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《数学课程标准》中的“空间与图形”领域非常重视培养学生主动参与、积极思维、发现问题和解决问题的能力，提倡学生在操作中感受和体验数学知识的形成与发展. 数学课上的折纸是学习意义上的折纸，是一种特殊的学习活动，能够为学生营造一个手脑并用的学习环境，同时在折纸过程中能够激发学生非认知因素的培养，并且在积极主动的操作中提升思考和获得发展.
探究“角平分线的性质”的教学设计
1. 教材分析
之前学生已经学习了角平分线的概念以及三角形全等，角平分线的性质则是全等三角形知识的延续. 同时，此节内容为之后学习角平分线的判定以及圆作铺垫. 因此，本节内容起到了承上启下的作用.
2. 学情分析
学生已经基本掌握角平分线的概念以及三角形全等的判定，具备了一定的观察、操作、猜想能力，但归纳与运用数学意识的思想、思维的灵活性还比较欠缺.
3. 教学目标分析
知识与技能：掌握角平分线性质的内容；理解并掌握角平分线性质的推导过程及折叠方法；能够运用角平分线的性质解决相关数学问题.
过程与方法：通过对角平分线性质的探究，培养学生的逻辑推理能力和动手操作能力.
情感态度与价值观：在折叠和计算的过程中体验获得成功的乐趣.
4. 重难点分析
重点：角平分线的折叠方法及性质的发现.
难点：角平分线性质的证明.
5. 教学方法
合作式探究
6. 教学过程设计
【创设情境，引入新课】
活动一——
师：请同学们拿出一张A4纸，在四个顶点处标记A，B，C，D，过顶点B任意折一条直线BE，沿BE将三角形ABE剪下（图1）. 观察剩下的梯形，我们不使用任何工具，请同学们探索怎样将∠EBC分成两个相等的角.
学生行为：通过折叠探索、发现，只要将BE与BC对折重合即可，如图2.
设计意图 直角具有特殊性，我们选取一般角来探索角平分线的折叠方法.
师：通过折叠我们得到了一条折痕BF，同学们思考一下折痕BF与∠EBC有什么样的关系.
学生行为：折痕BF是∠EBC的角平分线.
师：为什么呢？
学生行为：根据角平分线的定义可知.
设计意图 通过折纸问题引入，复习角平分线的定义，同时为接下来探索角平分线的性质作铺垫.
【新课探究】
活动二——
师：我们继续折叠. 在刚才折叠的基础上（在折叠状态，未展开），将BC自身重合对折（点B与点C重合），观察折叠后的展开图，你发现了什么？
学生行为：学生与教师一起讨论并总结.
师：我们通过探索归纳发现：纸上又多了两条折痕，设为GH和GI（如图3），两条折痕相交于点G，并且点G在角平分线BF上；观察折痕与边的关系，我们得到GI⊥BC，GH⊥BE；观察两条折痕，我们可以发现GI=GH.
设计意图 创设情境，探索、发现角平分线的性质.
师：也就是说，角平分线上的这个点G到两边的距离相等. 那我们猜想，是不是角平分线上任意一点到两边的距离都相等呢？同学们在BF上再取一点试试看.
学生行为：通过再次折叠证明猜想的正确性.
设计意图 通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论. 教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间.
师：我们通过折纸探索发现，角平分线上任意一点到角两边的距离相等. 那么，能够运用严格的数学证明来验证我们的猜想GI=GH吗？有谁愿意来挑战一下？
学生行为：有学生能够想到，于是邀请这部分学生说出已知和求证，并讲一讲证明方法.
教师和学生一起来书写. 已知：在四边形EBCD中，BF是∠EBC的平分线，点G在BF上，且GI⊥BC，GH⊥BE，垂足分别为I，H，求证：GI=GH.
学生活动：学生根据教师的分析，写出规范的证明过程.
师：我们一起来总结并给出证明几何命题的一般步骤，即（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
设计意图 通过和学生一起推理证明，在此过程中培养学生的数学抽象概括能力和数学探究精神.
【练习巩固】
如图4，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
设计意图 通过学生对角平分线知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题，解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力.
【课堂小结】
我们都知道哲学上有三大终极问题：“你是谁？”“你从哪里来？”“你要到哪里去？”对照本节课的内容，我们已经知道角平分线的性质“是什么”，通过折纸和嚴格的数学证明知道它“从哪儿来”，通过课后练习以及后面的课程，同学们终会知道它又要“到哪里去”. 最后给大家一点思考：我们已经得到角平分线的性质，那么反过来想一想，到角两边距离相等的点在不在角平分线上？即逆定理是否存在呢？能否通过折纸的方法和三角形全等的方法尝试呢？
【评价与作业】
课本课后练习，附角平分线性质的逆命题的折纸探究.
师：拿出一张三角形纸片，三个顶点处标记A，B，C，将三角形ABC的边AC与AB重合对折，得到点C的对应点E，折痕为AD，则AD是∠BAC的平分线（图5）. 继续折叠，在第一步折叠的基础上，在边AE上取一点F，过点F将AE自身重合对折，也就是折AE的垂线（图6），打开纸片（图7），你发现了什么？ 学生活动：通过折叠发现，折AE的垂线时，折痕一定与AD相交，说明到角两边距离相等的点一定在角的平分线上.
设计意图 通过折纸活动培养学生对图形的观察能力，体验发现的乐趣.
如何培养学生的非认知因素
在教学过程中，影响学生学习的原因是多方面的，而影响学生学习的心理因素主要有认知因素和非认知因素. 认知因素指的是人的感觉、知觉、注意、记忆、言语和思维等心理过程. 非认知因素，包括动机、兴趣、情感、意志等因素，在数学教学中起着导向、调节、维持和激励的作用，对数学学习也有着重要影响.
折纸作为一种教学工具用于日常的数学教学活动当中，充分利用非认知因素来激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣，调整学生的学习情感，锻造学生的学习意志，可有效地解决学习基础薄弱与学习兴趣缺乏的问题. 因此，下面笔者将从本节课的角度出发，浅析如何真正培养学生的非认知因素.
1. 兴趣
奥苏泊尔认为，兴趣是一种认知的驱动力，即一种要求了解和理解的需要，要求掌握知识的需要，要求阐述问题和解决问题的需要. 两千多年前，孔子也提出“知之者不如好知者，好知者不如乐知者”. 学生只有对所学学科产生足够的兴趣，才能在学习过程中克服困难，提高自身学习效率. 因此，通过对本节课的思考总结，教师可以通过以下几个方面激发学生的学习兴趣.
（1）创设情境，以保持课堂教学的生动性、趣味性
本堂课以折纸作为教学工具，通过探究折纸问题调动学生的积极性，唤起他们的参与意识. 同时，让学生参与实践操作，利用自制教具优化课堂结构，以激发学生的学习兴趣.
（2）鼓励质疑，稳定学习兴趣
前半堂课的折纸活动能激发学生的学习热情，但是在后半节课的验证、猜想阶段，学生的兴趣和热情如何保持是我们需要思考的. 因此，教师可以根据教学内容设置悬念，引起学生认知上的矛盾与冲突，从而激起学生要求解疑的心理需求.
（3）上好数学课外活动课，激活学生的求知欲
学生数学学习兴趣的养成，单凭一节简单的折纸课是远远不够的，我们可以根据教材的提示與要求，利用课余时间开展数学兴趣小组活动，拓宽学生的知识面，发展他们的个性特点和创造力.
2. 动机
动机对学习具有推动和目标导向作用.
沈德立确定了两种与学习活动密切相关的动机因素. 一种是成就动机，数学学习应该是一种主动参与、积极思维、发现问题和解决问题的活动或有价值的工作，不但愿意去做，而且能够达到完美地步的一种内在推动力量. 即由成就需要转化而来的动机. 另外一种是交往动机，指一种需要与人亲近的内在动力. 这种动机在学习上表现为：学生愿意为他所喜欢的老师努力学习，因受到赞扬而认真学习，或因受到责备、挫伤自信心和自尊心而影响学习.
本节课营造的是一种探究式课堂，通过折纸活动，让所有学生都参与进来，在思考探究过程中培养学生的成就动机. 同时，通过教师和学生在学习过程中不断地沟通、交流，培养学生的交往动机.
3. 情感
数学学习情感是数学学习是否满足学习者自身求知欲需要的一种情感体验. 本堂课以折纸活动为出发点，充分考虑基础差的学生. 同时，在师生交流互动的过程中，教师要善于理解和引导学生在课堂上的情绪反应以发展学生的积极情感；对学生的消极情绪置之不理或给予压抑性的批评，会加深学生的消极情绪.
4. 习惯
心理学研究和实践表明，自由、宽松、安全的气氛可以使人的智慧充分发挥. 对于本堂课的教学设计，教师努力营造自由和谐的气氛，使学生积极主动地参与到折纸活动中，积极探索. 同时，本节课将角平分线性质的推导过程充分揭示出来，培养了学生创新思维的习惯.
皮亚杰指出：“传统教学的缺点，就在于往往用口头讲解，而不是从实际操作开始数学教学. ”我们不能让学生始终觉得数学是无用的、枯燥乏味的、抽象难懂的，这样不仅对学生本身的数学学习具有消极影响，而且这种影响会持续到学生的下一代身上. 可以说，折纸作为一种教学工具运用于中学数学课堂，能够把作为教育任务的数学以大众乐于接受的形态教给学生，同时给学生营造一个手脑并用的学习环境，促进学生学习过程中非认知因素的培养.
探究“角平分线的性质”的教学设计
1. 教材分析
之前学生已经学习了角平分线的概念以及三角形全等，角平分线的性质则是全等三角形知识的延续. 同时，此节内容为之后学习角平分线的判定以及圆作铺垫. 因此，本节内容起到了承上启下的作用.
2. 学情分析
学生已经基本掌握角平分线的概念以及三角形全等的判定，具备了一定的观察、操作、猜想能力，但归纳与运用数学意识的思想、思维的灵活性还比较欠缺.
3. 教学目标分析
知识与技能：掌握角平分线性质的内容；理解并掌握角平分线性质的推导过程及折叠方法；能够运用角平分线的性质解决相关数学问题.
过程与方法：通过对角平分线性质的探究，培养学生的逻辑推理能力和动手操作能力.
情感态度与价值观：在折叠和计算的过程中体验获得成功的乐趣.
4. 重难点分析
重点：角平分线的折叠方法及性质的发现.
难点：角平分线性质的证明.
5. 教学方法
合作式探究
6. 教学过程设计
【创设情境，引入新课】
活动一——
师：请同学们拿出一张A4纸，在四个顶点处标记A，B，C，D，过顶点B任意折一条直线BE，沿BE将三角形ABE剪下（图1）. 观察剩下的梯形，我们不使用任何工具，请同学们探索怎样将∠EBC分成两个相等的角.
学生行为：通过折叠探索、发现，只要将BE与BC对折重合即可，如图2.
设计意图 直角具有特殊性，我们选取一般角来探索角平分线的折叠方法.
师：通过折叠我们得到了一条折痕BF，同学们思考一下折痕BF与∠EBC有什么样的关系.
学生行为：折痕BF是∠EBC的角平分线.
师：为什么呢？
学生行为：根据角平分线的定义可知.
设计意图 通过折纸问题引入，复习角平分线的定义，同时为接下来探索角平分线的性质作铺垫.
【新课探究】
活动二——
师：我们继续折叠. 在刚才折叠的基础上（在折叠状态，未展开），将BC自身重合对折（点B与点C重合），观察折叠后的展开图，你发现了什么？
学生行为：学生与教师一起讨论并总结.
师：我们通过探索归纳发现：纸上又多了两条折痕，设为GH和GI（如图3），两条折痕相交于点G，并且点G在角平分线BF上；观察折痕与边的关系，我们得到GI⊥BC，GH⊥BE；观察两条折痕，我们可以发现GI=GH.
设计意图 创设情境，探索、发现角平分线的性质.
师：也就是说，角平分线上的这个点G到两边的距离相等. 那我们猜想，是不是角平分线上任意一点到两边的距离都相等呢？同学们在BF上再取一点试试看.
学生行为：通过再次折叠证明猜想的正确性.
设计意图 通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论. 教师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间.
师：我们通过折纸探索发现，角平分线上任意一点到角两边的距离相等. 那么，能够运用严格的数学证明来验证我们的猜想GI=GH吗？有谁愿意来挑战一下？
学生行为：有学生能够想到，于是邀请这部分学生说出已知和求证，并讲一讲证明方法.
教师和学生一起来书写. 已知：在四边形EBCD中，BF是∠EBC的平分线，点G在BF上，且GI⊥BC，GH⊥BE，垂足分别为I，H，求证：GI=GH.
学生活动：学生根据教师的分析，写出规范的证明过程.
师：我们一起来总结并给出证明几何命题的一般步骤，即（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
设计意图 通过和学生一起推理证明，在此过程中培养学生的数学抽象概括能力和数学探究精神.
【练习巩固】
如图4，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
设计意图 通过学生对角平分线知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题，解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力.
【课堂小结】
我们都知道哲学上有三大终极问题：“你是谁？”“你从哪里来？”“你要到哪里去？”对照本节课的内容，我们已经知道角平分线的性质“是什么”，通过折纸和嚴格的数学证明知道它“从哪儿来”，通过课后练习以及后面的课程，同学们终会知道它又要“到哪里去”. 最后给大家一点思考：我们已经得到角平分线的性质，那么反过来想一想，到角两边距离相等的点在不在角平分线上？即逆定理是否存在呢？能否通过折纸的方法和三角形全等的方法尝试呢？
【评价与作业】
课本课后练习，附角平分线性质的逆命题的折纸探究.
师：拿出一张三角形纸片，三个顶点处标记A，B，C，将三角形ABC的边AC与AB重合对折，得到点C的对应点E，折痕为AD，则AD是∠BAC的平分线（图5）. 继续折叠，在第一步折叠的基础上，在边AE上取一点F，过点F将AE自身重合对折，也就是折AE的垂线（图6），打开纸片（图7），你发现了什么？ 学生活动：通过折叠发现，折AE的垂线时，折痕一定与AD相交，说明到角两边距离相等的点一定在角的平分线上.
设计意图 通过折纸活动培养学生对图形的观察能力，体验发现的乐趣.
如何培养学生的非认知因素
在教学过程中，影响学生学习的原因是多方面的，而影响学生学习的心理因素主要有认知因素和非认知因素. 认知因素指的是人的感觉、知觉、注意、记忆、言语和思维等心理过程. 非认知因素，包括动机、兴趣、情感、意志等因素，在数学教学中起着导向、调节、维持和激励的作用，对数学学习也有着重要影响.
折纸作为一种教学工具用于日常的数学教学活动当中，充分利用非认知因素来激发学生的学习动机，培养学生的学习兴趣，调整学生的学习情感，锻造学生的学习意志，可有效地解决学习基础薄弱与学习兴趣缺乏的问题. 因此，下面笔者将从本节课的角度出发，浅析如何真正培养学生的非认知因素.
1. 兴趣
奥苏泊尔认为，兴趣是一种认知的驱动力，即一种要求了解和理解的需要，要求掌握知识的需要，要求阐述问题和解决问题的需要. 两千多年前，孔子也提出“知之者不如好知者，好知者不如乐知者”. 学生只有对所学学科产生足够的兴趣，才能在学习过程中克服困难，提高自身学习效率. 因此，通过对本节课的思考总结，教师可以通过以下几个方面激发学生的学习兴趣.
（1）创设情境，以保持课堂教学的生动性、趣味性
本堂课以折纸作为教学工具，通过探究折纸问题调动学生的积极性，唤起他们的参与意识. 同时，让学生参与实践操作，利用自制教具优化课堂结构，以激发学生的学习兴趣.
（2）鼓励质疑，稳定学习兴趣
前半堂课的折纸活动能激发学生的学习热情，但是在后半节课的验证、猜想阶段，学生的兴趣和热情如何保持是我们需要思考的. 因此，教师可以根据教学内容设置悬念，引起学生认知上的矛盾与冲突，从而激起学生要求解疑的心理需求.
（3）上好数学课外活动课，激活学生的求知欲
学生数学学习兴趣的养成，单凭一节简单的折纸课是远远不够的，我们可以根据教材的提示與要求，利用课余时间开展数学兴趣小组活动，拓宽学生的知识面，发展他们的个性特点和创造力.
2. 动机
动机对学习具有推动和目标导向作用.
沈德立确定了两种与学习活动密切相关的动机因素. 一种是成就动机，数学学习应该是一种主动参与、积极思维、发现问题和解决问题的活动或有价值的工作，不但愿意去做，而且能够达到完美地步的一种内在推动力量. 即由成就需要转化而来的动机. 另外一种是交往动机，指一种需要与人亲近的内在动力. 这种动机在学习上表现为：学生愿意为他所喜欢的老师努力学习，因受到赞扬而认真学习，或因受到责备、挫伤自信心和自尊心而影响学习.
本节课营造的是一种探究式课堂，通过折纸活动，让所有学生都参与进来，在思考探究过程中培养学生的成就动机. 同时，通过教师和学生在学习过程中不断地沟通、交流，培养学生的交往动机.
3. 情感
数学学习情感是数学学习是否满足学习者自身求知欲需要的一种情感体验. 本堂课以折纸活动为出发点，充分考虑基础差的学生. 同时，在师生交流互动的过程中，教师要善于理解和引导学生在课堂上的情绪反应以发展学生的积极情感；对学生的消极情绪置之不理或给予压抑性的批评，会加深学生的消极情绪.
4. 习惯
心理学研究和实践表明，自由、宽松、安全的气氛可以使人的智慧充分发挥. 对于本堂课的教学设计，教师努力营造自由和谐的气氛，使学生积极主动地参与到折纸活动中，积极探索. 同时，本节课将角平分线性质的推导过程充分揭示出来，培养了学生创新思维的习惯.
皮亚杰指出：“传统教学的缺点，就在于往往用口头讲解，而不是从实际操作开始数学教学. ”我们不能让学生始终觉得数学是无用的、枯燥乏味的、抽象难懂的，这样不仅对学生本身的数学学习具有消极影响，而且这种影响会持续到学生的下一代身上. 可以说，折纸作为一种教学工具运用于中学数学课堂，能够把作为教育任务的数学以大众乐于接受的形态教给学生，同时给学生营造一个手脑并用的学习环境，促进学生学习过程中非认知因素的培养.