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一、让学生树立科学验证的意识,别止步于猜想
数学课堂上经常有这样的情景,教师带领学生通过几个简单的事例推想出一定的“规律”后,就开始总结和应用“规律”。其实,从几个简单算式得到的结论只属于个别现象,还未经锤炼和验证,此时的结论只能称其为“猜想”,还不足以证明它是一条规律。只有所有的算式被验证符合这一猜想或结论,猜想才能变成规律。
如,最著名的“哥德巴赫猜想”,哥德巴赫本人在18世纪对许多偶数进行了检验,都说明这个命题是正确的。但是自然数是无限的,二百多年以后的今天,在无法对所有的偶数都进行检验和证明的情况下,人们仍然不能确定哥德巴赫的这一命题是一条定理,所以后人将它称之为“哥德巴赫猜想”。
笔者认为,通过观察、实验、归纳、类比等获得的数学猜想仅仅是数学探究的开始,教师应重视引导学生进一步寻求证据、给出证明或举出反例,学习科学的数学验证方法,培养学生严谨的数学思维习惯,促进学生创造性思维的发展。如在推导运算定律时,教师可引导学生列出一个个算式,寻找反例;在进行推论之后,提醒学生根据已学的定理和公式进行推导和证明。验证是为得出结论服务的,没有完整科学的验证,结论就毫无意义。对科学验证的学习,教师不可轻易放弃或走过场。如果验证仅仅停留于表面形式,任何场合都照葫芦画瓢,那么验证就成了“伪验证”和“形式验证”。教师要帮助学生树立科学验证的意识,别止步于猜想。
二、在数学验证的学习中,锻炼学生的分类与归纳能力
正如科学研究一样,学生提出一种假设后,还要想办法证明这种假设是否正确、合理。在小学教学中,教师并不要求学生像科学研究那样作出非常烦琐、非常严格的科学验证,但要引导学生用已学过的定理、公式、科学的方法,进行多角度、多方位的检验证明,让学生在学习验证的过程中,锻炼发散思维,打开思路,形成正确的认识,提高数学分类与归纳的能力。
案例1:“加法交换律”教学片段
师:刚才大家猜到,交换两个加数位置,和不变。请在练习本上举几个例子。
师:(巡视一圈)我发现很多同学举的都是两位数加两位数的例子,那别的情况也符合吗?
师:(学生开始举出“三位数加三位数、两位数加一位数”的例子)那有些特殊数相加也符合吗?比如,整百数、整十数。(学生开始举整百数、整十数的例子,也有开始举有关“0”“1”的例子)
(全班汇报交流)
师:为什么要举各种类型的例子?(教师点拨数学验证是数学探究的关键)
在案例1中,教师引导学生验证的过程,也是锻炼学生发散思维能力的过程,使学生不仅仅思考了“两位数加两位数”,还思考了其他多位数的相加,以及“0”“1”等特殊情况。经历这样的过程学生就能明白,验证是一个科学的、严谨的过程,应该考虑到各种不同的情况,尤其是一些特殊条件。学生在考虑不同设定条件时,锻炼了数学研究中所不可缺少的数学分类与归纳的能力。
三、在数学验证的学习中,培养学生的反思能力
科学结论的得出源于一次又一次的反思,教师要引导学生在推论过程中进行反思,如从正面证明推论的正确性,或举出一个反例否定它,让学生在正反两方面的验证中,逐步发现数学的内涵与真谛,感受到数学成就来源于不断的反思。
要想提升学生的验证能力,教师不仅要提供给学生正确的推论,还要适当让学生感受错误猜想,通过对比和反思,使学生感受到验证过程的必要,体会到结论的来之不易。
案例2:“整数除以分数”教学片段
(学生列出算式:4÷1/2)
师:我们在前面学习了分数除以整数,那么整数除以分数该怎样计算呢? 请同学们猜想一下,整数除以分数的计算方法是什么?
生1:整数除以分数等于这个整数的倒数乘分数。
生2:整数除以分数等于这个整数乘分数的倒数。
师:有两种不同的声音,请你们根据自己猜想的计算方法进行计算。
(生1板演:4÷1/2=1/4×1/2=1/8。)
(生2板演:4÷1/2=4×2=8。)
师:我们根据自己猜想的计算法则计算出了结果,请大家用学过的知识来计算这个算式,验证你们的猜想。
(讨论汇报)
生1:我把分数化成小数进行计算:4÷1/2=4÷0.5=8。
生2:我利用商不变的性质进行计算的:4÷1/2=(4×2)÷((1/2)×2)=8÷1=8。
生3:我是画图来看的,每人吃1个,正好够分给8个人。(如图)
师:大家应用以前学过的知识,通过计算验证了刚才猜想中的一个是正确的。
在案例2中,当学生出现两种不同的声音时,教师没有马上评价,而是先给学生充足的时间和空间,让学生充分运用自己已有的知识,采用转化、实验等方法进行科学论证,从而形成正确的认识。这不仅能让学生学会新知识,还能让学生学到猜想和验证的数学思想方法,提高获取知识的能力和思维的创造性。同时,这让学生意识到验证的“本质”:验证有可能证明猜想是对的,也有可能反驳猜想,结论的得出需要有力的验证。
总之,猜想、验证是学生解决问题的核心环节,数学验证与数学猜想一样重要。对学生来说,数学学习如同科学发现的过程,也是在不断演绎着“猜想—验证—再猜想—再验证”的循环过程,学生对数学知识的认识也是从模糊到清晰,从知之甚少到知之较多,最终掌握学习的方法。虽然小学数学一般不要求作严格论证,但对于学生的假设,教师可从他们已有的生活经验和思维水平入手,为他们提供足够的探索时空,组织独立或小组合作式的探索活动,让他们亲身经历尝试、探索、验证的过程,从而提高数学思维的能力。
(作者单位:河南省南乐县第二实验小学)
(责任编辑:李奇志)
数学课堂上经常有这样的情景,教师带领学生通过几个简单的事例推想出一定的“规律”后,就开始总结和应用“规律”。其实,从几个简单算式得到的结论只属于个别现象,还未经锤炼和验证,此时的结论只能称其为“猜想”,还不足以证明它是一条规律。只有所有的算式被验证符合这一猜想或结论,猜想才能变成规律。
如,最著名的“哥德巴赫猜想”,哥德巴赫本人在18世纪对许多偶数进行了检验,都说明这个命题是正确的。但是自然数是无限的,二百多年以后的今天,在无法对所有的偶数都进行检验和证明的情况下,人们仍然不能确定哥德巴赫的这一命题是一条定理,所以后人将它称之为“哥德巴赫猜想”。
笔者认为,通过观察、实验、归纳、类比等获得的数学猜想仅仅是数学探究的开始,教师应重视引导学生进一步寻求证据、给出证明或举出反例,学习科学的数学验证方法,培养学生严谨的数学思维习惯,促进学生创造性思维的发展。如在推导运算定律时,教师可引导学生列出一个个算式,寻找反例;在进行推论之后,提醒学生根据已学的定理和公式进行推导和证明。验证是为得出结论服务的,没有完整科学的验证,结论就毫无意义。对科学验证的学习,教师不可轻易放弃或走过场。如果验证仅仅停留于表面形式,任何场合都照葫芦画瓢,那么验证就成了“伪验证”和“形式验证”。教师要帮助学生树立科学验证的意识,别止步于猜想。
二、在数学验证的学习中,锻炼学生的分类与归纳能力
正如科学研究一样,学生提出一种假设后,还要想办法证明这种假设是否正确、合理。在小学教学中,教师并不要求学生像科学研究那样作出非常烦琐、非常严格的科学验证,但要引导学生用已学过的定理、公式、科学的方法,进行多角度、多方位的检验证明,让学生在学习验证的过程中,锻炼发散思维,打开思路,形成正确的认识,提高数学分类与归纳的能力。
案例1:“加法交换律”教学片段
师:刚才大家猜到,交换两个加数位置,和不变。请在练习本上举几个例子。
师:(巡视一圈)我发现很多同学举的都是两位数加两位数的例子,那别的情况也符合吗?
师:(学生开始举出“三位数加三位数、两位数加一位数”的例子)那有些特殊数相加也符合吗?比如,整百数、整十数。(学生开始举整百数、整十数的例子,也有开始举有关“0”“1”的例子)
(全班汇报交流)
师:为什么要举各种类型的例子?(教师点拨数学验证是数学探究的关键)
在案例1中,教师引导学生验证的过程,也是锻炼学生发散思维能力的过程,使学生不仅仅思考了“两位数加两位数”,还思考了其他多位数的相加,以及“0”“1”等特殊情况。经历这样的过程学生就能明白,验证是一个科学的、严谨的过程,应该考虑到各种不同的情况,尤其是一些特殊条件。学生在考虑不同设定条件时,锻炼了数学研究中所不可缺少的数学分类与归纳的能力。
三、在数学验证的学习中,培养学生的反思能力
科学结论的得出源于一次又一次的反思,教师要引导学生在推论过程中进行反思,如从正面证明推论的正确性,或举出一个反例否定它,让学生在正反两方面的验证中,逐步发现数学的内涵与真谛,感受到数学成就来源于不断的反思。
要想提升学生的验证能力,教师不仅要提供给学生正确的推论,还要适当让学生感受错误猜想,通过对比和反思,使学生感受到验证过程的必要,体会到结论的来之不易。
案例2:“整数除以分数”教学片段
(学生列出算式:4÷1/2)
师:我们在前面学习了分数除以整数,那么整数除以分数该怎样计算呢? 请同学们猜想一下,整数除以分数的计算方法是什么?
生1:整数除以分数等于这个整数的倒数乘分数。
生2:整数除以分数等于这个整数乘分数的倒数。
师:有两种不同的声音,请你们根据自己猜想的计算方法进行计算。
(生1板演:4÷1/2=1/4×1/2=1/8。)
(生2板演:4÷1/2=4×2=8。)
师:我们根据自己猜想的计算法则计算出了结果,请大家用学过的知识来计算这个算式,验证你们的猜想。
(讨论汇报)
生1:我把分数化成小数进行计算:4÷1/2=4÷0.5=8。
生2:我利用商不变的性质进行计算的:4÷1/2=(4×2)÷((1/2)×2)=8÷1=8。
生3:我是画图来看的,每人吃1个,正好够分给8个人。(如图)
师:大家应用以前学过的知识,通过计算验证了刚才猜想中的一个是正确的。
在案例2中,当学生出现两种不同的声音时,教师没有马上评价,而是先给学生充足的时间和空间,让学生充分运用自己已有的知识,采用转化、实验等方法进行科学论证,从而形成正确的认识。这不仅能让学生学会新知识,还能让学生学到猜想和验证的数学思想方法,提高获取知识的能力和思维的创造性。同时,这让学生意识到验证的“本质”:验证有可能证明猜想是对的,也有可能反驳猜想,结论的得出需要有力的验证。
总之,猜想、验证是学生解决问题的核心环节,数学验证与数学猜想一样重要。对学生来说,数学学习如同科学发现的过程,也是在不断演绎着“猜想—验证—再猜想—再验证”的循环过程,学生对数学知识的认识也是从模糊到清晰,从知之甚少到知之较多,最终掌握学习的方法。虽然小学数学一般不要求作严格论证,但对于学生的假设,教师可从他们已有的生活经验和思维水平入手,为他们提供足够的探索时空,组织独立或小组合作式的探索活动,让他们亲身经历尝试、探索、验证的过程,从而提高数学思维的能力。
(作者单位:河南省南乐县第二实验小学)
(责任编辑:李奇志)