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摘要：化归思想贯穿于高等数学全部内容，是研究高等数学的重要思想方法，在解决数学问题中往往起着至关重要的作用.本文主要探讨化归思想在高等数学中的应用的各种表现形式。
关键词：高等数学;化归思想;应用
中图分类号：：TU 文献标识码：A 文章编号：（2021）-02-379
高等数学的学习要注重基本概念的理解，利用数学化归思想，去灵活解决相关的数学基本计算，将有利于对所学的知识融会贯通，提高解决数学问题的思维能力和技能。下面针对在高等数学中常见的化归方法的应用进行一下梳理、归纳，以便读者对于归化方法的理解与掌握。
1.由数划归为图形或由图形划归为数
通过直角坐标系，使得“数”与“形”之间建立起一一对应关系，从而使得许多代数问题通过转
化为图形，使得思路和方法便可从图形中直观地显示出来，即使有些问题未能获解，也能捕捉到有益信息。比如，拉格朗日中值定理的证明，我们通过图形，构造出了辅助函数;还比如，在定积分的几何应用中，无论是计算平面图形的面积，还是求旋转体的体积，或者求平行截面为一种的立体的体积和平面曲线的弧长等时，一般是要先画出平面图形，再选积分变量做定积分;再比如，计算二重、三重积分时，通常需要画出积分区域以帮助选择积分次序和确定积分上、下限，等等，都是将代数问题化归为图形后，显得非常直观，从而使问题变得很容易解决，有时，还可以利用图形的对称性或被积函数的奇、偶性，来简化运算。 .
2.由一般划归为特殊或由特殊划归为一般
高等数学中，许多定理的证明，都体现着一般到特殊，再由特殊到一般的过程。比如，拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的证明，都是通过构造辅助函数满足特殊条件下的罗尔定理，从 而得到证明的。
3.由复杂划归为简单
高等数学中许多定理、公式都是由复杂转化为简单的划归思想方法。比如，牛顿--莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分的联系，它告诉我们，连续函数在某闭区间上的定积分等于它的原函数在该闭区间上的增量。使得定积分的计算，摆脱了古老而繁琐的定义方法，化归为简单的不定积分中求原函数的方法，从而大大地简化了定积分地计算;还比如，格林公式揭示了二元函数在平面区域上的二重积分与其封闭边界的曲线积分之间的联系;高斯公式揭示了函数在空间区域上的三重积分与其包围的封闭曲面的曲面积分的联系;而斯托克斯公式则揭示了空间曲面上的曲面积分与曲面的边界封闭曲线上的曲线积分之间的联系等等，都是利用归化思想，使得问题的解决由复杂变得容易起来。
4.由整体划归为部分或由部分划归为整体
整体划归为部分是对所要解决的问题，通过分化将整体转化为若干较简单的新问题，将这些新问题各个击破，最后再综合为整体的解。而将部分划归为整体地思想，是摆脱局部细节中难以搞清的数量关系的纠缠，将所研究的对象看作是某一整体的部分，从而，使之能从整体上去把握与处理局部问题。比如，定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的定义中，都是采用先“化整为零 ”，再通过取极限的“積零为整”地思想，使实际问题获得解决的;还比如，在将函数展成幂级数或者求幂级数地和函数时，往往利用逐项积分、或逐项求导的方法等等，都是由整体划归为部分或由部分划归为整体的划归思想的体现。
5.由离散划归为连续
将离散变量的数列极限问题转化为连续变量的函数极限问题，就是典型的由离散划归为连续的思想体现。比如.求数列f（n）的极限时，有时为了用洛必达法则，会利用结论：如果limx→+∞f（x）=A，则必有数列极限 limn→∞f（n）=A来求数列的极限，就是由离散转化为连续的划归思想方法。
6.由无限划归为有限
在高等数学的解题过程中，通常会碰到无限区间上的一些问题，这些问题在有限区间上考虑的时候往往比较简单，但在无限区间上相对来说比较困难.这时，我们可以将无限区间上的问题通过某种变换将它转化到有限区间上。例如.求无穷限的反常积分时，常常是将其划归为常以积分（有限积分区间上的定积分）的极限;还比如，在将幂级数求导或积分时，往往利用逐项求导、或逐项积分的方法，将无穷多项的求导或积分转化为有限项的求导或积分的和等等，都是由无限划归为有限的思想方法。
7.由未知划归为已知
在学习多元函数的微积分时，通常是将未知的多元函数的微积分问题转化为已知的一元函数的微积分问题来解决。比如，多元函数求极限，可以通过适当的变量代换将其转化为一元函数的 极限问题，然后利用学过的方法进行计算加以解决;还比如，求高阶导数可以转化为逐次求一阶导数;求重积分、曲线积分、曲面积分都是转化为求定积分;求未定式0·∞、∞-∞、00、1∞、 ∞0的极限都是转化为基本未定式00（或∞∞）型;还有求积分时，通过凑微分、变量代换、分部积分等方法将问题转化为已知的基本公式;利用已知的几个常用函数展开式间接展开和间接求和等等，都是由未知划归为已知的化归思想的具体实现。.
8.由多元划归为一元或把高维划归为一维
由多元化归为一元、由高维化归为一维这种思想方法主要体现在多元函数微积分学中.比如， 判断多元函数的极限的存在性及其值的求法，比起一元函数的极限，显得比较麻烦.因而我们自然希望将多元函数极限转化为一元函数的极限来处理;同理，将多元函数的偏导数转化为一元函数的导数来求;二重积分化归为二次定积分来求解; 三重积分化归为三次定积分来求解; 曲线积分也是化归为定积分来求解;而曲面积分化归为二重积分来求解; 三类可降阶的高阶微分方程通过变量代换最后都化归为一 阶微分方程来求解等等.
9.由实际问题划归为数学模型
高等数学中的许多基本概念，都是由实际问题划归的数学建模。比如导数、微分、积分、变化率、重积分、曲线积分、曲面积分、微分方程、级数等等;还比如实际当中的求极值;最值问题;条件极值问题;求变化率问题;求面积、体积、弧长问题;求作功、引力、转动惯量等等，也是由实际问题划归为数学模型。
以上我们梳理、归纳总结了划归思想方法的九种常见的类型，从中可以看到化归思想方法在高等数学中的应用非常广泛。各种类型的方法并不是独立的，往往是相互交错，形成了各种有效的解决方法。在高等数学的教学中渗透化归思想，对于培养和锻炼学生们创造发现的能力、思维的敏捷性、灵活性及独立性，进一步提高学生们的逻辑思维能力以及数学素养都具有十分重要意义。
关键词：高等数学;化归思想;应用
中图分类号：：TU 文献标识码：A 文章编号：（2021）-02-379
高等数学的学习要注重基本概念的理解，利用数学化归思想，去灵活解决相关的数学基本计算，将有利于对所学的知识融会贯通，提高解决数学问题的思维能力和技能。下面针对在高等数学中常见的化归方法的应用进行一下梳理、归纳，以便读者对于归化方法的理解与掌握。
1.由数划归为图形或由图形划归为数
通过直角坐标系，使得“数”与“形”之间建立起一一对应关系，从而使得许多代数问题通过转
化为图形，使得思路和方法便可从图形中直观地显示出来，即使有些问题未能获解，也能捕捉到有益信息。比如，拉格朗日中值定理的证明，我们通过图形，构造出了辅助函数;还比如，在定积分的几何应用中，无论是计算平面图形的面积，还是求旋转体的体积，或者求平行截面为一种的立体的体积和平面曲线的弧长等时，一般是要先画出平面图形，再选积分变量做定积分;再比如，计算二重、三重积分时，通常需要画出积分区域以帮助选择积分次序和确定积分上、下限，等等，都是将代数问题化归为图形后，显得非常直观，从而使问题变得很容易解决，有时，还可以利用图形的对称性或被积函数的奇、偶性，来简化运算。 .
2.由一般划归为特殊或由特殊划归为一般
高等数学中，许多定理的证明，都体现着一般到特殊，再由特殊到一般的过程。比如，拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的证明，都是通过构造辅助函数满足特殊条件下的罗尔定理，从 而得到证明的。
3.由复杂划归为简单
高等数学中许多定理、公式都是由复杂转化为简单的划归思想方法。比如，牛顿--莱布尼兹公式揭示了定积分与不定积分的联系，它告诉我们，连续函数在某闭区间上的定积分等于它的原函数在该闭区间上的增量。使得定积分的计算，摆脱了古老而繁琐的定义方法，化归为简单的不定积分中求原函数的方法，从而大大地简化了定积分地计算;还比如，格林公式揭示了二元函数在平面区域上的二重积分与其封闭边界的曲线积分之间的联系;高斯公式揭示了函数在空间区域上的三重积分与其包围的封闭曲面的曲面积分的联系;而斯托克斯公式则揭示了空间曲面上的曲面积分与曲面的边界封闭曲线上的曲线积分之间的联系等等，都是利用归化思想，使得问题的解决由复杂变得容易起来。
4.由整体划归为部分或由部分划归为整体
整体划归为部分是对所要解决的问题，通过分化将整体转化为若干较简单的新问题，将这些新问题各个击破，最后再综合为整体的解。而将部分划归为整体地思想，是摆脱局部细节中难以搞清的数量关系的纠缠，将所研究的对象看作是某一整体的部分，从而，使之能从整体上去把握与处理局部问题。比如，定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的定义中，都是采用先“化整为零 ”，再通过取极限的“積零为整”地思想，使实际问题获得解决的;还比如，在将函数展成幂级数或者求幂级数地和函数时，往往利用逐项积分、或逐项求导的方法等等，都是由整体划归为部分或由部分划归为整体的划归思想的体现。
5.由离散划归为连续
将离散变量的数列极限问题转化为连续变量的函数极限问题，就是典型的由离散划归为连续的思想体现。比如.求数列f（n）的极限时，有时为了用洛必达法则，会利用结论：如果limx→+∞f（x）=A，则必有数列极限 limn→∞f（n）=A来求数列的极限，就是由离散转化为连续的划归思想方法。
6.由无限划归为有限
在高等数学的解题过程中，通常会碰到无限区间上的一些问题，这些问题在有限区间上考虑的时候往往比较简单，但在无限区间上相对来说比较困难.这时，我们可以将无限区间上的问题通过某种变换将它转化到有限区间上。例如.求无穷限的反常积分时，常常是将其划归为常以积分（有限积分区间上的定积分）的极限;还比如，在将幂级数求导或积分时，往往利用逐项求导、或逐项积分的方法，将无穷多项的求导或积分转化为有限项的求导或积分的和等等，都是由无限划归为有限的思想方法。
7.由未知划归为已知
在学习多元函数的微积分时，通常是将未知的多元函数的微积分问题转化为已知的一元函数的微积分问题来解决。比如，多元函数求极限，可以通过适当的变量代换将其转化为一元函数的 极限问题，然后利用学过的方法进行计算加以解决;还比如，求高阶导数可以转化为逐次求一阶导数;求重积分、曲线积分、曲面积分都是转化为求定积分;求未定式0·∞、∞-∞、00、1∞、 ∞0的极限都是转化为基本未定式00（或∞∞）型;还有求积分时，通过凑微分、变量代换、分部积分等方法将问题转化为已知的基本公式;利用已知的几个常用函数展开式间接展开和间接求和等等，都是由未知划归为已知的化归思想的具体实现。.
8.由多元划归为一元或把高维划归为一维
由多元化归为一元、由高维化归为一维这种思想方法主要体现在多元函数微积分学中.比如， 判断多元函数的极限的存在性及其值的求法，比起一元函数的极限，显得比较麻烦.因而我们自然希望将多元函数极限转化为一元函数的极限来处理;同理，将多元函数的偏导数转化为一元函数的导数来求;二重积分化归为二次定积分来求解; 三重积分化归为三次定积分来求解; 曲线积分也是化归为定积分来求解;而曲面积分化归为二重积分来求解; 三类可降阶的高阶微分方程通过变量代换最后都化归为一 阶微分方程来求解等等.
9.由实际问题划归为数学模型
高等数学中的许多基本概念，都是由实际问题划归的数学建模。比如导数、微分、积分、变化率、重积分、曲线积分、曲面积分、微分方程、级数等等;还比如实际当中的求极值;最值问题;条件极值问题;求变化率问题;求面积、体积、弧长问题;求作功、引力、转动惯量等等，也是由实际问题划归为数学模型。
以上我们梳理、归纳总结了划归思想方法的九种常见的类型，从中可以看到化归思想方法在高等数学中的应用非常广泛。各种类型的方法并不是独立的，往往是相互交错，形成了各种有效的解决方法。在高等数学的教学中渗透化归思想，对于培养和锻炼学生们创造发现的能力、思维的敏捷性、灵活性及独立性，进一步提高学生们的逻辑思维能力以及数学素养都具有十分重要意义。