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【摘要】数学本身是立足于激发联想、开拓创新的一门应用学科，学习数学需要具有严谨的逻辑思维和丰富的想象力。而传统的教学中存在一系列问题，导致教师在教学中仍然选择“题海战”，严重制约了学习者的思考空间。针对这一情况，本文以具体初中教学为例，结合最新的中考命题，就如何在日常教学中培养学生发散性思维和聚合思维的融合运用展开探讨。
【关键词】发散思维 聚合思维 运用 培养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）17-0148-02
引言
时代在进步，教育在发展。新世纪的教育，特别重视学生多维智力的发展，也就是立体思维的培养。立体思维也可称为空间思维、整体思维，是纵横统一，全方位去思考的思维方式。这种思维不受限制，由外到内多角度去观察思考问题，并克服思想的片面性，从而拓宽创新之路。有心理学家曾出这样的一道题：在一块地上种四棵树，要求树与树之间的距离相等。结果受试的学生无论画什么形状的四边形都得不到答案。后来心理学家给出答案：可以将其中一棵树种在山顶上！只要这样，其余的三棵树就可以与它构成正四面体，符合等距离。这些学生就是因为没有学会灵活运用创造性方法——立体思维法。影响这个立体思维的因素是创造思维，创造就需要各种思维的运用，包括左脑的推理、分析、归纳、总结等逻辑思维和右脑的联想、摸拟、想象等形象思维。尽管创造的过程是多么复杂，最终还是发散思维与聚合思维这两种对立思维起的核心和关键作用，是难分难解的两种思维方式。因而，我们在教学过程中要积极培养学生科学合理地运用发散思维与聚合思维。
一、发散思维与聚合思维的运用方式
发散与聚合是思维的两翼，方向虽然不同，但都是为了更好地找到一个最合理、最佳的答案或结论。这两种相反方向的思维，一个由中心向外扩散，一个往中心里聚集。发散思维是在一段时期内朝着多种方向不拘一格地去探寻各种不同的答案及途径；它表现自由发挥，视野广阔，新颖独特。聚合思维是由已知的命题或事实为起点，有方向、有条理的收敛；或是从不同来源、不同层次、不同材料探求出正确的答案；它遵循严谨周密、实事求是、重视验证。两种思维都是相辅相成、密切联系的，都是解决问题不可缺少的。发散思维给聚合思维提供广阔的信息之源，聚合思维反过来为发散思维提供科学的依据，使发散思维不会变成胡编滥造。在日常的数学教学思维中，两者是交叉并存的。例如，当面对一道要提供一个答案的填空題时，就会有若干个联想产生——发散；当陈述完题目，明白了题意和需要填的性质或形式——聚合；然后，思考可能出现的几个答案——发散；最后，逐个加以验证，放弃不合适的设想，选取其中最符合要求的答案——聚合。可见，发散思维和聚合思维在数学探索问题答案思维过程中是紧密联系交替使用、缺一不可的。因而，我们教师在传授知识时，既要重视培养学生的发散思维，又不能忽视聚合思维的培养，这样才能更好地促进学生创新的思维发展，提高学习的实践能力。
二、发散性思维和聚合思维在数学教学的培养
在数学教学中，合理运用发散思维与聚合思维可以有效地帮助学生树立科学的抽象思维和推理能力，培养学生创造性思维。因而，如何有效培养学生的发散、聚合思维能力的运用是值得我们进一步去探讨。下文在课本的基础上，选用数学中考题目为例探究有关的培养方法。
㈠“一题多考”培养发散思维和聚合思维的深刻性
随着新课改的推进，中考试题涉及面越来越广，形式多变，而且越加注重考查学生的应变力和理解力。中考数学试题逐步表现出素材广、形式多、花样新的特点，更加着眼于对学生的应变能力和潜能的考查。这类问题多见于开放性的题型，每年开放性的试题成为了各地命题的焦点，“一题多考”恰恰是培养学生运用发散思维和聚合思维解答这类试题能力的有效方法。
如填空题：（2013 浙江省义乌市）14.如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段）.你添加的条件是_______。
（2013 湖南省常德市）请写一个图像在第二，四象限的反比例函数解析式：_________。
开放性题型是各地中考常考题型，此类题型答案不唯一固定，是发散性思维的具体表现。但解答时却必须知道题目所考的知识点，根据相关理论作答，这又需要聚合思维。在广州近五年中考中，此类的题目考得相当多，近年来直接放在最后两题来考。下表对近5年广州中考开放性题目做了一个统计：
从表中可以看到，题目放置越来越后，2016甚至把这个问题直接放到压轴题了。虽然是最后一问，但题目并不是“高不可攀”的，我们可以尝试用聚合思维先引导学生以画图入手，敢于触碰，题目取分的可能性就加大了。以考题为例：
【例1】25.如图10，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B、D重合），∠ACB=∠ABD=45°。
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证：AC=BC+CD
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。
面对第（3）问，学生最容易联想到的是勾股定理。但当把图形构造起来后，学生马上会发现三条线段中以DM为最长，但这三条线段不在同一三角形中，无法构成直角三角形。我们就要引导学生发散思维联想运用所学的知识，然后把思维聚合回来考虑线段等量代换方法。类似的问题，在我们的教材中其实有很多体现。
【例2】（九年级教材）已知如图所示，AB是O的直径，C、D是半圆弧上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE相交于点F，①AD=CD；②DE⊥AB；③AF=DF。
⑴写出以“①②③中的任意两个为条件，推出第三个（结论）”的一个正确命题，并加以证明； ⑵以“①②③中的任意两个为条件，推出第三个（结论）”可以组成多少个正确的命题？
我们不妨可以发散思维把题目条件“C、D是半圆弧上的两点”稍作改动为“C、D是圆上的两点”。两个问题对比之下，学生就很容易发现题目要进行分类讨论，将思维聚合求出正确答案。同一问题，不同角度进行思索，改变学生“死记硬背”的思考模式，“一题多考”能进一步挖掘出题目深度。
㈡“一题巧解”培养发散思维和聚合思维的灵活性
“一题巧解”是老师们喜欢的解题方式，也是激发学生学习兴趣的有效方法。在探索不同的解答过程中，往往能碰撞学生思维的火花，收到意外惊喜。在解题过程中，思维发散寻求不同解答，再思维聚合对多种思路进行鉴别与筛选。
【例3】 （2016广州）8.若一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ C ）
（A）ab>0 （B）a-b>0 （C）a2+b>0 （D）a+b>0
解析：本题考查了一次函数性质、不等式及其性质。
解法1：利用条件“一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限”画出对应函数图像，由此判断得出：a<0，b>0，然后分别计算ab<0，a-b<0，a+b结果不确定。而C选项中，a2>0，所以a2+b>0必定成立。
解法2：同样根据条件“一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限”，设a=-1，b=1分别代入选项，检验正确性，显然只有C是正确的。
【例4】 （2016广州）23.如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（），点D的坐标为（0，1）。
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标。
不断寻求新的解题方法，从而找到更好、更简、更巧、更美的解法，能使各个知识之间得到更好的纵横联系，更好地培养学生的发散、聚合思维和创新能力。
㈢“变式训练”培养发散思维和聚合思维的广阔性
简单地把类似的题目堆砌在一起，然后让学生重复练习，这种做法毫无意义，是在走回头路，实际就是陷入题海战，学生只会越学越乏味。现所提的“变式训练”是旧名词，新做法。变式就是要抓住问题的本质，通过变换思维发散，引导学生掌握变异规律，再把思维适当聚合运用所学的知识点解决新问题。新的教材对这一观点做了生动的诠释，如人教版《数学 七年级 下册》P5。在引入了垂线的定义后，课本抛出探究的空间，由此引发学生寻找“垂线段最短”这一公理。以下借助中考题探索变式训练。
【例5】（2016广州）18.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数.
变式：图中，条件“矩形 ABCD”改变为“正方形ABCD”，其余条件不改变，问：∠ABD的度数会变化吗？
这时，老师可以引导学生“能否单独改变四边形ABCD的形状，而能维持其它条件及问题结论不变”，运用思维发散改变条件，学生就容易从矩形的性质转化成正方形的性质，把思维聚合回来找到解答方法。
结束语
数学是一门讲究思维过程的学科，而发散性思维和聚合思维则是学好数学的关键。结合新的思维方式进行教学，留足够的空间给予学生思考，使学生学会举一反三，让学生在思考的过程中享受数学的乐趣，这就是我们需要思维教学。
参考文献：
[1]李白利.浅谈知识的收敛和思维的发散的必要性.新教师教学.2016年第06期.81页
[2]赵海洋.初中数学发散性思维能力的培养策略.佳木斯教育学院学报.2012年第1期.192-193
[3]房登琼.初中数学教学中创造思维的培养.德阳教育学院学报.2001年12月.86
[4]王井影.中考与高考中的数学开放题研究.硕士学位论文.2010年5月
作者简介：
林燕婷（1978-），女，广东省清遠市人，本科，广州市南武中学教导处副主任，研究方向：数学教育、微课在数学教育学中的应用。
【关键词】发散思维 聚合思维 运用 培养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）17-0148-02
引言
时代在进步，教育在发展。新世纪的教育，特别重视学生多维智力的发展，也就是立体思维的培养。立体思维也可称为空间思维、整体思维，是纵横统一，全方位去思考的思维方式。这种思维不受限制，由外到内多角度去观察思考问题，并克服思想的片面性，从而拓宽创新之路。有心理学家曾出这样的一道题：在一块地上种四棵树，要求树与树之间的距离相等。结果受试的学生无论画什么形状的四边形都得不到答案。后来心理学家给出答案：可以将其中一棵树种在山顶上！只要这样，其余的三棵树就可以与它构成正四面体，符合等距离。这些学生就是因为没有学会灵活运用创造性方法——立体思维法。影响这个立体思维的因素是创造思维，创造就需要各种思维的运用，包括左脑的推理、分析、归纳、总结等逻辑思维和右脑的联想、摸拟、想象等形象思维。尽管创造的过程是多么复杂，最终还是发散思维与聚合思维这两种对立思维起的核心和关键作用，是难分难解的两种思维方式。因而，我们在教学过程中要积极培养学生科学合理地运用发散思维与聚合思维。
一、发散思维与聚合思维的运用方式
发散与聚合是思维的两翼，方向虽然不同，但都是为了更好地找到一个最合理、最佳的答案或结论。这两种相反方向的思维，一个由中心向外扩散，一个往中心里聚集。发散思维是在一段时期内朝着多种方向不拘一格地去探寻各种不同的答案及途径；它表现自由发挥，视野广阔，新颖独特。聚合思维是由已知的命题或事实为起点，有方向、有条理的收敛；或是从不同来源、不同层次、不同材料探求出正确的答案；它遵循严谨周密、实事求是、重视验证。两种思维都是相辅相成、密切联系的，都是解决问题不可缺少的。发散思维给聚合思维提供广阔的信息之源，聚合思维反过来为发散思维提供科学的依据，使发散思维不会变成胡编滥造。在日常的数学教学思维中，两者是交叉并存的。例如，当面对一道要提供一个答案的填空題时，就会有若干个联想产生——发散；当陈述完题目，明白了题意和需要填的性质或形式——聚合；然后，思考可能出现的几个答案——发散；最后，逐个加以验证，放弃不合适的设想，选取其中最符合要求的答案——聚合。可见，发散思维和聚合思维在数学探索问题答案思维过程中是紧密联系交替使用、缺一不可的。因而，我们教师在传授知识时，既要重视培养学生的发散思维，又不能忽视聚合思维的培养，这样才能更好地促进学生创新的思维发展，提高学习的实践能力。
二、发散性思维和聚合思维在数学教学的培养
在数学教学中，合理运用发散思维与聚合思维可以有效地帮助学生树立科学的抽象思维和推理能力，培养学生创造性思维。因而，如何有效培养学生的发散、聚合思维能力的运用是值得我们进一步去探讨。下文在课本的基础上，选用数学中考题目为例探究有关的培养方法。
㈠“一题多考”培养发散思维和聚合思维的深刻性
随着新课改的推进，中考试题涉及面越来越广，形式多变，而且越加注重考查学生的应变力和理解力。中考数学试题逐步表现出素材广、形式多、花样新的特点，更加着眼于对学生的应变能力和潜能的考查。这类问题多见于开放性的题型，每年开放性的试题成为了各地命题的焦点，“一题多考”恰恰是培养学生运用发散思维和聚合思维解答这类试题能力的有效方法。
如填空题：（2013 浙江省义乌市）14.如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段）.你添加的条件是_______。
（2013 湖南省常德市）请写一个图像在第二，四象限的反比例函数解析式：_________。
开放性题型是各地中考常考题型，此类题型答案不唯一固定，是发散性思维的具体表现。但解答时却必须知道题目所考的知识点，根据相关理论作答，这又需要聚合思维。在广州近五年中考中，此类的题目考得相当多，近年来直接放在最后两题来考。下表对近5年广州中考开放性题目做了一个统计：
从表中可以看到，题目放置越来越后，2016甚至把这个问题直接放到压轴题了。虽然是最后一问，但题目并不是“高不可攀”的，我们可以尝试用聚合思维先引导学生以画图入手，敢于触碰，题目取分的可能性就加大了。以考题为例：
【例1】25.如图10，点C为△ABD外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B、D重合），∠ACB=∠ABD=45°。
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连接CD，求证：AC=BC+CD
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。
面对第（3）问，学生最容易联想到的是勾股定理。但当把图形构造起来后，学生马上会发现三条线段中以DM为最长，但这三条线段不在同一三角形中，无法构成直角三角形。我们就要引导学生发散思维联想运用所学的知识，然后把思维聚合回来考虑线段等量代换方法。类似的问题，在我们的教材中其实有很多体现。
【例2】（九年级教材）已知如图所示，AB是O的直径，C、D是半圆弧上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE相交于点F，①AD=CD；②DE⊥AB；③AF=DF。
⑴写出以“①②③中的任意两个为条件，推出第三个（结论）”的一个正确命题，并加以证明； ⑵以“①②③中的任意两个为条件，推出第三个（结论）”可以组成多少个正确的命题？
我们不妨可以发散思维把题目条件“C、D是半圆弧上的两点”稍作改动为“C、D是圆上的两点”。两个问题对比之下，学生就很容易发现题目要进行分类讨论，将思维聚合求出正确答案。同一问题，不同角度进行思索，改变学生“死记硬背”的思考模式，“一题多考”能进一步挖掘出题目深度。
㈡“一题巧解”培养发散思维和聚合思维的灵活性
“一题巧解”是老师们喜欢的解题方式，也是激发学生学习兴趣的有效方法。在探索不同的解答过程中，往往能碰撞学生思维的火花，收到意外惊喜。在解题过程中，思维发散寻求不同解答，再思维聚合对多种思路进行鉴别与筛选。
【例3】 （2016广州）8.若一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ C ）
（A）ab>0 （B）a-b>0 （C）a2+b>0 （D）a+b>0
解析：本题考查了一次函数性质、不等式及其性质。
解法1：利用条件“一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限”画出对应函数图像，由此判断得出：a<0，b>0，然后分别计算ab<0，a-b<0，a+b结果不确定。而C选项中，a2>0，所以a2+b>0必定成立。
解法2：同样根据条件“一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、四象限”，设a=-1，b=1分别代入选项，检验正确性，显然只有C是正确的。
【例4】 （2016广州）23.如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（），点D的坐标为（0，1）。
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标。
不断寻求新的解题方法，从而找到更好、更简、更巧、更美的解法，能使各个知识之间得到更好的纵横联系，更好地培养学生的发散、聚合思维和创新能力。
㈢“变式训练”培养发散思维和聚合思维的广阔性
简单地把类似的题目堆砌在一起，然后让学生重复练习，这种做法毫无意义，是在走回头路，实际就是陷入题海战，学生只会越学越乏味。现所提的“变式训练”是旧名词，新做法。变式就是要抓住问题的本质，通过变换思维发散，引导学生掌握变异规律，再把思维适当聚合运用所学的知识点解决新问题。新的教材对这一观点做了生动的诠释，如人教版《数学 七年级 下册》P5。在引入了垂线的定义后，课本抛出探究的空间，由此引发学生寻找“垂线段最短”这一公理。以下借助中考题探索变式训练。
【例5】（2016广州）18.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数.
变式：图中，条件“矩形 ABCD”改变为“正方形ABCD”，其余条件不改变，问：∠ABD的度数会变化吗？
这时，老师可以引导学生“能否单独改变四边形ABCD的形状，而能维持其它条件及问题结论不变”，运用思维发散改变条件，学生就容易从矩形的性质转化成正方形的性质，把思维聚合回来找到解答方法。
结束语
数学是一门讲究思维过程的学科，而发散性思维和聚合思维则是学好数学的关键。结合新的思维方式进行教学，留足够的空间给予学生思考，使学生学会举一反三，让学生在思考的过程中享受数学的乐趣，这就是我们需要思维教学。
参考文献：
[1]李白利.浅谈知识的收敛和思维的发散的必要性.新教师教学.2016年第06期.81页
[2]赵海洋.初中数学发散性思维能力的培养策略.佳木斯教育学院学报.2012年第1期.192-193
[3]房登琼.初中数学教学中创造思维的培养.德阳教育学院学报.2001年12月.86
[4]王井影.中考与高考中的数学开放题研究.硕士学位论文.2010年5月
作者简介：
林燕婷（1978-），女，广东省清遠市人，本科，广州市南武中学教导处副主任，研究方向：数学教育、微课在数学教育学中的应用。