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在江苏新高考中，坐标系与参数方程出现在附加题的选做题中，由于此题难度不大，往往成为考生们的首选.有关这一内容在高考中出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题和位置关系的判定.
一、要点回顾
1.极坐标
平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则有x=ρcosθ
y=ρsinθ和ρ2=x2+y2
tanθ=yx这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由.注意在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ<0时，点M（ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=|ρ|.M（ρ，θ）也可以表示为（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+（2k+1）π）（k∈Z）.
2.参数方程
参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x，y）；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程.求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显时关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t做参数，与旋转有关的问题选取角θ做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等.
参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数.三角法：利用三角恒等式消去参数.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为F（x，y）=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围.
常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义.在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
二、题型探究
1.求曲线的极坐标方程或点的极坐标
例1（1）求在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程.
（2）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2），求曲线C1与C2交点的极坐标.
分析：（1）把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程.（2）直接解方程组.
解：（1）由题意可知圆的标准方程为（x-3）2+y2=9，圆心是（3，0），
所求直线标准方程x=3，则坐标方程为ρcosθ=3.
（2）联立解方程组ρcosθ=3
ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2）解得ρ=23
θ=π6，即两曲线的交点为（23，π6）.
评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解.当然也可以转化为普通方程解答.
2.由极坐标求最值
例2在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.
分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出.也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答.
解法一：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，在圆x2+y2=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则点A到直线的距离为d=|3cosα+33sinα-2|2=|6sin（α+30°）-2|2，它的最大值为4.
解法二：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4.
评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想.
3.用参数方程研究两曲线的位置关系
例3求直线x=1+2t
y=1-2t，（t为参数）被圆x=3cosα
y=3sinα，（α为参数）截得的弦长.
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长.
解：把直线方程x=1+2t，
y=1-2t，化为普通方程为x+y=2.将圆x=3cosα，
y=3sinα，化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d=22=2，弦长L=2R2-d2=29-2=27.
所以直线x=1+2t，
y=1-2t，被圆x=3cosα，
y=3sinα，截得的弦长为27.
评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参. 4.用参数方程求最值
例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.
分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.
解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ
y=sinφ （φ为参数），
故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.
因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）
所以，当φ=π6时，S取最大值2.
评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.
5.极坐标方程与参数方程的混合
例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1
y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.
分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.
解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1
y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.
评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.
例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t
y=22t（t为参数，t∈R）.
（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.
分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.
解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.
（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，
点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.
评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ
y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.
三、巩固练习
1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.
（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.
解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.
（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.
2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，
y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.
解：直线的参数方程为x=-3+32s，
y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，
y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.
3.求直线x=1+4t
y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.
解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，
由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.
（作者：薛秋，江苏省太仓高级中学）
一、要点回顾
1.极坐标
平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则有x=ρcosθ
y=ρsinθ和ρ2=x2+y2
tanθ=yx这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由.注意在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ<0时，点M（ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=|ρ|.M（ρ，θ）也可以表示为（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+（2k+1）π）（k∈Z）.
2.参数方程
参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x，y）；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程.求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显时关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t做参数，与旋转有关的问题选取角θ做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等.
参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数.三角法：利用三角恒等式消去参数.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为F（x，y）=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围.
常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义.在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
二、题型探究
1.求曲线的极坐标方程或点的极坐标
例1（1）求在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程.
（2）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2），求曲线C1与C2交点的极坐标.
分析：（1）把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程.（2）直接解方程组.
解：（1）由题意可知圆的标准方程为（x-3）2+y2=9，圆心是（3，0），
所求直线标准方程x=3，则坐标方程为ρcosθ=3.
（2）联立解方程组ρcosθ=3
ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2）解得ρ=23
θ=π6，即两曲线的交点为（23，π6）.
评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解.当然也可以转化为普通方程解答.
2.由极坐标求最值
例2在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.
分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出.也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答.
解法一：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，在圆x2+y2=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则点A到直线的距离为d=|3cosα+33sinα-2|2=|6sin（α+30°）-2|2，它的最大值为4.
解法二：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4.
评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想.
3.用参数方程研究两曲线的位置关系
例3求直线x=1+2t
y=1-2t，（t为参数）被圆x=3cosα
y=3sinα，（α为参数）截得的弦长.
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长.
解：把直线方程x=1+2t，
y=1-2t，化为普通方程为x+y=2.将圆x=3cosα，
y=3sinα，化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d=22=2，弦长L=2R2-d2=29-2=27.
所以直线x=1+2t，
y=1-2t，被圆x=3cosα，
y=3sinα，截得的弦长为27.
评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参. 4.用参数方程求最值
例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.
分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.
解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ
y=sinφ （φ为参数），
故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.
因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）
所以，当φ=π6时，S取最大值2.
评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.
5.极坐标方程与参数方程的混合
例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1
y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.
分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.
解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1
y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.
评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.
例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t
y=22t（t为参数，t∈R）.
（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.
分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.
解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.
（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，
点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.
评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ
y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.
三、巩固练习
1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.
（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.
解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.
（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.
2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，
y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.
解：直线的参数方程为x=-3+32s，
y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，
y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.
3.求直线x=1+4t
y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.
解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，
由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.
（作者：薛秋，江苏省太仓高级中学）