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一提到“行程问题”，你的大脑第一时间检索到的是……追击？相遇？还是“路程=速度×时间”？但是……如果速度难测、时间不明，更加绝望的是出发的两人（或多人）相遇再相遇……看到这里的你，是不是已经在心里暗暗打起了退堂鼓？
此时放弃为时过早！你只需要：根据题目中所给的有效信息，画图！
5月3日 星期五 天气：晴
今天的课上，老师给我们出了这样一道题：
甲、乙两列火车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇。相遇后两列火车继续前进，到达目的地后都立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处。求A、B两地间的路程。
看完题目，同学们像霜打的茄子似的，一个个耷拉着脑袋，低头数蚂蚁。
“老师，这道题既没有给出甲、乙的速度，也没有交代相遇时间，怎么求路程啊？”班长这一问，问出了全体同学的心声。我们“唰”地抬头看向老师，果然听老师说道：“虽然题目里没给速度和时间，但我们可以借助线段图来分析，这种题就是较复杂的行程问题——‘多次相遇问题’。”
老师的话就像一根导火索，彻底激发了我们的“创作”热情……我也静下心来，细细读起题目，根据所给有效信息……唰唰唰……画出线段图……
看着自己画出的线段图，我兴奋地喊道：“老师，老师，我解出这道题了！”说完，在老师的点头示意下，我自信满满地走上讲台，把线段图投影在大屏幕上，说道：“图中实线表示甲火车行驶的路程，虚线表示乙火车行驶的路程。”
根据线段图可以看出：
第一次相遇时，两车行驶的路程和是一个AB距离;
第二次相遇时，两车行驶的路程和是三个AB距离。此时，甲行驶了一个全程还多55千米。
当甲、乙两车共行驶一个A、B两地间的距离时，甲车行驶了75千米;当它们共行驶三个A、B两地间的距离时，甲车就行驶了3个75千米，即75×3=225（千米）。而这225千米比一个A、B两地间的距离多55千米，可得：
A、B两地的距离是：225-55=170（千米）。
“原来如此！”看着同学们恍然大悟的样子和老师向我投来的赞许的目光，我的心里充满了成就感。
解决这道题的关键在于—
①找出“几个全程”;
②找出甲或乙行驶的路程与“全程”的关系。
教室里的争吵
5月7日 星期二 天气：晴
六（7）班 秦奋
午后，懒洋洋的阳光照进教室，把我照得昏昏欲睡……突然，一阵争吵声从教室后排响起……
我回头一看，只见数学课代表和学习委员不知因为什么争得面红耳赤……正当我要上前询问的时候，数学老师拎着教具走了进来。还没等数学老师站定，数学课代表就先声夺人：“老师，上午您留的题目，答案是什么？”
“对！对！老师，您快说！”学习委员也催促道。
“既然同学们这么迫不及待，就让课代表和学委给我们讲讲吧！”说完，数学老师打开多媒体，放出题目：
小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇（追击也算相遇），则甲、乙两地的距离是多少千米？
“老师，我先来！”课代表挑衅地看了学委一眼，大步走向讲台，画出线段图：
两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇。
第一次相遇时，两人合走1个全程，小王走了3千米;从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了3×2=6千米。由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为（6-3）÷2=1.5千米，甲、乙两地的距离为6 1.5=7.5千米。
听完课代表的答案，虽然没错，可是……两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇……但第二次相遇……
“老师，我有不同答案！”学委一句话打断了我的思绪，只见他走上讲台，画出另一个线段图：
两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王。在这个过程中，小王走了6-3=3千米，小李走了6 3=9千米，两人的速度比为3 ： 9=1 ： 3。所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9 3=12千米。
果然如我所料！“老师，我也有话要说！”在老师的点头示意下，我站起来说道：“其实，课代表和学委的答案都是对的！两人同时出发相向而行，第一次相遇一定是迎面相遇;但是……本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能是课代表的答案——迎面相遇，也可能是学委的答案——同向追及！所以甲、乙两地的距离既是7.5千米，也是12千米。”
“三位同学说得非常好！同学们记住：审题时一定要找出所有有效信息，这样给出的答案才能全面，不扣分！”
柳卡图遇上相似三角形
5月18日 星期六 天气：晴
六（7）班 黄星睿
又到周末，爸爸妈妈带我去看望外婆。
妈妈为了减肥，坚决步行去。这不，自知速度慢，早早就出发了;
我决定低碳出行，骑“敞篷”自行车。在妈妈出发1小时后也出门了;
爸爸“懒虫”一个，准备开他的四轮轿车，比我还晚出发了45分钟。
我一路用力蹬，追赶妈妈，好不容易看到了妈妈健步如飞的背影。追上妈妈时，我大喊：“妈妈加油啊！我到外婆家等你哦！”话音刚落，一阵喇叭声从我身边呼啸而过，原来爸爸也正好追上了我们俩。爸爸摇下车窗，喊道：“我到外婆家等你们哦！”真巧，我们居然在同一点相遇。我继续用力蹬脚踏板，等我到达外婆家时，爸爸正向我这边打着眼罩张望着呢！我坐下后掐着时间，24分钟后，妈妈终于到了。
“老黄，你比我早到几分钟啊？”爸爸刚想回答，又停住了，转身问我：“你知道我比你和妈妈分别早到多长时间吗？”
“这我哪知道啊？我是在爸爸后面到的啊！”说完，看着爸爸挑衅的目光，一时冲动接受了挑战！我拿纸和笔把条件罗列了了下来，除了知道我们比彼此晚多少时间出发以外，我毫无头绪。
或许我可以画个图试试？我边画边想……有了，用可以标示每个时间点和路程点的柳卡图试一试，一定会有新发现的。
从图上可以找到两对相似的三角形，它们的三个角的度数都是相等的，它们相对应的边长对比也应该是相等的。
“呵，不错嘛，这个方法好！没想到行程方面的问题还可以通过图形关系和比例的知识来解答。咱们小睿数学功底还是很牛的哦！”爸爸摸着我的头夸赞道。
“这可是大数学家柳卡发明的最神奇的图，能解决很多特别复杂的多次相遇问题，我今天变通了一下而已。”我骄傲地说。“哈哈，还是我的外孙最聪明！走，让外婆给你做最爱吃的红烧肉补补脑。”外婆走过来拉起我的手，喜悦之情溢于颜面……
设爸爸比我早到x分钟，
根据这个长度比相等的关系，列出比例方程：
60：24=45：x。
解得x=18。
也就是爸爸比我早到了18分钟，
比妈妈则早到18 24=42（分钟）。
“柳卡图”解题步骤：
①画出时间—距离图
②画上密密麻麻的交叉线，按题目要求数交点个数。
折线示意图能清晰地体现运动过程中“相遇的次数”“相遇的地點”，以及“由相遇的地点求出全程”。
注意：使用“柳卡图”，需要明确每个物体走完一个全程时所用的时间。
此时放弃为时过早！你只需要：根据题目中所给的有效信息，画图！
5月3日 星期五 天气：晴
今天的课上，老师给我们出了这样一道题：
甲、乙两列火车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇。相遇后两列火车继续前进，到达目的地后都立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处。求A、B两地间的路程。
看完题目，同学们像霜打的茄子似的，一个个耷拉着脑袋，低头数蚂蚁。
“老师，这道题既没有给出甲、乙的速度，也没有交代相遇时间，怎么求路程啊？”班长这一问，问出了全体同学的心声。我们“唰”地抬头看向老师，果然听老师说道：“虽然题目里没给速度和时间，但我们可以借助线段图来分析，这种题就是较复杂的行程问题——‘多次相遇问题’。”
老师的话就像一根导火索，彻底激发了我们的“创作”热情……我也静下心来，细细读起题目，根据所给有效信息……唰唰唰……画出线段图……
看着自己画出的线段图，我兴奋地喊道：“老师，老师，我解出这道题了！”说完，在老师的点头示意下，我自信满满地走上讲台，把线段图投影在大屏幕上，说道：“图中实线表示甲火车行驶的路程，虚线表示乙火车行驶的路程。”
根据线段图可以看出：
第一次相遇时，两车行驶的路程和是一个AB距离;
第二次相遇时，两车行驶的路程和是三个AB距离。此时，甲行驶了一个全程还多55千米。
当甲、乙两车共行驶一个A、B两地间的距离时，甲车行驶了75千米;当它们共行驶三个A、B两地间的距离时，甲车就行驶了3个75千米，即75×3=225（千米）。而这225千米比一个A、B两地间的距离多55千米，可得：
A、B两地的距离是：225-55=170（千米）。
“原来如此！”看着同学们恍然大悟的样子和老师向我投来的赞许的目光，我的心里充满了成就感。
解决这道题的关键在于—
①找出“几个全程”;
②找出甲或乙行驶的路程与“全程”的关系。
教室里的争吵
5月7日 星期二 天气：晴
六（7）班 秦奋
午后，懒洋洋的阳光照进教室，把我照得昏昏欲睡……突然，一阵争吵声从教室后排响起……
我回头一看，只见数学课代表和学习委员不知因为什么争得面红耳赤……正当我要上前询问的时候，数学老师拎着教具走了进来。还没等数学老师站定，数学课代表就先声夺人：“老师，上午您留的题目，答案是什么？”
“对！对！老师，您快说！”学习委员也催促道。
“既然同学们这么迫不及待，就让课代表和学委给我们讲讲吧！”说完，数学老师打开多媒体，放出题目：
小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇（追击也算相遇），则甲、乙两地的距离是多少千米？
“老师，我先来！”课代表挑衅地看了学委一眼，大步走向讲台，画出线段图：
两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇。
第一次相遇时，两人合走1个全程，小王走了3千米;从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个全程，所以这期间小王走了3×2=6千米。由于A、B之间的距离也是3千米，所以B与乙地的距离为（6-3）÷2=1.5千米，甲、乙两地的距离为6 1.5=7.5千米。
听完课代表的答案，虽然没错，可是……两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇……但第二次相遇……
“老师，我有不同答案！”学委一句话打断了我的思绪，只见他走上讲台，画出另一个线段图：
两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B处追上小王。在这个过程中，小王走了6-3=3千米，小李走了6 3=9千米，两人的速度比为3 ： 9=1 ： 3。所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为9 3=12千米。
果然如我所料！“老师，我也有话要说！”在老师的点头示意下，我站起来说道：“其实，课代表和学委的答案都是对的！两人同时出发相向而行，第一次相遇一定是迎面相遇;但是……本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能是课代表的答案——迎面相遇，也可能是学委的答案——同向追及！所以甲、乙两地的距离既是7.5千米，也是12千米。”
“三位同学说得非常好！同学们记住：审题时一定要找出所有有效信息，这样给出的答案才能全面，不扣分！”
柳卡图遇上相似三角形
5月18日 星期六 天气：晴
六（7）班 黄星睿
又到周末，爸爸妈妈带我去看望外婆。
妈妈为了减肥，坚决步行去。这不，自知速度慢，早早就出发了;
我决定低碳出行，骑“敞篷”自行车。在妈妈出发1小时后也出门了;
爸爸“懒虫”一个，准备开他的四轮轿车，比我还晚出发了45分钟。
我一路用力蹬，追赶妈妈，好不容易看到了妈妈健步如飞的背影。追上妈妈时，我大喊：“妈妈加油啊！我到外婆家等你哦！”话音刚落，一阵喇叭声从我身边呼啸而过，原来爸爸也正好追上了我们俩。爸爸摇下车窗，喊道：“我到外婆家等你们哦！”真巧，我们居然在同一点相遇。我继续用力蹬脚踏板，等我到达外婆家时，爸爸正向我这边打着眼罩张望着呢！我坐下后掐着时间，24分钟后，妈妈终于到了。
“老黄，你比我早到几分钟啊？”爸爸刚想回答，又停住了，转身问我：“你知道我比你和妈妈分别早到多长时间吗？”
“这我哪知道啊？我是在爸爸后面到的啊！”说完，看着爸爸挑衅的目光，一时冲动接受了挑战！我拿纸和笔把条件罗列了了下来，除了知道我们比彼此晚多少时间出发以外，我毫无头绪。
或许我可以画个图试试？我边画边想……有了，用可以标示每个时间点和路程点的柳卡图试一试，一定会有新发现的。
从图上可以找到两对相似的三角形，它们的三个角的度数都是相等的，它们相对应的边长对比也应该是相等的。
“呵，不错嘛，这个方法好！没想到行程方面的问题还可以通过图形关系和比例的知识来解答。咱们小睿数学功底还是很牛的哦！”爸爸摸着我的头夸赞道。
“这可是大数学家柳卡发明的最神奇的图，能解决很多特别复杂的多次相遇问题，我今天变通了一下而已。”我骄傲地说。“哈哈，还是我的外孙最聪明！走，让外婆给你做最爱吃的红烧肉补补脑。”外婆走过来拉起我的手，喜悦之情溢于颜面……
设爸爸比我早到x分钟，
根据这个长度比相等的关系，列出比例方程：
60：24=45：x。
解得x=18。
也就是爸爸比我早到了18分钟，
比妈妈则早到18 24=42（分钟）。
“柳卡图”解题步骤：
①画出时间—距离图
②画上密密麻麻的交叉线，按题目要求数交点个数。
折线示意图能清晰地体现运动过程中“相遇的次数”“相遇的地點”，以及“由相遇的地点求出全程”。
注意：使用“柳卡图”，需要明确每个物体走完一个全程时所用的时间。