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【摘要】构造函数法是构造法与函数思想共同作用的结果，是指在解题中利用已知条件和函数的一般性质、特殊性质构造出满足条件的函数对象，使问题得以解决的方法。构造函数法的教学立足函数的一般性质和特殊性质实施样例学习，引导学生有意识地辨别构造函数所依据的不同函数性质，基于函数的一个性质或多个性质设计变式练习，促进方法的迁移。
【关键词】样例学习；函数性质；变式练习
史宁中教授将数学思想进行了概括，提出了三种数学基本思想，即抽象、推理和模型[1]。模型思想作为高度概括的数学基本思想之一，又包括方程思想、不等式思想和函数思想等，是具体的数学方法在不断总结、概括的过程中形成的。因此，方程思想、不等式思想和函数思想是下位于模型思想的策略，这些数学思想的形成离不开具有可操作性的数学方法。从具体的数学方法到数学基本思想的升华，是数学认知策略不断发展的结果。将数学基本思想还原到具体的数学方法，则有助于探求更为具体的解题路径。
构造法是涉及一些具有程序、步骤、路径的可操作的“方法”，是在解题中利用已知条件和相关数学知识，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，使问题的结论得以肯定、否定或转化，从而使数学问题得以解决的一种方法[2]。构造法与不同数学思想方法的共同作用可以得到更为具体的数学方法，如构造函数法是构造法与函数思想共同作用的结果，构造反例法是构造法与演绎推理共同作用的结果，构造对应关系法是构造法与对应思想相互作用的结果，构造图形法是构造法与数形结合思想共同作用的结果。因此，构造函数法、构造反例法、构造对应关系法、构造图形法等数学方法具有更为直接的可操作性，同时反映了数学的某些思想。本文就如何实施构造函数法的教学进行论述。
我们对构造函数法的认识建立在对函数思想认识的基础之上。函数思想是形成数学模型思想的典型样例和归纳基础[3]，是指用函数的概念和性质分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。这里提到的函数性质包括函数的单调性、奇偶性、周期性、凹凸性等函数的一般性质，以及一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体特性。那么，构造函数法则是指在解题中利用已知条件和函数的一般性质和特殊性质构造出满足条件的函数对象，使问题得以解决的方法。这就决定了构造函数法的学习与教学也要围绕函数的性质展开。
三、基于函数的一个性质或多个性质设计变式练习，促进方法的迁移
学习数学方法的最终目的是形成上位于数学方法的数学思想，这既包括重复性的演练与反馈，还包括促进迁移的变式练习。变式练习的设计可以围绕函数的性质展开。以二次函数的性质为例，已知二次函数的开口方向和函数值的性质符号，判断其与x轴的交点个数，则能够确定判别式的性质符号；反之，已知二次方程判别式的性质符号，也可以确定其所对应的二次函数与x轴的交点个数，从而为判断函数值的情况提供依据。如前文提及的题目“设a1，a2，…，an都是正数，证明对任意正整数n，不等式（a1+a2+…+an）2≤n（a21+a22+…+a2n）成立”，构造了开口向上、函数值恒非负的二次函数。根据二次函数的特殊性质，这样的函数与x轴至多有一个交点，从而得到其所对应的一元二次方程的判别式非正。类似地，教师可以设计如下变式：构造与x轴有两个交点的二次函数，则能够证明其对应的一元二次方程的判别式恒为正；構造开口向上、与x轴有且只有一个交点的二次函数，则能够证明函数的值非负。
变式练习的设计还可以与函数的其他性质结合、层层递进。如已知f（x）=x5+ax3+bx，且f（-2）=10，求f（2）。其中f（-2）与f（2）是自变量互为相反数的函数值，这对于存在奇偶性的函数f（x）来说是易解的。基于此给出变式1：已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=10，求f（2）。变式1与上一题的区别在于函数f（x）中的一部分x5+ax3+bx存在奇偶性，另一部分-8为常数项。构造奇函数g（x）=x5+ax3+bx，将原函数转化为f（x）=g（x）-8，借助g（-2）与g（2）的关系搭建f（-2）与f（2）的桥梁。在变式1的基础之上，给出变式2：已知f（x）=asin2x+btanx+1，且f（-2）=4，求f（2+π）。变式2与变式1的区别是，既要考虑函数的奇偶性，还要考虑函数的周期性。sin2x和tanx暗示了f（x）是周期为π的函数。
运用构造函数法解题是一种充分发挥创造性的思维活动。构造函数法的学习需要借助对问题的敏锐观察，构造新的函数对象，使问题得以有效转化甚至简化，从而更好地解决问题。构造函数法的教学立足函数的一般性质和特殊性质实施样例学习。教师引导学生有意识地辨别构造函数所依据的不同函数性质，基于函数的一个性质或多个性质设计变式练习，促进方法的迁移。单纯以运用数学方法为目的的学习是把数学方法当作规则的学习行为，即把数学方法的习得视为规则程序化的过程，这并不利于数学方法的深入理解和迁移的形成。为了促进函数思想、模型思想等上位概念的习得，应当把数学方法当作认知策略的学习，其习得是长期的过程，需要学习者经历暗含数学思想方法的阶段和明确数学思想方法的阶段，最终达到应用数学思想方法的阶段。
参考文献：
[1]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011（7）：9-11.
[2]徐秋丽.浅谈构造法在数学中的应用[J].长春师范学院学报，2004（4）：118-121.
[3]吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报，2014（3）：11-15.
【关键词】样例学习；函数性质；变式练习
史宁中教授将数学思想进行了概括，提出了三种数学基本思想，即抽象、推理和模型[1]。模型思想作为高度概括的数学基本思想之一，又包括方程思想、不等式思想和函数思想等，是具体的数学方法在不断总结、概括的过程中形成的。因此，方程思想、不等式思想和函数思想是下位于模型思想的策略，这些数学思想的形成离不开具有可操作性的数学方法。从具体的数学方法到数学基本思想的升华，是数学认知策略不断发展的结果。将数学基本思想还原到具体的数学方法，则有助于探求更为具体的解题路径。
构造法是涉及一些具有程序、步骤、路径的可操作的“方法”，是在解题中利用已知条件和相关数学知识，通过观察、联想，构造出满足条件的数学对象，使问题的结论得以肯定、否定或转化，从而使数学问题得以解决的一种方法[2]。构造法与不同数学思想方法的共同作用可以得到更为具体的数学方法，如构造函数法是构造法与函数思想共同作用的结果，构造反例法是构造法与演绎推理共同作用的结果，构造对应关系法是构造法与对应思想相互作用的结果，构造图形法是构造法与数形结合思想共同作用的结果。因此，构造函数法、构造反例法、构造对应关系法、构造图形法等数学方法具有更为直接的可操作性，同时反映了数学的某些思想。本文就如何实施构造函数法的教学进行论述。
我们对构造函数法的认识建立在对函数思想认识的基础之上。函数思想是形成数学模型思想的典型样例和归纳基础[3]，是指用函数的概念和性质分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。这里提到的函数性质包括函数的单调性、奇偶性、周期性、凹凸性等函数的一般性质，以及一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等具体特性。那么，构造函数法则是指在解题中利用已知条件和函数的一般性质和特殊性质构造出满足条件的函数对象，使问题得以解决的方法。这就决定了构造函数法的学习与教学也要围绕函数的性质展开。
三、基于函数的一个性质或多个性质设计变式练习，促进方法的迁移
学习数学方法的最终目的是形成上位于数学方法的数学思想，这既包括重复性的演练与反馈，还包括促进迁移的变式练习。变式练习的设计可以围绕函数的性质展开。以二次函数的性质为例，已知二次函数的开口方向和函数值的性质符号，判断其与x轴的交点个数，则能够确定判别式的性质符号；反之，已知二次方程判别式的性质符号，也可以确定其所对应的二次函数与x轴的交点个数，从而为判断函数值的情况提供依据。如前文提及的题目“设a1，a2，…，an都是正数，证明对任意正整数n，不等式（a1+a2+…+an）2≤n（a21+a22+…+a2n）成立”，构造了开口向上、函数值恒非负的二次函数。根据二次函数的特殊性质，这样的函数与x轴至多有一个交点，从而得到其所对应的一元二次方程的判别式非正。类似地，教师可以设计如下变式：构造与x轴有两个交点的二次函数，则能够证明其对应的一元二次方程的判别式恒为正；構造开口向上、与x轴有且只有一个交点的二次函数，则能够证明函数的值非负。
变式练习的设计还可以与函数的其他性质结合、层层递进。如已知f（x）=x5+ax3+bx，且f（-2）=10，求f（2）。其中f（-2）与f（2）是自变量互为相反数的函数值，这对于存在奇偶性的函数f（x）来说是易解的。基于此给出变式1：已知f（x）=x5+ax3+bx-8，且f（-2）=10，求f（2）。变式1与上一题的区别在于函数f（x）中的一部分x5+ax3+bx存在奇偶性，另一部分-8为常数项。构造奇函数g（x）=x5+ax3+bx，将原函数转化为f（x）=g（x）-8，借助g（-2）与g（2）的关系搭建f（-2）与f（2）的桥梁。在变式1的基础之上，给出变式2：已知f（x）=asin2x+btanx+1，且f（-2）=4，求f（2+π）。变式2与变式1的区别是，既要考虑函数的奇偶性，还要考虑函数的周期性。sin2x和tanx暗示了f（x）是周期为π的函数。
运用构造函数法解题是一种充分发挥创造性的思维活动。构造函数法的学习需要借助对问题的敏锐观察，构造新的函数对象，使问题得以有效转化甚至简化，从而更好地解决问题。构造函数法的教学立足函数的一般性质和特殊性质实施样例学习。教师引导学生有意识地辨别构造函数所依据的不同函数性质，基于函数的一个性质或多个性质设计变式练习，促进方法的迁移。单纯以运用数学方法为目的的学习是把数学方法当作规则的学习行为，即把数学方法的习得视为规则程序化的过程，这并不利于数学方法的深入理解和迁移的形成。为了促进函数思想、模型思想等上位概念的习得，应当把数学方法当作认知策略的学习，其习得是长期的过程，需要学习者经历暗含数学思想方法的阶段和明确数学思想方法的阶段，最终达到应用数学思想方法的阶段。
参考文献：
[1]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011（7）：9-11.
[2]徐秋丽.浅谈构造法在数学中的应用[J].长春师范学院学报，2004（4）：118-121.
[3]吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报，2014（3）：11-15.