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摘要：小学数学学习到底应该给学生们留下些什么?fb,T让学生掌握一些数学基础知识和基本技能外，还应该在他们的头脑中留下数学意识、数学思想及思维方式和积极的数学情感。
关键词：小学数学；复习课；三角板
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009－010X(2011)02－0045－03
在小学数学总复习中，面对那些零碎的知识点如何系统地进行整理，使之串“点”成“线”，连“线”成“面”是考验毕业班老师的一项基本功；面对那些已知的知识点怎么做才能温故知新，深刻而不浅显，简约而不简单更是教师面临的一项挑战。
偶然，看到这样一句话：“历史上古希腊的人们曾认为数学就是哲学，哲学就是数学，哪怕是最简单的数学对象，例如1、2、3……线段、三角形、圆这些最基本的数字和几何图形也具有非常深刻的科学背景或数学思考”。于是，书桌上的一副三角板帮我打开了思路……
一、数学猜谜，引导学生用数学眼光聚焦三角板
师：我们来猜几个有趣的数学谜语吧：“八分之七，(打一个成语)”、“考试不作弊(打一数学名词)”、“这个脑袋真正灵，忽闪忽闪眨眼睛，东南西北带着它，加减乘除不费劲(打一计算工具)”、“一对亲兄弟，都有一直角，三足而鼎立，学生离不了”……
生异口同声地兴奋地说是三角板：
师：三角板对于大家来说太熟悉了，我们的数学学习中可离不开它。回想一下，它都能帮你们干什么呢?
生：画线段。
生：用一副三角板可以画一组平行线，还有垂线……
生：画角。
师：你们真是学习的有心人。用一副三角板能画山多少度的角来呢?
生：30°、45°、60°、90°。(教师板书)
二、以旧引新，探索三角板中角的奥秘
师：除了这些三角板上的角的度数可以画出来以外，还有没有其他度数的角也可以用一副三角板画出来呢?怎么想的?
生：75°，也就是把30°的角和45°的角合并起来。
生：还有120°，用30°＋90°。
(受此启发，学生依次答出105°、135°、150°、165°、180°和180°以外的角的度数)
师：除了把两个角的度数合并起来画角外，还可以怎样画也能得到一个新的度数?
生：两个角的一条边重合，比如45°和30°，就能得到一个15°的角。
师：太棒了!是不是任意一个角都能用一副三角板画出来呢?(师板书：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°、270°……)我们来仔细观察这些度数，找一找其中的奥秘，你看什么样的度数可以用一副三角板画出来?
生：他们都是5的倍数。
生：不准确。5°、10°就不能画。
(讨论后)生：只要是15的倍数都能用一副三角板画出来。
师：会观察，爱动脑，真棒!按照这个规律推理，其实180°以外的角也可以用三角板画出来，只要它是15的倍数。
[教学心路]这本是四年级的一道老题，但那时只停留在操作演示的层面上。温故而知新，重新亮出此题意在使六年级学生透过现象看本质，寻找到其中的一般规律，提升数学思维水平。
三、观察思考。发现三角板中边的奥秘
1.探究含有30°角的三角板的奥秘。
师：你知道三角板的边又有什么特别之处呢?这里面也藏着一些数学知识和奥秘哟。你看，如果我们把这两块一样的含有30°角的三角板拼在一起(如图)，注意观察：拼成了一个什么三角形?它的三条边怎么样?
生：等边三角形，三个角都是60°，三条边相等。
师：受这个提示，你能不能发现其中一块三角板的某两条边之间的关系?给个提示：如果已知一块三角板斜边c＝10厘米，那么这条30°角对应的短直角边a＝?
生：5厘米。(上讲台指指说说)下面一条底边是由原来三角板的两条短直角边拼成的，而这又是一个等边三角形，所以斜边的长度等于短直角边的2倍。
师：同意吗?观察细致，思维敏捷，真棒。同桌两人把这两块一样的三角板拼在一起，互相边指边说说是怎么看出斜边和短直角边的关系的。
师：谁能用数学语言来概括一下这个发现?再给它编个字母公式。
生：如果30°角对应的边用。表示，斜边用c表示，那么c＝2a。
2.探究含有45°角的三角板的奥秘。
师：那另外一块等腰直角三角板会向我们传达什么数学信息呢?我们不妨也把两块一样的这种三角板拼在一起，拼成了什么?
生：仍然是一个等腰直角三角形。
师：操作是为了更好地思考，你认为这个大等腰直角三角形的斜边和斜边上的高之间有什么关系?你是怎么看出来的?
生：(上台边指边说)这个大等腰直角三角形的斜边是由原来的两条相等的直角边拼成的，所以斜边的长度是它的高的2倍。
师：在每个小的等腰直角三角形中，斜边和它对应的高是不是也有这样的关系?你能用数学语言完整地概括一下这个发现吗?
生：在这块等腰直角三角板中，斜边的长度是它对应高的2倍。字母公式可编为：c＝2h。
师：请你锁住思维，学以致用，解决这个问题：已知等腰直角三角形的斜边长8厘米，求这个三角形的面积。
生：先求出高8÷2＝4，再用8×4÷2算出面积。
[教学心路]三角板中边的这些特点，用什么方式能让小学生理解并印象深刻，是一件煞费苦心的事。我尝试过测量、动画等教学方式但收效甚微，直到把两块三角板放在一起，惊喜产生了。就地取材，直观生动，简练明了，符合学生认知规律和心理特点。
四、动手操作。体验三角板中面的魅力
1.拼合四边形。
师：刚才简单地一拼竟然拼出了一些数学发现，难怪有人说手是人类智慧的工具呢，接下来就让我们来比比谁的手最巧最有智慧：将两块一样的含30°角的三角板相同的边重合，拼在一起，能形成几种不同的四边形?
生同桌合作拼拼画画想想，并展示(见图)。
师：我们拼成了两种平行四边形、一种长方形，还有这种四边形叫筝形，像风筝一样，以后到高中我们会研究它。
师：操作是为了更好地思考，用你智慧的眼睛来看这些图，什么变了，什么不变?
生：面积不变，周长有变化，有长有短。
师：变与不变是我们数学学习中经常要用到的辩证关系。思考哪种四边形周长最长?为什么?
生：第一种周长最长，因为它把最短的两条直角边重合到了一起，就像我们比较两个长方体拼在一起哪种表面积最大是一个道理。
生：长方形和筝形的周长一样，因为它们都是用两条长直角边和斜边围成的。
师：有了这样的认识，相信这道题肯定难不倒你：已知一直角三角形三条边分别是3、4、5，你知道两块这样的三角板拼成的四边形周长最长是多少?最短是多少吗?
生：周长最长用(4＋5)×2
生：周长最短用(3＋4)×2 师：接下来不拼了，我们要来比比谁的空间想象能力最强，两块一样的等腰直角三角板拼在一起，能拼成多少种不同的四边形?
生思考后，请板书在黑板上。师生讨论为什么这次只有两种了。
2.“你知道吗?”
师：我们用两块一样的三角板拼在一起，竞然得到了很多不同的三角形和四边形，难怪数学家柏拉图最喜欢三角形的这两种形状，来欣赏一段资料：
你知道吗?其实，三角板是从几何王国——古希腊时期就有的。它是对两种基本图形分割而成的。(展示)当把正三角形与正方形对半切割时，便得到了两种直角三角形，这正好是我们所用的一副三角板的形式。古希腊数学家柏拉图认为，这两种三角形是最完美的形式。并且它们可以无限地分下去，只要沿着直角点作斜边的垂线，仍得到同一形状的三角形。
[教学心路]原来，几何的魅力，几何之所以能够促使人们更智慧地思考，就在于这个系统要求用尽量简单的动作、尽量简单的工具处理并不简单的事物。
3.展开想象的翅膀。
二次比拼：用四块一样的等腰直角三角板能拼成多少种图形或美丽的图案?
生四人小组分工合作，兴奋地拼拼、画画、想想，发现它们竟然能拼成等腰三角形、等腰梯形、正方形、长方形、平行四边形、小房子、小剪刀等等。
[教学心路]不亲自研究和实践，我也不知道一副三角板拼拼、画画、想想，能发现这么多有趣的数学知识，能生成那么多美妙的数学图案，能让学生那么倾情地投入探究，这也许就是简约的魅力吧!
师：短短几分钟，同学们创造了这么多的美妙，真是太棒了。我发现这个图形(如图)能给我们再带来一点启示：刚才我们做过一题：已知等腰直角三角形的斜边是8，求它的面积，现在你还有别的方法可以算出它的面积吗?
生：先算正方形的面积8×8，再除以4得到它的面积。
师：换个角度思考问题，为我们打开了另一扇智慧的窗户。
五、华丽转身，旋转着从平面到立体
师：三角板不仅可以拼着玩，还可以把它旋转着玩。我把一块含有30°角的三角板旋转一周，猜猜看会形成怎样的立体图形?
生：圆锥。
师：还可以怎么转着玩?形成什么?
生：以长直角边为轴，短直角边为半径也可以形成一圆锥。
生：以斜边为轴，还可以转出两个同底的圆锥竖在一起。
师：以不同的边为轴转出的立体图形是不一样的，而且它们的体积也不一样。
六、画龙点睛，延续探究的热情
师：这节课我们一起研究了三角板的角、边、面和它旋转后形成的体，相信你们一定对它有了新的认识。如果老师请你给它加一个修饰词的话，你认为什么词比较合适?
生：神奇的三角板。
生：有趣的三角板。
生：多姿多彩的三角板世界……
师：平时普普通通的一副三角板，竟藏着这么多数学知识，这就是数学的美——简洁、和谐、实用。
[教学心路]由角到边到面再到体，师生一起重温了平面立体图形知识一些要点，一起经历了发现、领悟和欣赏数学美的学习过程，难怪学生有那么多美好的感慨。
师：其实除了三角板，我们还有一些常用的学习工具比如圆规、直尺等，也别小看它们，其中也蕴藏着很多的数学奥秘，比如你知道什么是省刻度尺吗?你知道量角器的的演变过程吗?你知道怎么用圆规和直尺画五角星吗?还有你知道如果有4块完全一样的非等腰直角三角板，拼一拼，搭一搭，不能重叠，能搭出边长不同的正方形来吗?老师也建议同学们课后围绕你感兴趣的内容去查资料去试着探究，相信你一定会有新的收获。
(课后的数学日记中，真有一部分学生在家长的帮助下画出了五角星，写了关于量角器和刻度尺的专项日记，令我备感惊喜和振奋。)
[教学心路]本节课我带领学生们用一副简单的三角板通过观察、拼一拼、画一画、转一转等活动演绎了数学大世界中的角、边、面、体等相关知识，由“三角板”这一主题“牵一发”而“动”学生已有知识与能力体系的“全身”，将课内外、各学科等统整起来，集成“块”，以试图能提高学生综合运用所学知识的能力，也试图以此为起点为毕业总复习打开一扇扇新窗。
关键词：小学数学；复习课；三角板
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009－010X(2011)02－0045－03
在小学数学总复习中，面对那些零碎的知识点如何系统地进行整理，使之串“点”成“线”，连“线”成“面”是考验毕业班老师的一项基本功；面对那些已知的知识点怎么做才能温故知新，深刻而不浅显，简约而不简单更是教师面临的一项挑战。
偶然，看到这样一句话：“历史上古希腊的人们曾认为数学就是哲学，哲学就是数学，哪怕是最简单的数学对象，例如1、2、3……线段、三角形、圆这些最基本的数字和几何图形也具有非常深刻的科学背景或数学思考”。于是，书桌上的一副三角板帮我打开了思路……
一、数学猜谜，引导学生用数学眼光聚焦三角板
师：我们来猜几个有趣的数学谜语吧：“八分之七，(打一个成语)”、“考试不作弊(打一数学名词)”、“这个脑袋真正灵，忽闪忽闪眨眼睛，东南西北带着它，加减乘除不费劲(打一计算工具)”、“一对亲兄弟，都有一直角，三足而鼎立，学生离不了”……
生异口同声地兴奋地说是三角板：
师：三角板对于大家来说太熟悉了，我们的数学学习中可离不开它。回想一下，它都能帮你们干什么呢?
生：画线段。
生：用一副三角板可以画一组平行线，还有垂线……
生：画角。
师：你们真是学习的有心人。用一副三角板能画山多少度的角来呢?
生：30°、45°、60°、90°。(教师板书)
二、以旧引新，探索三角板中角的奥秘
师：除了这些三角板上的角的度数可以画出来以外，还有没有其他度数的角也可以用一副三角板画出来呢?怎么想的?
生：75°，也就是把30°的角和45°的角合并起来。
生：还有120°，用30°＋90°。
(受此启发，学生依次答出105°、135°、150°、165°、180°和180°以外的角的度数)
师：除了把两个角的度数合并起来画角外，还可以怎样画也能得到一个新的度数?
生：两个角的一条边重合，比如45°和30°，就能得到一个15°的角。
师：太棒了!是不是任意一个角都能用一副三角板画出来呢?(师板书：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°、180°、270°……)我们来仔细观察这些度数，找一找其中的奥秘，你看什么样的度数可以用一副三角板画出来?
生：他们都是5的倍数。
生：不准确。5°、10°就不能画。
(讨论后)生：只要是15的倍数都能用一副三角板画出来。
师：会观察，爱动脑，真棒!按照这个规律推理，其实180°以外的角也可以用三角板画出来，只要它是15的倍数。
[教学心路]这本是四年级的一道老题，但那时只停留在操作演示的层面上。温故而知新，重新亮出此题意在使六年级学生透过现象看本质，寻找到其中的一般规律，提升数学思维水平。
三、观察思考。发现三角板中边的奥秘
1.探究含有30°角的三角板的奥秘。
师：你知道三角板的边又有什么特别之处呢?这里面也藏着一些数学知识和奥秘哟。你看，如果我们把这两块一样的含有30°角的三角板拼在一起(如图)，注意观察：拼成了一个什么三角形?它的三条边怎么样?
生：等边三角形，三个角都是60°，三条边相等。
师：受这个提示，你能不能发现其中一块三角板的某两条边之间的关系?给个提示：如果已知一块三角板斜边c＝10厘米，那么这条30°角对应的短直角边a＝?
生：5厘米。(上讲台指指说说)下面一条底边是由原来三角板的两条短直角边拼成的，而这又是一个等边三角形，所以斜边的长度等于短直角边的2倍。
师：同意吗?观察细致，思维敏捷，真棒。同桌两人把这两块一样的三角板拼在一起，互相边指边说说是怎么看出斜边和短直角边的关系的。
师：谁能用数学语言来概括一下这个发现?再给它编个字母公式。
生：如果30°角对应的边用。表示，斜边用c表示，那么c＝2a。
2.探究含有45°角的三角板的奥秘。
师：那另外一块等腰直角三角板会向我们传达什么数学信息呢?我们不妨也把两块一样的这种三角板拼在一起，拼成了什么?
生：仍然是一个等腰直角三角形。
师：操作是为了更好地思考，你认为这个大等腰直角三角形的斜边和斜边上的高之间有什么关系?你是怎么看出来的?
生：(上台边指边说)这个大等腰直角三角形的斜边是由原来的两条相等的直角边拼成的，所以斜边的长度是它的高的2倍。
师：在每个小的等腰直角三角形中，斜边和它对应的高是不是也有这样的关系?你能用数学语言完整地概括一下这个发现吗?
生：在这块等腰直角三角板中，斜边的长度是它对应高的2倍。字母公式可编为：c＝2h。
师：请你锁住思维，学以致用，解决这个问题：已知等腰直角三角形的斜边长8厘米，求这个三角形的面积。
生：先求出高8÷2＝4，再用8×4÷2算出面积。
[教学心路]三角板中边的这些特点，用什么方式能让小学生理解并印象深刻，是一件煞费苦心的事。我尝试过测量、动画等教学方式但收效甚微，直到把两块三角板放在一起，惊喜产生了。就地取材，直观生动，简练明了，符合学生认知规律和心理特点。
四、动手操作。体验三角板中面的魅力
1.拼合四边形。
师：刚才简单地一拼竟然拼出了一些数学发现，难怪有人说手是人类智慧的工具呢，接下来就让我们来比比谁的手最巧最有智慧：将两块一样的含30°角的三角板相同的边重合，拼在一起，能形成几种不同的四边形?
生同桌合作拼拼画画想想，并展示(见图)。
师：我们拼成了两种平行四边形、一种长方形，还有这种四边形叫筝形，像风筝一样，以后到高中我们会研究它。
师：操作是为了更好地思考，用你智慧的眼睛来看这些图，什么变了，什么不变?
生：面积不变，周长有变化，有长有短。
师：变与不变是我们数学学习中经常要用到的辩证关系。思考哪种四边形周长最长?为什么?
生：第一种周长最长，因为它把最短的两条直角边重合到了一起，就像我们比较两个长方体拼在一起哪种表面积最大是一个道理。
生：长方形和筝形的周长一样，因为它们都是用两条长直角边和斜边围成的。
师：有了这样的认识，相信这道题肯定难不倒你：已知一直角三角形三条边分别是3、4、5，你知道两块这样的三角板拼成的四边形周长最长是多少?最短是多少吗?
生：周长最长用(4＋5)×2
生：周长最短用(3＋4)×2 师：接下来不拼了，我们要来比比谁的空间想象能力最强，两块一样的等腰直角三角板拼在一起，能拼成多少种不同的四边形?
生思考后，请板书在黑板上。师生讨论为什么这次只有两种了。
2.“你知道吗?”
师：我们用两块一样的三角板拼在一起，竞然得到了很多不同的三角形和四边形，难怪数学家柏拉图最喜欢三角形的这两种形状，来欣赏一段资料：
你知道吗?其实，三角板是从几何王国——古希腊时期就有的。它是对两种基本图形分割而成的。(展示)当把正三角形与正方形对半切割时，便得到了两种直角三角形，这正好是我们所用的一副三角板的形式。古希腊数学家柏拉图认为，这两种三角形是最完美的形式。并且它们可以无限地分下去，只要沿着直角点作斜边的垂线，仍得到同一形状的三角形。
[教学心路]原来，几何的魅力，几何之所以能够促使人们更智慧地思考，就在于这个系统要求用尽量简单的动作、尽量简单的工具处理并不简单的事物。
3.展开想象的翅膀。
二次比拼：用四块一样的等腰直角三角板能拼成多少种图形或美丽的图案?
生四人小组分工合作，兴奋地拼拼、画画、想想，发现它们竟然能拼成等腰三角形、等腰梯形、正方形、长方形、平行四边形、小房子、小剪刀等等。
[教学心路]不亲自研究和实践，我也不知道一副三角板拼拼、画画、想想，能发现这么多有趣的数学知识，能生成那么多美妙的数学图案，能让学生那么倾情地投入探究，这也许就是简约的魅力吧!
师：短短几分钟，同学们创造了这么多的美妙，真是太棒了。我发现这个图形(如图)能给我们再带来一点启示：刚才我们做过一题：已知等腰直角三角形的斜边是8，求它的面积，现在你还有别的方法可以算出它的面积吗?
生：先算正方形的面积8×8，再除以4得到它的面积。
师：换个角度思考问题，为我们打开了另一扇智慧的窗户。
五、华丽转身，旋转着从平面到立体
师：三角板不仅可以拼着玩，还可以把它旋转着玩。我把一块含有30°角的三角板旋转一周，猜猜看会形成怎样的立体图形?
生：圆锥。
师：还可以怎么转着玩?形成什么?
生：以长直角边为轴，短直角边为半径也可以形成一圆锥。
生：以斜边为轴，还可以转出两个同底的圆锥竖在一起。
师：以不同的边为轴转出的立体图形是不一样的，而且它们的体积也不一样。
六、画龙点睛，延续探究的热情
师：这节课我们一起研究了三角板的角、边、面和它旋转后形成的体，相信你们一定对它有了新的认识。如果老师请你给它加一个修饰词的话，你认为什么词比较合适?
生：神奇的三角板。
生：有趣的三角板。
生：多姿多彩的三角板世界……
师：平时普普通通的一副三角板，竟藏着这么多数学知识，这就是数学的美——简洁、和谐、实用。
[教学心路]由角到边到面再到体，师生一起重温了平面立体图形知识一些要点，一起经历了发现、领悟和欣赏数学美的学习过程，难怪学生有那么多美好的感慨。
师：其实除了三角板，我们还有一些常用的学习工具比如圆规、直尺等，也别小看它们，其中也蕴藏着很多的数学奥秘，比如你知道什么是省刻度尺吗?你知道量角器的的演变过程吗?你知道怎么用圆规和直尺画五角星吗?还有你知道如果有4块完全一样的非等腰直角三角板，拼一拼，搭一搭，不能重叠，能搭出边长不同的正方形来吗?老师也建议同学们课后围绕你感兴趣的内容去查资料去试着探究，相信你一定会有新的收获。
(课后的数学日记中，真有一部分学生在家长的帮助下画出了五角星，写了关于量角器和刻度尺的专项日记，令我备感惊喜和振奋。)
[教学心路]本节课我带领学生们用一副简单的三角板通过观察、拼一拼、画一画、转一转等活动演绎了数学大世界中的角、边、面、体等相关知识，由“三角板”这一主题“牵一发”而“动”学生已有知识与能力体系的“全身”，将课内外、各学科等统整起来，集成“块”，以试图能提高学生综合运用所学知识的能力，也试图以此为起点为毕业总复习打开一扇扇新窗。