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数学思想方法是数学的灵魂。它是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识,也是解决数学问题的根本程序。新课程下,注重和加强数学思想方法教学是培养学生数学意识、形成良好思维品质的关键。初中数学学习阶段是数学思想方法深入学习、应用的阶段,在数学教学中具体实施数学思想方法应注意以下几个要点。
一、在概念教学中渗透数学思想方法
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映,人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识,再经过分析比较、抽象概括等一系列思维活动而抽取事物本身属性才形成概念。因此,概念教学不应只是简单地给出定义,而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。例如,绝对值概念的教学,初一代数是直接给出绝对值的描述性定义(正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零),学生往往无法透彻理解这一概念,只能生搬硬套。对此,我们可以用学过的数轴来揭示“绝对值”这个概念的内涵,从而使学生更透彻、更全面地理解这一概念。在教学中,可先让学生将0,3,-3,5,-5这些数字在数轴上表示出来,然后引导学生思考:(1)3与-3,5与-5有什么关系?(2)3到原点的距离与-3到原点的距离有什么关系?5到原点的距离与-5到原点的距离有什么关系?这样引出绝对值的概念后,再让学生自己归纳出绝对值的描述性定义,并再提出问题:绝对值等于7的数有几个?你能用数轴来说明吗?
上述方法教学,既能帮助学生学习绝对值的概念,又能渗透数形结合的数学思想方法,使数学知识易于理解、便于记忆、利于思考,这对学生后续学生中进一步解决有关绝对值方程和不等式问题,无疑是有益的。
再比如,负数的出现是学生的观念中数域扩张的又一次飞跃,学生可能有一些困惑,教学时可以列举大量生活实例,如:温度有零上5度,有零下5度;身高有比自己高1厘米,有比自己矮1厘米;上学有迟到5分钟,有提前5分钟;年龄有比自己大3个月,有比自己小3个月;等等。这些不能用一种数据清楚地描述出来,需要有另一种记数方式。这样就自然引出了负数。利用列举法引入陌生的概念,可以使学生不再有疑虑,可以增强他们学数学的愿望和信心,对他们养成良好的思维习惯也能起到重要作用。
二、在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法
著名数学家华罗庚说过,学习数学最好到数学家的纸篓里找材料,不要只看书上的结论。这就是说,对探索结论的过程中的数学思想方法学习,其重要性绝不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论,都是具体的判断,其形成大致分成两种情况:一是经过观察、分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想,而后再寻求逻辑证明;二是从理论推导出发得出结论。这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。因此,在定理公式的教学中,不要过早地给出结论,而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程,搞清其中的因果关系,领悟它与其他知识的关系,让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想方法。
例如,对于圆周角定理的教学,从度数关系的发现到证明体现了从特殊到一般、分类讨论、化归以及枚举归纳的数学思想方法。在教学中我们可以依次提出如下具有挑战性的问题让学生思考:(1)我们已经知道圆心角的度数定理,那么圆周角的度数是否与圆心角的度数存在某种关系?圆心角的顶点就是圆心,就圆心而言,它与圆周角的边的位置关系有几种可能?(2)让我们先考察特殊情况下二者之间有什么度量关系。(3)其他两种情况有必要重新证明吗?如何转化为前述的特殊情况给予证明?(4)上述证明是否完整?为什么?
显然,以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法,因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想方法应用上的教育和示范功能。又如证明勾股定理或乘法公式时,经常由图形面积的等积变形来实现,这是把数量关系问题转化为图形问题来解决的典型例子。与此相反,证明两直线垂直时,可通过勾股定理的逆定理来证明或由角的数量关系来证明,这是把图形关系问题转化为数量关系问题的典型例子。通过这两种转化方法的不断训练,学生才能不断体会到数形结合的精妙之处,才能把数学思想、方法、知识、技能融为一体,才能真正领悟数形结合的思想方法。
三、在问题解决过程中强化数学思想方法
许多教师在教学过程中常产生这样的困惑:题目讲得太少,学生总是停留在模仿型解题的水平上,只要条件稍稍一变则不知所措,学生一直不能形成较强的解决问题的能力,更谈不上创新能力。究其原因,教师在教学中仅仅是就题论题,不知道授之以“渔”比授之以“鱼”更重要。因此,在数学问题的探讨教学中,重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法,使学生从中掌握关于数学思想方法方面的知识,并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思想方法,逐步形成用数学思想方法指导思维活动的习惯,这样学生在遇到同类问题时才能胸有成竹,从容对待。如用化归思想把加减法统一成加法、将异分母分式转化为同分母分式、将多元方程组化为一元方程、将高次方程化为低次方程、将分式方程化为整式方程、将无理方程化为有理方程、将求负数立方根问题转化为求正数立方根问题、将钝角三角函数转化为锐角三角函数,等等,都充分体现了解题过程中隐含的数学思想方法。在问题解决的过程中,学生通过比较不同方法,可以体会到数学思想方法在解题中的重要作用,激发求知兴趣,加强对数学思想方法的认识。
四、在总结讨论中内化数学思想方法
数学思想方法贯穿于整个中学数学教学的过程中。要使学生把数学思想方法内化为自己的观点,并应用它去解决问题,就要教师把各种知识所表现出来的数学思想方法适时归纳总结出来。教师要把总结数学思想方法纳入教学计划,要有目的、有步骤地引导学生参与数学思想方法的提炼和概括过程。特别是章节复习时,在对知识复习的同时,应将统领知识的数学思想方法概括出来,增强学生对数学思想方法的应用意识,从而帮助学生更透彻地理解所学的知识,提高独立分析、解决问题的能力。初中数学各章节复习中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能。如:实数的分类;按角的大小和边的关系对三角形进行分类;求任意实数的绝对值分大于零、等于零、小于零三种情况讨论;把两个三角形的形状、大小关系揭示得较为清楚的方法,是把两个三角形分为相似与不相似两大类;等等。所有这些,充分体现了分类讨论的思想方法,有利于学生认识物质世界事物之间的联系与区别。
总之,要使学生真正具备个性化的数学思想方法,并不是一朝一夕能够实现的。它需要我们在教学中努力摸索,大胆实践,并持之以恒,寓数学思想方法于平时的教学中,这样学生对数学思想方法的认识就一定会日趋成熟,对数学思想方法的运用也才能真正领悟。
一、在概念教学中渗透数学思想方法
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映,人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识,再经过分析比较、抽象概括等一系列思维活动而抽取事物本身属性才形成概念。因此,概念教学不应只是简单地给出定义,而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。例如,绝对值概念的教学,初一代数是直接给出绝对值的描述性定义(正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是零),学生往往无法透彻理解这一概念,只能生搬硬套。对此,我们可以用学过的数轴来揭示“绝对值”这个概念的内涵,从而使学生更透彻、更全面地理解这一概念。在教学中,可先让学生将0,3,-3,5,-5这些数字在数轴上表示出来,然后引导学生思考:(1)3与-3,5与-5有什么关系?(2)3到原点的距离与-3到原点的距离有什么关系?5到原点的距离与-5到原点的距离有什么关系?这样引出绝对值的概念后,再让学生自己归纳出绝对值的描述性定义,并再提出问题:绝对值等于7的数有几个?你能用数轴来说明吗?
上述方法教学,既能帮助学生学习绝对值的概念,又能渗透数形结合的数学思想方法,使数学知识易于理解、便于记忆、利于思考,这对学生后续学生中进一步解决有关绝对值方程和不等式问题,无疑是有益的。
再比如,负数的出现是学生的观念中数域扩张的又一次飞跃,学生可能有一些困惑,教学时可以列举大量生活实例,如:温度有零上5度,有零下5度;身高有比自己高1厘米,有比自己矮1厘米;上学有迟到5分钟,有提前5分钟;年龄有比自己大3个月,有比自己小3个月;等等。这些不能用一种数据清楚地描述出来,需要有另一种记数方式。这样就自然引出了负数。利用列举法引入陌生的概念,可以使学生不再有疑虑,可以增强他们学数学的愿望和信心,对他们养成良好的思维习惯也能起到重要作用。
二、在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法
著名数学家华罗庚说过,学习数学最好到数学家的纸篓里找材料,不要只看书上的结论。这就是说,对探索结论的过程中的数学思想方法学习,其重要性绝不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论,都是具体的判断,其形成大致分成两种情况:一是经过观察、分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想,而后再寻求逻辑证明;二是从理论推导出发得出结论。这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。因此,在定理公式的教学中,不要过早地给出结论,而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程,搞清其中的因果关系,领悟它与其他知识的关系,让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想方法。
例如,对于圆周角定理的教学,从度数关系的发现到证明体现了从特殊到一般、分类讨论、化归以及枚举归纳的数学思想方法。在教学中我们可以依次提出如下具有挑战性的问题让学生思考:(1)我们已经知道圆心角的度数定理,那么圆周角的度数是否与圆心角的度数存在某种关系?圆心角的顶点就是圆心,就圆心而言,它与圆周角的边的位置关系有几种可能?(2)让我们先考察特殊情况下二者之间有什么度量关系。(3)其他两种情况有必要重新证明吗?如何转化为前述的特殊情况给予证明?(4)上述证明是否完整?为什么?
显然,以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法,因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想方法应用上的教育和示范功能。又如证明勾股定理或乘法公式时,经常由图形面积的等积变形来实现,这是把数量关系问题转化为图形问题来解决的典型例子。与此相反,证明两直线垂直时,可通过勾股定理的逆定理来证明或由角的数量关系来证明,这是把图形关系问题转化为数量关系问题的典型例子。通过这两种转化方法的不断训练,学生才能不断体会到数形结合的精妙之处,才能把数学思想、方法、知识、技能融为一体,才能真正领悟数形结合的思想方法。
三、在问题解决过程中强化数学思想方法
许多教师在教学过程中常产生这样的困惑:题目讲得太少,学生总是停留在模仿型解题的水平上,只要条件稍稍一变则不知所措,学生一直不能形成较强的解决问题的能力,更谈不上创新能力。究其原因,教师在教学中仅仅是就题论题,不知道授之以“渔”比授之以“鱼”更重要。因此,在数学问题的探讨教学中,重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法,使学生从中掌握关于数学思想方法方面的知识,并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思想方法,逐步形成用数学思想方法指导思维活动的习惯,这样学生在遇到同类问题时才能胸有成竹,从容对待。如用化归思想把加减法统一成加法、将异分母分式转化为同分母分式、将多元方程组化为一元方程、将高次方程化为低次方程、将分式方程化为整式方程、将无理方程化为有理方程、将求负数立方根问题转化为求正数立方根问题、将钝角三角函数转化为锐角三角函数,等等,都充分体现了解题过程中隐含的数学思想方法。在问题解决的过程中,学生通过比较不同方法,可以体会到数学思想方法在解题中的重要作用,激发求知兴趣,加强对数学思想方法的认识。
四、在总结讨论中内化数学思想方法
数学思想方法贯穿于整个中学数学教学的过程中。要使学生把数学思想方法内化为自己的观点,并应用它去解决问题,就要教师把各种知识所表现出来的数学思想方法适时归纳总结出来。教师要把总结数学思想方法纳入教学计划,要有目的、有步骤地引导学生参与数学思想方法的提炼和概括过程。特别是章节复习时,在对知识复习的同时,应将统领知识的数学思想方法概括出来,增强学生对数学思想方法的应用意识,从而帮助学生更透彻地理解所学的知识,提高独立分析、解决问题的能力。初中数学各章节复习中有许多体现“分类讨论”思想的知识和技能。如:实数的分类;按角的大小和边的关系对三角形进行分类;求任意实数的绝对值分大于零、等于零、小于零三种情况讨论;把两个三角形的形状、大小关系揭示得较为清楚的方法,是把两个三角形分为相似与不相似两大类;等等。所有这些,充分体现了分类讨论的思想方法,有利于学生认识物质世界事物之间的联系与区别。
总之,要使学生真正具备个性化的数学思想方法,并不是一朝一夕能够实现的。它需要我们在教学中努力摸索,大胆实践,并持之以恒,寓数学思想方法于平时的教学中,这样学生对数学思想方法的认识就一定会日趋成熟,对数学思想方法的运用也才能真正领悟。