论文部分内容阅读
双手互相摩擦,会感到手掌发热,用刨刀刨木头后,摸摸刨刀和模板接触的面,也会发觉它是热的,也许我们会想到钻木取火;流星和空气摩擦燃烧……根据这些具体事例,我们归纳出一条原理:物体间摩擦会生热……可以推想一般“物体”摩擦生热,这是一个从特殊到一般的认识过程,它是人们认识世界的一个重要思想方法,一般性存在于特殊性之中,因此,当我们要解决一个一般性问题时,可先分析这个问题的几个简单、特殊的情况,从中归纳,发现一般问题的规律,从而找到解决一般问题的途径,这样研究问题的方法是经验归纳法.而数学归纳法是解决关于自然数“n”的一种数学思想,是在经验归纳法的前提下进行递推,从而证明假设的正确性的一种思想方法。
数学归纳法的基础是这样一个公理:
如果某一自然数的集合M 含有1,而且含有自然数K+1,则集合M是所有自然数构成的集合。
理解这一公理是不难的,因为已知的M 含有1,把1看成K 则M含有K+1=2, 再把2看成K ,则M 含有3……这样递推下去M就含有一切自然数。
把这个公理应用于自然数有关的命题的证明,把使命题为真的自然数的集合看作M,我们就有如下的数学归纳法:
设P(n)是关于自然数n的的命题,若
(1)P(n)在n=1是成立:
(2)在P(k)(K是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对于一切自然数n都成立。
数学归纳法是根据自然数的数归原理而得到一种证明方法,第一步只是验证有使命题成立的自然数,因此不一定从1开始,也可以从Y开始,这里我们只研究从1开始的情况。
在使用数学归纳法时,首先要注意数学归纳法需要两步,这两步是缺一不可的,我们容易理解缺少第二步是不可以的,但是对于缺少第一步为什么不可以还缺乏感性认识,下面我们看这样一道例题,来说明缺少第一步是不可以的。
例1 用数学归纳法证明
1+3+5……+（2n-1）=n2+1
它显然是错误的，取n=1时，等式就不成立，既第一步不成立，但该命题对于数学归纳法的第二步却是成立的。因为由n=k时等式成立，能推得n=k+1时等式也成立。
既由
1+3+5……+（2k-1）=k2+1 （1）
可推得
1+3+5……+（2k-1）（2k+1）=（k+1）2+1（2）
因为在1的两端加上2k+1还是等式，从而有2成立。可见仅有第二步成立而没有第一步，就会出现荒谬的结论。
再次要注意第二步只是研究命题能否后推的问题，也就是由任意一个使命题成立的自然数都能推得它下一个自然数也使命题成立。因此k +1却不知其能否使命题成立，所以需要证明。至于假定k使命题成立是不是假的，如果没有第一步它可能是假的，而如果有了第一步它就不是假的，起码k可以等于1，这也正是不能缺少第一步的原因。因而通常把第一步叫做归纳基础，而把第二步的假定叫做归纳假设。
下面我们看一道用数学归纳法来解决的具体例题。
例2 设有2n个球分成许多堆，我们可以任意选甲乙 两堆来按以下规则挪动，若甲堆的球数p不少于乙堆的球数g，则从甲堆拿g个球放到乙堆里去，这样算是挪动一次。
证明：可以经过有限次挪动把所有的球合成一堆。
（分析）本题与自然数n有关，可是用数学归纳法证明。
证明：(1) 当n=1时，总共两个球，若成一堆则不必挪动，若成两堆，则每堆一个球，即p=g =1，那么挪动依次便会成一堆，故n=1时命题为真。
（2）设n=k(k≥2)当时命题为真，既2k个球分成许多堆，经过有限次挪动并成一堆，在归纳假设下，证明当n=k+1时，既有2k+1个球时命题为真。若把2k+1个球中的每两个球粘在一起，并把它看成一个新形的“球”这样便能化成2k个球的情况。但是2k+1个球分成若干堆，有的是偶数个（在这样的堆里，可把每两个球粘成一个新球）有的堆里有奇数个，这种情况通过有限次挪动变成所有的堆都是偶数个球。如能这样便可以化为 2k个新球的情况，而利用归纳假设来解决。
2k+1个球分成若干堆，各堆的球数有奇有偶，由于总数2k+1是偶数，所以有奇数个球的堆数必为偶数，对这些堆我们可以认为两两结合，每两队间挪动一次，则各堆都变成含有偶数个球我们的目的就达到了。
再者在使用数学归纳法时，应注意第一步与第二步不要脱节，通过下面这道例题我们便会深刻的认识到这一点。
例3 用数学归纳法证明
(1+2+3+……+n)(1+1[]2+1[]3+……+1[]n)≥n2
其中n为任意自然数。
证明：（1）当n=1时 左边=1右边=1 所以当n=1时命题成立。
（2） 假设当n=k时 命题成立，即
(1+2+3+……+k)(1+1[]2+1[]3+……+1[]k)≥k2 成立
由此得到
|［1+2+3+……+k+(k+1)］(1+1[]2+1[]3+……+1[]k+1[]k+1)|
=(1+2+3+……+k)+1[]k+1(1+2+3+……+k)(1+1[]2+1[]3+……+1[]k)+1
≥k2+1+1[]k+1∶k(k+1)[]2+(k+1)(1+1[]2)+1＞k2+k[]2+3k[]2+1+(k+1)2
故原命题成立，当n=k+1时也成立，因而对于一切自然数n都成立。
（分析）从表面看，原命题完全遵守数学归纳法证题的一般步骤，但仔细分析 就会发现在第二步证明中用到不等关系
1+1[]2+1[]3……+1[]k≥1+1[]2
这里已默认了k+2而不能允许k=1，所以第二步实际上只证明了若假定原式当n=2时成立，便可推出当n=3、4、5……时也成立，但是当n=2时原式是否成立呢？原证明并没有考虑这个问题仅仅在第一步中验证了原式n=1时成立，n=2的情况是个待填补的漏洞。
所以正确的是（1）在n=1成立的情况下，验证n=2的情况：或（2）n=k成立，注明k≥2 。因此在使用数学归纳法命题成立，推证n=k+1时也成立，而应注意字母k的含义，它应表示任意自然数，如果为了推证而必须对k的取值范围加上限制（如例3中k≥2），就要采取相应的补救措施，以免第二步与第一步脱节。
对于一些包含认识自然数的表达式的习惯写法 如：
1+2+3+……+n （1）
+1[]2+1[]3+……+1[]n （2）
(a+r)(a+2r)……(a+nr) （3）
等等，要弄清它们的意义，不要以为这样一写n就一定大于2、3 了，实际上：
（1）表示自然数列1、2、3……的前n顶和
（2）表示调和数列1•1[]2•1[]3的前n顶和
（3）表示等差数列的前n顶之积
在这些式子里n可以取1、2、3、4……任意值。
因此对于数学归纳法的内容，证题步骤及易产生错误的认识的方面，我们在证题过程中要给预充分的重视，尽量减少在这方面的错误发生，使数学归纳法可以更高效率的为我们服务。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
数学归纳法的基础是这样一个公理:
如果某一自然数的集合M 含有1,而且含有自然数K+1,则集合M是所有自然数构成的集合。
理解这一公理是不难的,因为已知的M 含有1,把1看成K 则M含有K+1=2, 再把2看成K ,则M 含有3……这样递推下去M就含有一切自然数。
把这个公理应用于自然数有关的命题的证明,把使命题为真的自然数的集合看作M,我们就有如下的数学归纳法:
设P(n)是关于自然数n的的命题,若
(1)P(n)在n=1是成立:
(2)在P(k)(K是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对于一切自然数n都成立。
数学归纳法是根据自然数的数归原理而得到一种证明方法,第一步只是验证有使命题成立的自然数,因此不一定从1开始,也可以从Y开始,这里我们只研究从1开始的情况。
在使用数学归纳法时,首先要注意数学归纳法需要两步,这两步是缺一不可的,我们容易理解缺少第二步是不可以的,但是对于缺少第一步为什么不可以还缺乏感性认识,下面我们看这样一道例题,来说明缺少第一步是不可以的。
例1 用数学归纳法证明
1+3+5……+（2n-1）=n2+1
它显然是错误的，取n=1时，等式就不成立，既第一步不成立，但该命题对于数学归纳法的第二步却是成立的。因为由n=k时等式成立，能推得n=k+1时等式也成立。
既由
1+3+5……+（2k-1）=k2+1 （1）
可推得
1+3+5……+（2k-1）（2k+1）=（k+1）2+1（2）
因为在1的两端加上2k+1还是等式，从而有2成立。可见仅有第二步成立而没有第一步，就会出现荒谬的结论。
再次要注意第二步只是研究命题能否后推的问题，也就是由任意一个使命题成立的自然数都能推得它下一个自然数也使命题成立。因此k +1却不知其能否使命题成立，所以需要证明。至于假定k使命题成立是不是假的，如果没有第一步它可能是假的，而如果有了第一步它就不是假的，起码k可以等于1，这也正是不能缺少第一步的原因。因而通常把第一步叫做归纳基础，而把第二步的假定叫做归纳假设。
下面我们看一道用数学归纳法来解决的具体例题。
例2 设有2n个球分成许多堆，我们可以任意选甲乙 两堆来按以下规则挪动，若甲堆的球数p不少于乙堆的球数g，则从甲堆拿g个球放到乙堆里去，这样算是挪动一次。
证明：可以经过有限次挪动把所有的球合成一堆。
（分析）本题与自然数n有关，可是用数学归纳法证明。
证明：(1) 当n=1时，总共两个球，若成一堆则不必挪动，若成两堆，则每堆一个球，即p=g =1，那么挪动依次便会成一堆，故n=1时命题为真。
（2）设n=k(k≥2)当时命题为真，既2k个球分成许多堆，经过有限次挪动并成一堆，在归纳假设下，证明当n=k+1时，既有2k+1个球时命题为真。若把2k+1个球中的每两个球粘在一起，并把它看成一个新形的“球”这样便能化成2k个球的情况。但是2k+1个球分成若干堆，有的是偶数个（在这样的堆里，可把每两个球粘成一个新球）有的堆里有奇数个，这种情况通过有限次挪动变成所有的堆都是偶数个球。如能这样便可以化为 2k个新球的情况，而利用归纳假设来解决。
2k+1个球分成若干堆，各堆的球数有奇有偶，由于总数2k+1是偶数，所以有奇数个球的堆数必为偶数，对这些堆我们可以认为两两结合，每两队间挪动一次，则各堆都变成含有偶数个球我们的目的就达到了。
再者在使用数学归纳法时，应注意第一步与第二步不要脱节，通过下面这道例题我们便会深刻的认识到这一点。
例3 用数学归纳法证明
(1+2+3+……+n)(1+1[]2+1[]3+……+1[]n)≥n2
其中n为任意自然数。
证明：（1）当n=1时 左边=1右边=1 所以当n=1时命题成立。
（2） 假设当n=k时 命题成立，即
(1+2+3+……+k)(1+1[]2+1[]3+……+1[]k)≥k2 成立
由此得到
|［1+2+3+……+k+(k+1)］(1+1[]2+1[]3+……+1[]k+1[]k+1)|
=(1+2+3+……+k)+1[]k+1(1+2+3+……+k)(1+1[]2+1[]3+……+1[]k)+1
≥k2+1+1[]k+1∶k(k+1)[]2+(k+1)(1+1[]2)+1＞k2+k[]2+3k[]2+1+(k+1)2
故原命题成立，当n=k+1时也成立，因而对于一切自然数n都成立。
（分析）从表面看，原命题完全遵守数学归纳法证题的一般步骤，但仔细分析 就会发现在第二步证明中用到不等关系
1+1[]2+1[]3……+1[]k≥1+1[]2
这里已默认了k+2而不能允许k=1，所以第二步实际上只证明了若假定原式当n=2时成立，便可推出当n=3、4、5……时也成立，但是当n=2时原式是否成立呢？原证明并没有考虑这个问题仅仅在第一步中验证了原式n=1时成立，n=2的情况是个待填补的漏洞。
所以正确的是（1）在n=1成立的情况下，验证n=2的情况：或（2）n=k成立，注明k≥2 。因此在使用数学归纳法命题成立，推证n=k+1时也成立，而应注意字母k的含义，它应表示任意自然数，如果为了推证而必须对k的取值范围加上限制（如例3中k≥2），就要采取相应的补救措施，以免第二步与第一步脱节。
对于一些包含认识自然数的表达式的习惯写法 如：
1+2+3+……+n （1）
+1[]2+1[]3+……+1[]n （2）
(a+r)(a+2r)……(a+nr) （3）
等等，要弄清它们的意义，不要以为这样一写n就一定大于2、3 了，实际上：
（1）表示自然数列1、2、3……的前n顶和
（2）表示调和数列1•1[]2•1[]3的前n顶和
（3）表示等差数列的前n顶之积
在这些式子里n可以取1、2、3、4……任意值。
因此对于数学归纳法的内容，证题步骤及易产生错误的认识的方面，我们在证题过程中要给预充分的重视，尽量减少在这方面的错误发生，使数学归纳法可以更高效率的为我们服务。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”