和模仿记忆是无法提升符号意识的。因此，在教学中，教师要加以指导，为学生的“悟”铺平道路。教师要引导学生在解决问题的过程中，对问题解决的专业术语、关键词进行讲解和提取，培养学生对专业术语和关键词的特殊直觉和敏感，能够迅速提取数学信息，积累运用数学符号的数学经验，提升符号的应用意识。
如有这样一道题：
已知13个李子的重量等于2个苹果的重量和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。多少个李子和1个桃子一样重？
教师引导学生借助语言或符号表示题中的条件和问题：
13个李子=2个苹果+1个桃子……（1）
1个桃子=4个李子+1个苹果……（2）
将（2）式带入（1）式，（1）式变为：13个李子=2个苹果+4个李子+1个苹果→13个李子=3个苹果+4个李子→9个李子=3個苹果→3个李子=1个苹果，再根据（2）式得出：1个桃子=7个李子。
上述案例，借助抽象的语言或符号，层层推演，帮助学生轻松解决了看似复杂的问题，积累了运用数学符号解决问题的经验，提升了符号的应用意识。
有人把夸美纽斯所说的直观称为“感知直观”，“人在认识活动中对认知对象的整体把握称之为理智直观”。感知直观是理智直观的思维材料，理智直观是感知直观的结果，教学中不应该局限于对学生感知直观能力的培养，而应进一步发展学生的理智直观能力。具象思维是典型的“感知直观”，它使理智直观更轻松，同时理智直观也使思维的结果更简洁。新课程改革的核心理念是“为了中华民族的复兴，为了每一个学生的发展”，这一理念体现在教学实践中，就是教师要关注“每一个学生的发展”“让每一个学生都成为完整的人”，把促进每一个学生的个性发展为根本宗旨。我们应该努力强化感知直观，遵循学生“具象→形象→抽象→具象思维”的发展路径，让学生的思维伴随着愉悦的情感体验，让学生的思维品质与个体生命成长同步发展。
参考文献：
[1] 孟霞.关注“具象思维”，改进数学教学——以小学数学“图形与几何”教学为例[J].上海教育科研，2015（12）.
[2] 王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M].北京：北京师范大学出版，2012.
[3] 覃可霖.试论写作活动中的具象思维[J].广西师范大学学报（哲学社会科学版），2012（1）.
关键词：具象思维 数学 个性化学习
直观教学是数学教育的热点话题之一。“几何直观”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增加的核心概念。我认为，具象思维是直观思维的初级形式，而形象思维是直观思维的高级形式。“数学和其他科学一样，都具有抽象性”，对于以直观思维为主的小学生而言，抽象的数学是有理解难度的，具象思维是帮助他们理解抽象数学的重要手段。
由于个体差异，学生的课堂学习是个性化的历程。教育的本质是让每个学生进行个性化学习，获取知识，发现规律，发展自己。具象思维具有赋予数学个性化学习的力量，教师可以利用小学生具象思维的特点，使数学学习富有个性化，让不同智力水平的学生获得基本的数学素养。
一、小学数学具象思维的内涵理解
所谓具象，《现代汉语词典》第6版的解释是：“①具体的；不抽象的。②具体的形象。” 思维属于人类认知过程的一个组成部分。从哲学上说，思维是人脑对客观世界的本质特征和规律性联系间接的反映。就心理学而言，思维是为解决问题而进行的意象运演活动。它包含着广泛的心理活动，有多种表现形式。具象思维在心理学中是一个全新的术语，它“是运用具象的材料或因素为达到认识目的而进行的思维活动”，是个体对其意识中的物象资料进行有目的加工（构建、运演、判别）的操作活动。具象思维具有科学性、具象性、创造性和完整性的特征，“有实物具象、替代物具象、图形具象和符号具象四种表现形式”。
小学生的数学学习是一个复杂的认识过程，具象思维在小学生的数学学习过程中起着至关重要的作用。“在人类思维形式的发展史上，最先形成的是具象思维，而后是形象思维，最后是抽象思维。”形象思维是指在思维过程中借助于表象而进行的思维。抽象思维是指在思维过程中以概念、判断、推理的形式来反映事物本质属性和内在规律的思维，抽象思维需要借助语言。具象思维需要借助物象。物象是具象思维操作的媒介，它不同于形象思维的表象，也不同于抽象思维的语言，而是感知觉本身。工具是人类思维形成的标志，工具的产生就是具象思维的结果。原始人根据劳动的需要在头脑中形成一种新的原始工具的具象，并根据这种具象制造了简单的原始工具。这就是人类初始的思维——具象思维。
二、具象思维对小学数学个性化学习的价值分析
日本的米山国藏曾说过：“学生们在学校学的数学知识，因毕业进入社会后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”所以，数学的精神、数学解决问题的着眼点与方式方法，是数学学习的归宿。个性化学习是以促进学习者个性发展为根本宗旨的学习方式。数学个性化学习，即用个性化学习理念，参与到数学学习中来，通过个性化的多元道路，共同奔赴数学学习之“终极追求”的过程。
（一）具象思维是经验加工，也是个体学习实践
具象思维是儿童在学习过程中运用具象的材料或因素对数学知识或原有经验进行再加工，从而促进自己对原有知识和经验进行再创造，形成新的知识和经验——个体课程。对于儿童来说，从宏观上看，他们是用个体经验参与知识的操作、理解、建构，在此过程中对数学知识进行再加工；从微观上看，他们是用个体经验建构知识的这一过程，实现对个体数学知识的再加工。即儿童在运用具象思维进行数学学习的过程中，对个体的知识结构、学习经验等进行再学习和再运用，实现数学知识经验的重构，形成新的自我。儿童对于个体数学经验的加工是自主建构的，别人无法替代；也是一种个体学习，群体无法完成。因此，从这个意义上来说，具象思维是个体对原有数学经验的加工，是一种个体的数学学习实践，是一种数学个性化学习。
（二）具象思维是教学过程，也是个体学习方式
从教学层面看，具象思维是教师引导学生借助具象的材料不断思考、不断生成经验的过程，学生以直观思维的初级形式——具象思维作为起点，不断深化思考，在自主建构数学知识經验的过程中，不断创造着课堂事件，也用自己的理解和行为不断解释着课堂事件，在这种创造与解释的过程中，内容不断丰富和变革，意义不断生成和内化。上述这种经历、这个过程，就是教学。从学习层面看，学生用自己的具象思维方式进行思考，也是个体学习。学生在数学学习过程中，自己对文本、环境、教师和同学进行“‘意义与关系’重建的实践”的过程，是个体经验形成的过程。儿童按照自己的认知方式对客体世界意义的认知关系、同他者沟通的人际关系、同自身对峙的自我反思关系所建“意义与关系”的实践过程，是自主学习的过程。所以，从这个意义上来说，具象思维是一种教学过程，是一种个性化学习方式。
（三）具象思维是课程建构，也是个体学习习惯
具象思维的四种表现形式，决定了学生在思维时，要根据学习任务自主选择学习资源。教学过程中，可让学生自主查询与教学内容相关的教学资料和数学历史文化，也可让他们到相关资料中自主选择与教学内容融通的习题。学生在数学学习过程中通常借助具象进行思考。具象思维的“象”不仅指具象的“象”，还包括抽象的“象”；不仅指具体的形象，也包括语言、符号等。不同的学生会选用
不同的具象作思考，有的喜欢选用最普遍、最常用的具象材料——图形，有的选用最直观的实物，有的一时找不到实物，借助替代物也可以思维，思维水平高的学生会借助抽象的具象材料——符号和语言进行思考。学生在开发这些课程资源时所采用的方式都是自己的方式，这种对教学资源的查找过程是自主学习的过程。从这个角度看，具象思维是一种课程建构，是一种个体的学习习惯。 （四）具象思维是思维素描，也是个体学习精神
建筑设计者在构思桥梁、房屋之前，头脑中先要构建起桥梁、房屋的具体形象，然后通过各种数据的计算，画出它们的外形、内部构造，再通过施工者进行建设。这种在科学创造活动中形成的具体形象，不是艺术的形象，而是物质的科学的形象。由于遗传、所处家庭、社会环境的不同，每一个学生都是与众不同的，他们有自己独特的天赋、特性和偏好，探究问题的方式也不尽相同，在这个过程中，也体现出个体的毅力、耐性的差别。所以，从上述意义上看，具象思维是一种思维描述，是一种个体学习精神的体现。
三、以具象思维培养数学个性化学习的路径
人的发展，其本质是人的个性的发展。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出：“要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”学生的学习应该是一个动态的、充满灵气的个性活动，每个学生都是作为一个独特的生命个体参与学习过程的始终，尤其是数学学习，更是一种充满个性、表现个性的活动。具象思维的引入，可让学生根据自身的学习情况，有选择地进行自主学习，以满足不同学生数学个性化学习的需求。
（一）实物具象，让儿童用自己的方式开发资源
实物具象即直观可感的实物材料。在探究数学本质过程中，教师应引导学生用自己的方式寻找学习用具（实物具象），开发学习资源。
1.追根溯源，彰显个性化表达。
如六年级下册有这样一道题：
如图1所示，把底面周长18.84厘米、高10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的底面积是多少平方厘米？体积是多少平方厘米？
教师针对这道习题的教学片段如下：
师 你打算怎样计算长方体的底面积？
生 长方体底面的长和宽，题目没有提供，不能直接计算。
生 （边说边拿出圆柱学具，边比画边说）由于近似长方体是圆柱拼成的，所以长方体的底面积就是圆柱的底面积，只要根据圆柱的底面周长，求出圆柱的底面半径，就可以求出圆柱的底面积了。
生 其实在推导圆柱的体积公式时，我们就知道，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。
师 那长方体的体积怎么计算呢？
生 因为长方体的体积等于圆柱的体积，直接用上面求出的圆柱的底面積乘圆柱的高就可以了。
教师从学生的学习起点出发，通过不断追问、步步深入，使学生借助具象的实物，在观察、思考、表达的过程中，将具象的学习素材内化为头脑中的表象，圆柱和长方体关系的本质属性被剥离、凸显出来。在教师有的放矢的导引下，学生对知识的理解越来越深刻。在一次次智慧的碰撞中，概念自然生长于学生的“再发现”，悄然生长的还有学生的个性化表达。
2.同屏互传，展示个性化思维。
同屏互传，是运用现代信息技术在设备之间实现视频、照片互传，以加强师生之间的互动与反馈。将平板电脑与投影仪无线连接，脱离黑板的束缚，师生穿梭于教室的任意角落，教师借助平板书写计算的结果，拍下学生的想法、算法，使“每一个儿童”的思维可视化，让儿童的思维火花及时交流、反馈。这样的方式，在强化师生之间互动的同时，展示了学生的个性化思维，提高了课堂教学效率。
如二年级上册《观察物体》一课教学就借助同屏互传展开，教学片段如下：
师 请小组长把玩具小猴放在桌子的正中间，小猴的脸对着自己。请同学们悄悄告诉小猴，你坐在小猴的哪一边？大家把“小手相机”准备好，一起给小猴拍张照。
（出示教材中的图片，见图2。）
师 老师已经把大家拍的照片传到大屏幕上了，请大家看大屏幕。
师 （指第一张照片）你们都拍到了小猴的眼睛、鼻子……也就是小猴的前面。请拍到这一张照片的同学起立，你们都是从小猴的前面拍的照片。
（拍到小猴前面的学生起立。）
师 （指第二张照片）你们拍到了小猴的后面。请拍到这一张照片的同学起立，你们都是从小猴的后面拍的照片。
（拍到小猴后面的学生起立。）
《观察物体》一课的重点是，让学生初步体会从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不一样的，学会根据看到的形状正确判断观察者的位置，并在实物与相应视图之间建立正确的联系。为了让学生真正去体会每个位置观察到物体的不同，同屏互传是化解难点的最好方法。在教学过程中，先让学生看学校照片，从熟悉的生活情境和事物出发，初步知道从不同位置观察到的视图可能是不一样的，从而引出课题。接着，让学生通过拍照，有效突破判断从左、右两个方位看到的视图这一难点。随后，安排学生分组活动，让学生从前后左右观察毛绒玩具，积累活动经验，初步建立表象。在此基础上，让学生判断例题中给小猴拍照的位置。学生由于之前的观察活动，由易到难地学会了观察物体的方法，形成了正确的认识，并能表达自己判断的理由。
（二）替代物具象，让儿童用自己的方式实施课程
有些抽象的数学知识是无法找到实物的，需要借助替代物。替代物具象是具象思维的又一表现形式。学生如何运用自己的方式实施课程？替代物具象是一个很好的凭借。国家课程可以让学生自我探究学习目标，校本课程可以让学生通过自己的方式去达成目标。
1.立足经验差异，搭建理性学习平台。
在教学中，我们会发现学生有的善于分析，有的善于猜想，有的善于动手实践……这正说明由于认知方式的不同而形成的经验差异。这就需要教师从儿童的学习角度出发，关注儿童的数学经验差异，为理性学习搭建平台，促进儿童数学思维有效起步。
如五年级下册《分数的基本性质》一课，教材中安排学生折纸验证
12、24、48、816等分数是否相等。其实，有些学生对类似相等的分数已经有了感性的认识，还有些学生对抽象的分数大小比较已经有了一些办法，比如化成小数比大小等等。学生有了这些知识经验，再通过折纸来发现它们相等的事实，大多缺失了学习的需要和激情。但是折纸又是一种直观手段，学生对于数学知识的抽象概括必须给予充分的感性材料以丰富认知体验，没有足够的感性体验作基础，他们的抽象概括就不可能在认知结构中内化为一般的意义，不可能达到真正的理性领悟，这对于一些抽象思维能力较弱的学生尤为重要。因此，教学中，在提出不同的方法来验证 12、24、48、816等分数是否相等之后，我设计了灵活的分组活动，既呈现直观折纸等替代物验证方法，为学生的抽象概括提供感性经验，又鼓励学生采取多样的验证方式，如采用除法计算的方式以及已有的比较分数大小策略，让形象直观和抽象推理并行。
2. 突破思考瓶颈，有效拓展具象思维。
每个学生都具有与众不同的学习风格，或喜沉思，或善交流，或爱自学，或需指引……学生的学习过程其实就是展示自己的个性的过程。教师应允许并鼓励和引导学生根据不同的内容、不同的外部环境和客观条件，灵活地动用自己喜欢的方式来学习。当学生苦苦思索、欲罢不能，想尽办法、仍得不出结论时，教师再适时引导借用替代物等辅助手段来思考，往往会取得柳暗花明的效果。
如教学四年级上册《认识平行》一课，一位教师为了帮助学生理解平行的概念，设计了一道变式题，将魔方的一个面旋转2个90°，让学生判断是否平行。在学生陷入深思、犹豫不决时，教师用一张卡片插入两条直线所在的面（见图3），两条直线同时呈现在倾斜的平面上，具象的卡片让抽象的表面得以形象地展示，让学生的具象思维得到了拓展。
（三）图形具象，让儿童用自己的方式探究问题
图形具象是最普遍、最常用的具象材料。借助图形，学生可自我发现问题，自主解决问题。儿童通过自主学习“学材”，确定学习目标，发现疑难问题；然后，围绕学习目标和疑难问题进行探究，运用自己解决问题的方式解决问题，实现学习目标。
1.化隐为显，夯实图形分析基础。
学生如果能借助图形来思考问题，就可以较好地理解数学本质和促进思维的发展。图形分析能帮助学生启迪思路，为学生创造更多的思考机会，使学生经历数学探索、发现和再创造的过程。化隐为显，可以将复杂、抽象的数学概念，用具象的图形进行描述和分析，使解决问题的思路更为巧妙、简便和易明。
教学六年级下册《圆柱的体积》，在学生通过图形分割、拼接，推导出圆柱的体积计算公式后，教师出示一道习题：
如图4，一个高为2厘米的圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体后，表面积比原来增加了10平方厘米，求原来圆柱的体积。
学生思考如下：
生 我感覺增加的10平方厘米，应该是长方体的左右两个侧面的面积。
生 我也觉得应该是，但又不敢肯定。
师 那有没有办法验证呢？
生 画图可以验证。
学生通过画图研讨，得出：近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加的是长方体的左、右两个侧面，而这两个侧面的长又是
圆柱的高，所以增加的10平方厘米除以2，得出圆柱一个侧面的面积，
一个侧面的面积除以2，就是圆柱的底面半径。圆柱的底面半径知道了，圆柱的底面积迎刃而解，再用底面积乘圆柱的高，就得出了
圆柱的体积。“学习是一种需要，而不是一种命令。”只要重视激发学生内在的学习需要，具象的图形可以有效地深化学生对数学关系的认识，促进自主建构，深化学习体验。
2.化难为易，提高图形分析能力。
学生的数学学习是一个主动建构的过程，即通过内部认知结构与周围环境的相互作用来建构、内化知识。在这一过程中，学生必须在已有知识经验的基础上，使新的数学学习材料与原有的认知结构相互作用，主动地建构新的数学认知结构。根据这一原理，图形和等式结合分析，可以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。
有这样一道题：
如图5，两个涂色正方形周长的和是40厘米，求整个图形的面积。
为解决这个问题，教师这样引导：
师 要求整个图形的面积，必须知道什么？能直接求出来吗？
生 整个图形是一个正方形，不知道正方形的边长，不能直接计算。
师 仔细观察图5，换一个角度思考，你有什么新发现？
生 可以看出两个涂色正方形里面的两条边分别和对应的大正方形边上的某一段相等，即40厘米=大正方形的周长。40÷4=10（厘米），10×10=100（平方厘米）。
上述案例，利用图形转换思路，学生巧妙地发现两个图色正方形周长之和40厘米与大正方形周长之间的联系，从而得出40厘米就是大正方形的周长，40除以4得出大正方形的边长，用边长乘边长即得出大正方形的面积。如果按照常规思路，从正方形面积计算公式出发，就会陷入死胡同。可见，将图形与等式结合，改用推理的方法，就会很快发现解决问题的办法。图形和等式结合转化，是解决问题的突破口。
（四）符号具象，让儿童用自己的方式实现成长
符号和语言是抽象的具象材料，适时运用可以提高学生的思维水平，培养学生的形象思维能力和抽象思维能力。人的生命成长主要包括生理机能的成长和精神生命的成长，无论是生理机能的成长还是精神生命的成长，都是通过生命体内“新陈代谢”实现的，是一种“自我运动”，任何人都无法替代。学生借助符号等抽象的具象材料，对课程中提供的“食粮”进行加工，转化为“生命成长元素”，再经过“同化作用”，可丰富知识，提升学力。
1.巧设计，重创新。
具象思维的最终归宿，是培养学生能够借助数学符号进行数学思考。而数学符号是数学的重要组成部分，也是学生数学学习内容的载体。数学符号对于培养学生学习数学、学好数学，提高数学关键素养具有重要意义。因此，教师要善于挖掘教材，巧妙设计教学程序，让学生在活动中交流思路和自己的符号表征方法，拓展思维，发展能力。
教学四年级上册《简单的周期》一课，教师首先通过一首旋律优美的《小白船》的节奏“咚哒哒，咚哒哒，咚哒哒……”，引导学生发现其中隐藏的规律，从而揭示课题“找规律”。先出示问题：按照这样的规律排列下去，左起第11个字是谁？学生理解题意，有了如下个性化表征： 生 实物（汉字）表征：咚哒哒，咚哒哒，咚哒哒，咚哒。
生 图形表征：。
生 符号表征：11÷3=3（组）……2（个）。
在上述思考与探索过程中，学生经历“实物表征—图形表征—符号表征” 的过程，再通过寻找其中的规律，自然发现符号表征的优势。在这个过程中，学生不仅发现了符号的作用和优越性，还拉近了和数学符号的距离，感受了数学的魅力。也正如皮亚杰所说：思维首先是动作的一种形式，这种形式在发展过程中会分化、自组织，并且将作用方式精细化。
2.善运用，重积累。
符号具象是学生对数学符号的一种直觉感悟和敏感觉察，是一种积极的主动反应和心理倾向，需要学生在使用过程中有意识的体会和感悟，依赖学生自己长期经验的积累。符号具象更多地表现为以学生为主体的一种主动运用符号的意识，对数学符号不仅要懂，还要会用。单纯的符号推演训练和模仿记忆是无法提升符号意识的。因此，在教学中，教师要加以指导，为学生的“悟”铺平道路。教师要引导学生在解决问题的过程中，对问题解决的专业术语、关键词进行讲解和提取，培养学生对专业术语和关键词的特殊直觉和敏感，能够迅速提取数学信息，积累运用数学符号的数学经验，提升符号的应用意识。
如有这样一道题：
已知13个李子的重量等于2个苹果的重量和1个桃子的重量，而4个李子和1个苹果的重量等于1个桃子的重量。多少个李子和1个桃子一样重？
教师引导学生借助语言或符号表示题中的条件和问题：
13个李子=2个苹果+1个桃子……（1）
1个桃子=4个李子+1个苹果……（2）
将（2）式带入（1）式，（1）式变为：13个李子=2个苹果+4个李子+1个苹果→13个李子=3个苹果+4个李子→9个李子=3個苹果→3个李子=1个苹果，再根据（2）式得出：1个桃子=7个李子。
上述案例，借助抽象的语言或符号，层层推演，帮助学生轻松解决了看似复杂的问题，积累了运用数学符号解决问题的经验，提升了符号的应用意识。
有人把夸美纽斯所说的直观称为“感知直观”，“人在认识活动中对认知对象的整体把握称之为理智直观”。感知直观是理智直观的思维材料，理智直观是感知直观的结果，教学中不应该局限于对学生感知直观能力的培养，而应进一步发展学生的理智直观能力。具象思维是典型的“感知直观”，它使理智直观更轻松，同时理智直观也使思维的结果更简洁。新课程改革的核心理念是“为了中华民族的复兴，为了每一个学生的发展”，这一理念体现在教学实践中，就是教师要关注“每一个学生的发展”“让每一个学生都成为完整的人”，把促进每一个学生的个性发展为根本宗旨。我们应该努力强化感知直观，遵循学生“具象→形象→抽象→具象思维”的发展路径，让学生的思维伴随着愉悦的情感体验，让学生的思维品质与个体生命成长同步发展。
参考文献：
[1] 孟霞.关注“具象思维”，改进数学教学——以小学数学“图形与几何”教学为例[J].上海教育科研，2015（12）.
[2] 王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导·小学数学[M].北京：北京师范大学出版，2012.
[3] 覃可霖.试论写作活动中的具象思维[J].广西师范大学学报（哲学社会科学版），2012（1）.