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【摘要】选择题是高考命题的一种题型,除了考查学生的基础知识、基本技能外,还肩负着“速度测试”的功能.这就要求在平时的教学中,教师要帮助学生掌握一定的解题方法与技巧.
【关键词】数学选择题;解题方法;解题技巧
在近几年的高三数学教学中,我发现许多学生在解数学选择题时,存在“小题大做,准确率低”的通病.高考是一种选拔性考试,在大题量、限时的形势下,不但要求准确,对解题过程的简明、快捷也有很高的要求.因此,在平时的教学中,教师要帮助学生掌握一定的解题方法与技巧,能正确、快捷地解好数学选择题.现在我介绍几种行之有效的方法.
一、概念辨析法
每份高考命题试卷都有一定比例的基础题,但基础不等于简单和容易.这基础题是强化通性通法的考查,这就要求学生要在理解的基础上,熟记教材中的定义、公式、性质、公理和定理.
有一类题目被称为“一步题”,在解题时,直接用这些知识解决问题.如:
例1 若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于().
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{1,2}
D.{0}
分析 由并集的概念可知,答案为A.
例2 函数f(x)=lg(x-1)的定义域是().
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.[1,+∞)
D.[2,+∞)
分析 由对数函数的性质(真数大于0),可得x-1>0,从而答案为B.
同时,高考命题不会停留在对定义、公式、定理的表面理解上,一般在基础题里会设置一些小障碍和小陷阱.如:
例3 若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则().
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
分析 f(x)与g(x)的解析式都相对复杂,但这题是考查函数奇偶性的定义的,只要理解奇偶函数的定义就能推知答案.由f(-x)=3-x+3x,从而有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数;由g(-x)=3-x-3x,从而有g(-x)=-g(x),故g(x)为奇函数.答案为D.
二、以形助数法
“以形助数”是数形结合的一种数学思想方法,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化.“以形助数”能使我们更好理解题意,尽可能地减少计算量,主要体现在解析几何的习题里.如:
例4 设x,y满足2x+y≥4,x-y≥-1,x-2y≤2,则z=x+y().
A.有最小值2,最大值3
B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值
D.无最小值,无最大值
分析 将z=x+y化为y=-x+z,z的几何意义是经过点(x,y),斜率为-1的直线L:y=-x+z的纵截距;而点(x,y)要满足不等式组2x+y≥4,x-y≥-1,x-2y≤2,即点(x,y)要在由直线2x+y=4,直线x-y=-1,直线x-2y=2围成的可行区域内(如图阴影部分,包括边界).
易知,当直线L过C(2,0)时,L:y=-x+z的纵截距z最小.把x+2,y=0代入z=x+y,从而求得z的最小值2,但z无最大值.故选B.
例5 如果实数x,y满足(x-2)2+y2=3,那么yx的最大值是().
A.12
B.33
C.32
D.3
分析 yx=y-0x-0,其几何意义是过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,而满足等式(x-2)2+y2=3的点(x,y)在以(2,0)为圆心,半径为3的圆上.如图,则问题转化为圆上的点与原点连线的斜率的最大值,此最值在与圆相切的情形产生,易知为3.故选D.
三、转换思维角度法
有许多知识是相互联系的.如果就题目本身所提供的信息,只从一个角度思考,有时会找不到思路;或虽有思路,但计算量大.这时,若能利用知识间的相互联系,换个角度来分析,则往往能化繁为简.
例6 函数y=ex-e-x2的反函数.
A.是奇函数,在(0,+∞)上是减函数
B.是偶函数,在(0,+∞)上是减函数
C.是奇函数,在(0,+∞)上是增函数
D.是偶函数,在(0,+∞)上是增函数
分析 若直接求出反函数,再判别其奇偶性和单调性,不但耗时耗力,且出错率高.考虑到反函数与原函数有相同的单调性和相同的奇偶性,解题时可以换个角度思考,考虑原函数的奇偶性和单调性.显然原函数y=ex-e-x2为奇函数,且在(0,+∞)上是单调递增,故其反函数为奇函数,且也在(0,+∞)上是单调递增.故选C.
例7 不等式组x>-1,3-x3+x>2-x2+x的解集是().
A.{x|0 B.{x|0 C.{x|0 D.{x|0 分析 若根据题目本身提供的条件去解不等式,则运算繁琐.若我们利用不等式与方程之间的紧密关系:不等式解集的上界、下界与相应方程的解有关,从方程的角度来处理问题,则能简化计算.
考察方程3-x3+x=2-x2+x在x>-1的条件下的解:由3-x3+x=±2-x2+x,不难解得x=0或x=±6.因为x>-1,所以x=0或x=6.此时,已不难从四个选项中找出正确的答案{x|0 四、特殊检验法
寻求寓于一般性中的特殊性,将研究的问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形去考察,以充分条件代充要条件,这对提高解选择题的效率不失为一种有效的方法.如:
例8 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为().
A.130
B.170
C.210
D.260
分析 取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1=70.
从而公差d=40,故a3=a2+d=110.
∴S3=S2+a3=110.故选C.
例9 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF,QF的长分别为p,q,则1p+1q的值为().
A.4a
B.3a
C.2a
D.5a
分析 此抛物线的焦点在y轴上,为F0,14a.取直线与y轴垂直的情形来分析,即当y=14a时,x=-12a或x=12a,即p=q=12a.所以1p+1q=4a.故选择A.
五、排除法
选择题只关注正确答案,不必作精确的计算.在选择题中,有许多信息就包含在选项中,故解选择题往往可以打破常规,充分利用题目条件和选项,本着多思考、少计算、特殊化的原则进行解答.如:
例10 下列函数中,在区间0,π2上为增函数且以π为周期的函数是().
A.y=sinx2
B.y=sinx
C.y=-tanx
D.y=-cos2x
分析 由函数以π为周期,可排除A,B;由函数在区间0,π2上为增函数,可排除C.故选D.
例11 函数f(x)=log2|x|,g(x)=-x2+2,则f(x)•g(x)的图像只可能是().
分析 因为f(x)与g(x)都是偶函数,所以f(x)•g(x)也是偶函数,图像关于y轴对称,由此可排除A,D.又由x→+∞时,f(x)•g(x)→-∞,可排除B.故选C.
在高考的《考试说明》中对运算能力也有这样的要求:“能分析条件寻求设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.”许多学生因为速度慢,解客观题耗时过多,这事实上是一种隐性的失分,因为它占了主观题的解答时间.所以,教师要帮助学生掌握合理、简捷的方法去解选择题.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】数学选择题;解题方法;解题技巧
在近几年的高三数学教学中,我发现许多学生在解数学选择题时,存在“小题大做,准确率低”的通病.高考是一种选拔性考试,在大题量、限时的形势下,不但要求准确,对解题过程的简明、快捷也有很高的要求.因此,在平时的教学中,教师要帮助学生掌握一定的解题方法与技巧,能正确、快捷地解好数学选择题.现在我介绍几种行之有效的方法.
一、概念辨析法
每份高考命题试卷都有一定比例的基础题,但基础不等于简单和容易.这基础题是强化通性通法的考查,这就要求学生要在理解的基础上,熟记教材中的定义、公式、性质、公理和定理.
有一类题目被称为“一步题”,在解题时,直接用这些知识解决问题.如:
例1 若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于().
A.{0,1,2,3,4}
B.{1,2,3,4}
C.{1,2}
D.{0}
分析 由并集的概念可知,答案为A.
例2 函数f(x)=lg(x-1)的定义域是().
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.[1,+∞)
D.[2,+∞)
分析 由对数函数的性质(真数大于0),可得x-1>0,从而答案为B.
同时,高考命题不会停留在对定义、公式、定理的表面理解上,一般在基础题里会设置一些小障碍和小陷阱.如:
例3 若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则().
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
分析 f(x)与g(x)的解析式都相对复杂,但这题是考查函数奇偶性的定义的,只要理解奇偶函数的定义就能推知答案.由f(-x)=3-x+3x,从而有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数;由g(-x)=3-x-3x,从而有g(-x)=-g(x),故g(x)为奇函数.答案为D.
二、以形助数法
“以形助数”是数形结合的一种数学思想方法,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化.“以形助数”能使我们更好理解题意,尽可能地减少计算量,主要体现在解析几何的习题里.如:
例4 设x,y满足2x+y≥4,x-y≥-1,x-2y≤2,则z=x+y().
A.有最小值2,最大值3
B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最小值
D.无最小值,无最大值
分析 将z=x+y化为y=-x+z,z的几何意义是经过点(x,y),斜率为-1的直线L:y=-x+z的纵截距;而点(x,y)要满足不等式组2x+y≥4,x-y≥-1,x-2y≤2,即点(x,y)要在由直线2x+y=4,直线x-y=-1,直线x-2y=2围成的可行区域内(如图阴影部分,包括边界).
易知,当直线L过C(2,0)时,L:y=-x+z的纵截距z最小.把x+2,y=0代入z=x+y,从而求得z的最小值2,但z无最大值.故选B.
例5 如果实数x,y满足(x-2)2+y2=3,那么yx的最大值是().
A.12
B.33
C.32
D.3
分析 yx=y-0x-0,其几何意义是过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,而满足等式(x-2)2+y2=3的点(x,y)在以(2,0)为圆心,半径为3的圆上.如图,则问题转化为圆上的点与原点连线的斜率的最大值,此最值在与圆相切的情形产生,易知为3.故选D.
三、转换思维角度法
有许多知识是相互联系的.如果就题目本身所提供的信息,只从一个角度思考,有时会找不到思路;或虽有思路,但计算量大.这时,若能利用知识间的相互联系,换个角度来分析,则往往能化繁为简.
例6 函数y=ex-e-x2的反函数.
A.是奇函数,在(0,+∞)上是减函数
B.是偶函数,在(0,+∞)上是减函数
C.是奇函数,在(0,+∞)上是增函数
D.是偶函数,在(0,+∞)上是增函数
分析 若直接求出反函数,再判别其奇偶性和单调性,不但耗时耗力,且出错率高.考虑到反函数与原函数有相同的单调性和相同的奇偶性,解题时可以换个角度思考,考虑原函数的奇偶性和单调性.显然原函数y=ex-e-x2为奇函数,且在(0,+∞)上是单调递增,故其反函数为奇函数,且也在(0,+∞)上是单调递增.故选C.
例7 不等式组x>-1,3-x3+x>2-x2+x的解集是().
A.{x|0
考察方程3-x3+x=2-x2+x在x>-1的条件下的解:由3-x3+x=±2-x2+x,不难解得x=0或x=±6.因为x>-1,所以x=0或x=6.此时,已不难从四个选项中找出正确的答案{x|0
寻求寓于一般性中的特殊性,将研究的问题从原有范围缩小到较小范围或个别情形去考察,以充分条件代充要条件,这对提高解选择题的效率不失为一种有效的方法.如:
例8 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为().
A.130
B.170
C.210
D.260
分析 取m=1,则a1=S1=30,a2=S2-S1=70.
从而公差d=40,故a3=a2+d=110.
∴S3=S2+a3=110.故选C.
例9 过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF,QF的长分别为p,q,则1p+1q的值为().
A.4a
B.3a
C.2a
D.5a
分析 此抛物线的焦点在y轴上,为F0,14a.取直线与y轴垂直的情形来分析,即当y=14a时,x=-12a或x=12a,即p=q=12a.所以1p+1q=4a.故选择A.
五、排除法
选择题只关注正确答案,不必作精确的计算.在选择题中,有许多信息就包含在选项中,故解选择题往往可以打破常规,充分利用题目条件和选项,本着多思考、少计算、特殊化的原则进行解答.如:
例10 下列函数中,在区间0,π2上为增函数且以π为周期的函数是().
A.y=sinx2
B.y=sinx
C.y=-tanx
D.y=-cos2x
分析 由函数以π为周期,可排除A,B;由函数在区间0,π2上为增函数,可排除C.故选D.
例11 函数f(x)=log2|x|,g(x)=-x2+2,则f(x)•g(x)的图像只可能是().
分析 因为f(x)与g(x)都是偶函数,所以f(x)•g(x)也是偶函数,图像关于y轴对称,由此可排除A,D.又由x→+∞时,f(x)•g(x)→-∞,可排除B.故选C.
在高考的《考试说明》中对运算能力也有这样的要求:“能分析条件寻求设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.”许多学生因为速度慢,解客观题耗时过多,这事实上是一种隐性的失分,因为它占了主观题的解答时间.所以,教师要帮助学生掌握合理、简捷的方法去解选择题.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文