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【编者按】模型思想是数学基本思想之一，在数学教学中有着重要的意义。如何在教学中渗透模型思想，引导学生经历数学模型的建构过程，积累数学建模经验，实现数学素养的有效提升？本期话题围绕“渗透模型思想，优化建模过程”的相关研究而展开。
一、厘清小学阶段的模型思想
1. 辨析模型思想的概念。
所謂数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构。按广义解释，凡一切数学概念、数学理论体系，各种数学公式、各个方程式，以及由公式系列构成的算法系统等都称为数学模型。按狭义解释，那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。
在小学数学教材中，蕴含的模型无处不在——数概念模型、运算模型、几何图形模型、植树模型、工程模型等。仔细分析，不难看出模型思想和符号化意识相似，都是抽象后的数、数量关系、空间形式和变化规律的表达。那么，对小学数学而言，模型思想就是要求学生在学习过程中，从相对简单到相对复杂，从相对具体到相对抽象，逐步积累经验，形成运用模型进行数学思维的习惯——即“建模”。建模过程就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种模型意义的数学结构的过程。
2. 明确模型思想的价值。
首先，有利于明晰数学本质。数学是研究数量关系和空间形式的科学，它的本质是抽象的。现在，通过由原型抽象出数学模型的实例，使得抽象的数学看得见、摸得着，避免“数学联系生活”的形式化，避免就题论题的知识传授，让学生真正感悟数学思想，发展数学理性。
其次，有利于明晰一般化思想。数学来源于生活又应用于生活，模型思想能将一个问题的解决，拓展为一类问题的解决。它能让学生清晰感受数学与生活的密切联系，感受数学的实际应用价值，从而增进自身对数学的学习兴趣和信心。
再次，有利于明晰结构化思想。数学家对数学模型各有自己的阐释，但其共同点可以归结为一句话：由原型结构抽象出数学结构。结构就是关系的组合，具有整体性。渗透模型思想，就是要启迪学生在掌握模型的主干后，进行“多题一解”与“一题多变”的变式训练，让学生在改编的过程中领悟结构化内涵，易于学生看破这些数学问题。
二、把握小学阶段模型思想的现状
1. 不能揭示数学本质，目标不准。
有些数学教师由于受传统教学方式的影响，本身又对模型思想的认识不足，在设计课堂教学时，往往在乎的还是对学生的基本知识传授，即使是一些简单易操作的探究性活动，仍认为是浪费时间。导致学生被动接受知识，不能直抵数学知识的本质。
2. 不能凸显数学思想，重点不明。
作为小学数学一种新的课堂教学方式“问题情境—建立模型—求解验证—总结应用”，已经引起一线教师的关注和实践。但是，由于教师对数学建模的认识不清，缺乏对各类知识模型化的对策，注意力过多地放在“生活情境创设”和“实际应用”的翻新上。对处于核心地位的“建立模型”忽视了实质，教学即使将数学与生活联系起来，也仅仅停留在联系的层面。这样学生也就不能通过模型的形成提高自己的思维能力，违背建模初心。
3. 不能架构整体练习，兴趣不浓。
模型思想蕴含结构化思想，要求我们将一个问题——原型的解决，拓展为一题多变的解决。然而，在平时教学的解释应用环节，大多呈现为单个实际问题的设计，是为用而用，缺少思维含量，练习忽视模型结构的设计。这样就将问题解决策略多样化，演绎成低水平的“一题多解”现象。学生掌握不了关系模型的主干，体会不到数学结构的魅力，形成不了以简驭繁的解题思路，题越做越没兴趣，形成不了模型思想。
三、融入模型思想的教学实践
1. 在概念教学中建模——统摄引领。
数学概念是学生掌握数学基本知识和基本技能的基石，它直接影响后续学习及思维能力的发展。概念分为描述性概念和定义性概念两类，主要表现为数学语言中名词、术语、符号等的含义。由于数学概念是现实生活中数量关系和空间形式的本质属性反映，因而，每一个数学概念都可以看做数学模型，每个概念是建立其他数学模型的材料。教学过程中教师需要逐步抽象、简化，不断变化数学问题的非本质属性，构建数学模型，突出数学问题的本质。
【教学片段一】
一年级学生对“加法——5+2=7”的认识。
师：谁来说说从第一幅图上看到什么？
生：有5只小兔在采蘑菇。
师：第二幅图呢？
生：有2只小兔在采蘑菇。
师：谁来把两幅图的意思连起来说？
生：小兔采蘑菇，左边有5只，右边有2只。
师：根据图的意思，请你们提一个数学问题。（一共有多少只小兔？）
师：那么一共有多少只呢？（7只，算式5+2=7）
师：结合情境图——左边有5只小兔，右边有2只小兔。要求一共有多少只，就是把5只和2只合起来，算式是5+2=7。这里的5表示什么？2表示什么？7表示什么？
师：大家能不能用小棒代替小兔子，把这一过程摆一摆呢？
师：看这个同学摆的小棒图，要求一共有多少根小棒，怎么表示呢？（5+2=7）
师：左边有5根小棒，右边有2根小棒。要求一共有多少根小棒，就是把5根和2根合起来，算式是5+2=7。这里的5表示什么？2、7又表示什么？
师：看，图中先是小兔，再是小棒，为什么都可以用同一个算式5+2=7来表示呢？
师：同学们都说得很好。那么5+2=7还可以表示生活中怎样的数学问题？请大家相互说一说。
师：这儿有加法算式“4+3=7”，谁能来说一说？
师：如果用□+□=□来表示加法，你们还能怎么说？ 上述教学片段根据低年级学生年龄特点和学习特点，由具体的实例开始，借助小棒操作进行知识的内化和强化，最后通过学生举例，以思维的发散和联想扩展理解加法的意义，从而赋予“5+2=7”更多的模型意义。重点训练了：学生对数学符号的抽象、对现实信息的概括、加法意义的举一反三学习能力。教师通过丰富的资源在开展加法教学的同时，融入加法“□+□=□”模型思想，让学生在学习数学的过程中体会到数学自身的魅力，为学生以后学习乘法、减法等内容助力。
2. 在数学规则中建模——以一当十。
数学规则指的是在小学数学学习中，大量有关数的四则计算法则、运算定律与性质、计算公式等内容。这些内容是现实生活中数量关系、空间形式、计算规律的概括与总结，具有模型意义。因此，在教学中，应当不失时机引导学生观察、探索，经历推理、归纳等数学化的过程，尝试用简练、准确的数学语言、符号语言来建构、表达模型，掌握模型主干，领悟模型的结构化，解决问题一大片，激发学生学数学、用模型的兴趣。
例如，在苏教版三下的“年、月、日”单元中，有一节“求简单的经过时间”的学习内容。这部分内容是学生认识了“1日=24时”，掌握了钟面24时在具体生活情境中的记录方法后，解决与时间知识有关的实际问题。通过解决这类问题，让学生具体感受时间的实际意义，体会数学与日常生活的广泛联系。那么，如何在学生求经过时间时体现模型思想呢？
【教学片段二】
一、初“模”：整时到整时的经过时间（时针转动）
1. 出示“节目预告”单，明确问题。
师：通过前面的学习，我们知道“节目预告”采用的是24时记时法。谁再来播送一遍？
师：同学们，就在这些节目播放的记录中，还蕴藏着与时间有关的数学问题呢！（出示问题“《动画剧场》播放了多长时间？”）你们知道吗？有办法知道吗？
2. 探索方法，交流反馈。
师：《动画剧场》是怎么播放的？（从14：00开始播放到16：00结束）播放了多长时间也就是哪段时间？（14：00到16：00这一段时间）实际多长时间，怎么得到的？
钟面上数 时间尺上看
师：看，无论是到钟面上数，还是从时间尺上看，播放的时间就是时针在钟面上转动的2大格所表示的时间，也就是从14时到16时的经过时间。（板书：经过时间）
3. 列式计算，初步表达。
师：结合刚才的所思所想，播放多长时间能不能通过列式计算解决？（16-14=2小时）
追问：16表示什么？14呢？最后结果2表示什么？
小结：结束时间-开始时间=经过时间。
二、用“模”：1小时内的经过时间（分针转动）
1. 问题：《智慧树》播放多长时间呢？试着画图求出播放时间。
2. 师生一起画线段图得到《智慧树》播放的时间。
3. 钟面上感知，实质是分针在钟面上转动经过的时间。
4. 列式计算表示：40-10=30分钟。
5. 总结建模：同学们，刚才我们一起通过讨论解决了两个节目播放时间的问题。发现节目播放时间多长就是节目从开始到结束那段经过时间，也就是相当于时针或分针在钟面上转动经过的时间。求经过时间可以直接用“结束时间-开始时间”列式计算。
三、应用巩固“模”
1. 口答：借书时间、营业时间等。（展示实际生活中出现的各种时间公示栏）
2. 关系结构化训练。
出示：老师今天早上7：00上班，工作到上午11：00，工作了多长时间？（11-7=4小时）
任务：将上面的问题改编成求其中一个条件的实际问题。
（1）求结束时间：老师今天早上7：00上班，工作了4小时，工作到什么时间结束？用24时记时法表示是（ ）。
（2）求开始时间：老师今天上午工作了4小时，工作到11：00。你知道老师是什么时间开始工作吗？
教学借助现实情境和几何直观搭起了开始时间与结束时间的桥梁，再加上语言的描述，让学生理解经过时间概念的本质，即经过时间实质是钟面时针、分针的转动所用的时间，为抽象概括“结束时间-开始时间=经过时间”这一主干关系模型厘清了思路。在应用巩固模型环节，也不是就题论题，而是启迪学生在掌握主干模型的基础上，通过编题去领悟整个模型的结构化，感悟模型的联系，提升思维含量，体会数学结构的魅力，实现做一题带一片。
3. 在解决问题中建模——举一反三。
模型思想蕴含一般化的思想。渗透模型思想的教学是通过“问题情境—建立模型—求解验证—总结应用”的模式展开的，也就是说，教师引导学生在解决一些实际问题时，通过比较、观察分析，抽象出更为一般的模式表达，将一个问题的解决，拓展为一类问题的解决，举一反三，使学生体会到“原来这些题目可以这样变，万变不离其宗”。
最为典型的就是吴正宪老师执教的“解决问题——连加”，吴老师将教材中的显性知识和隐性知识有机结合，运用“图示法”，使学生经历从实际问题中建立模型的过程，张扬了学生的个性和创造力，培养了学生的符号化意识和解决问题的创新能力。
【教学片段三】
一、复习铺垫
1. 出示小猴采桃问题：猴弟弟采了4个桃，猴哥哥采了7个桃，一共采了多少个桃？
2. 追问：为什么用加法算？
3. 表征：（1）手势表示——同学们举起双手做“把两个数合在一起”的合拢动作;（2）符号表示——板书“□+□=和”。
二、新知建模
1. 变一变出例题：猴哥哥采了7个桃，会怎么对弟弟说？顺势把“猴哥哥采了7个桃”换成“猴哥哥比弟弟多采了3个”。
2. 读题、审题、思考：要解决这个问题，想想先做什么，再做什么。你有什么要提醒大家的？
3. 请学生用画图的方式表达。
吴老师让每个进行板演的学生表达自己的想法，然后引导总结，列式计算。
最后，师生一起用手势总结——举左手表示弟弟采的桃子数，右手表示哥哥采的桃子數。右手这边没有直接告诉你是多少，就要先算出来再相加。
4. 符号表示：□+□=和，其中一个加数没有告诉我们，就要先求出来。这儿先算的是加法，以后还会遇到先算减法、乘法……
三、回顾总结：我们怎么解决问题的？有什么新的收获？
纵观整个建模过程，吴老师通过创设“小猴采桃”故事情境，给足学生表达的时间和空间，引导学生充分展现各自的思维过程，帮助每一个学生最终独立完成“连加”的建构活动，渗透了模型思想和符号意识。
（作者单位：江苏省江阴市实验小学教育集团
江苏省江阴市璜塘实验小学）
一、厘清小学阶段的模型思想
1. 辨析模型思想的概念。
所謂数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构。按广义解释，凡一切数学概念、数学理论体系，各种数学公式、各个方程式，以及由公式系列构成的算法系统等都称为数学模型。按狭义解释，那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫数学模型。
在小学数学教材中，蕴含的模型无处不在——数概念模型、运算模型、几何图形模型、植树模型、工程模型等。仔细分析，不难看出模型思想和符号化意识相似，都是抽象后的数、数量关系、空间形式和变化规律的表达。那么，对小学数学而言，模型思想就是要求学生在学习过程中，从相对简单到相对复杂，从相对具体到相对抽象，逐步积累经验，形成运用模型进行数学思维的习惯——即“建模”。建模过程就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种模型意义的数学结构的过程。
2. 明确模型思想的价值。
首先，有利于明晰数学本质。数学是研究数量关系和空间形式的科学，它的本质是抽象的。现在，通过由原型抽象出数学模型的实例，使得抽象的数学看得见、摸得着，避免“数学联系生活”的形式化，避免就题论题的知识传授，让学生真正感悟数学思想，发展数学理性。
其次，有利于明晰一般化思想。数学来源于生活又应用于生活，模型思想能将一个问题的解决，拓展为一类问题的解决。它能让学生清晰感受数学与生活的密切联系，感受数学的实际应用价值，从而增进自身对数学的学习兴趣和信心。
再次，有利于明晰结构化思想。数学家对数学模型各有自己的阐释，但其共同点可以归结为一句话：由原型结构抽象出数学结构。结构就是关系的组合，具有整体性。渗透模型思想，就是要启迪学生在掌握模型的主干后，进行“多题一解”与“一题多变”的变式训练，让学生在改编的过程中领悟结构化内涵，易于学生看破这些数学问题。
二、把握小学阶段模型思想的现状
1. 不能揭示数学本质，目标不准。
有些数学教师由于受传统教学方式的影响，本身又对模型思想的认识不足，在设计课堂教学时，往往在乎的还是对学生的基本知识传授，即使是一些简单易操作的探究性活动，仍认为是浪费时间。导致学生被动接受知识，不能直抵数学知识的本质。
2. 不能凸显数学思想，重点不明。
作为小学数学一种新的课堂教学方式“问题情境—建立模型—求解验证—总结应用”，已经引起一线教师的关注和实践。但是，由于教师对数学建模的认识不清，缺乏对各类知识模型化的对策，注意力过多地放在“生活情境创设”和“实际应用”的翻新上。对处于核心地位的“建立模型”忽视了实质，教学即使将数学与生活联系起来，也仅仅停留在联系的层面。这样学生也就不能通过模型的形成提高自己的思维能力，违背建模初心。
3. 不能架构整体练习，兴趣不浓。
模型思想蕴含结构化思想，要求我们将一个问题——原型的解决，拓展为一题多变的解决。然而，在平时教学的解释应用环节，大多呈现为单个实际问题的设计，是为用而用，缺少思维含量，练习忽视模型结构的设计。这样就将问题解决策略多样化，演绎成低水平的“一题多解”现象。学生掌握不了关系模型的主干，体会不到数学结构的魅力，形成不了以简驭繁的解题思路，题越做越没兴趣，形成不了模型思想。
三、融入模型思想的教学实践
1. 在概念教学中建模——统摄引领。
数学概念是学生掌握数学基本知识和基本技能的基石，它直接影响后续学习及思维能力的发展。概念分为描述性概念和定义性概念两类，主要表现为数学语言中名词、术语、符号等的含义。由于数学概念是现实生活中数量关系和空间形式的本质属性反映，因而，每一个数学概念都可以看做数学模型，每个概念是建立其他数学模型的材料。教学过程中教师需要逐步抽象、简化，不断变化数学问题的非本质属性，构建数学模型，突出数学问题的本质。
【教学片段一】
一年级学生对“加法——5+2=7”的认识。
师：谁来说说从第一幅图上看到什么？
生：有5只小兔在采蘑菇。
师：第二幅图呢？
生：有2只小兔在采蘑菇。
师：谁来把两幅图的意思连起来说？
生：小兔采蘑菇，左边有5只，右边有2只。
师：根据图的意思，请你们提一个数学问题。（一共有多少只小兔？）
师：那么一共有多少只呢？（7只，算式5+2=7）
师：结合情境图——左边有5只小兔，右边有2只小兔。要求一共有多少只，就是把5只和2只合起来，算式是5+2=7。这里的5表示什么？2表示什么？7表示什么？
师：大家能不能用小棒代替小兔子，把这一过程摆一摆呢？
师：看这个同学摆的小棒图，要求一共有多少根小棒，怎么表示呢？（5+2=7）
师：左边有5根小棒，右边有2根小棒。要求一共有多少根小棒，就是把5根和2根合起来，算式是5+2=7。这里的5表示什么？2、7又表示什么？
师：看，图中先是小兔，再是小棒，为什么都可以用同一个算式5+2=7来表示呢？
师：同学们都说得很好。那么5+2=7还可以表示生活中怎样的数学问题？请大家相互说一说。
师：这儿有加法算式“4+3=7”，谁能来说一说？
师：如果用□+□=□来表示加法，你们还能怎么说？ 上述教学片段根据低年级学生年龄特点和学习特点，由具体的实例开始，借助小棒操作进行知识的内化和强化，最后通过学生举例，以思维的发散和联想扩展理解加法的意义，从而赋予“5+2=7”更多的模型意义。重点训练了：学生对数学符号的抽象、对现实信息的概括、加法意义的举一反三学习能力。教师通过丰富的资源在开展加法教学的同时，融入加法“□+□=□”模型思想，让学生在学习数学的过程中体会到数学自身的魅力，为学生以后学习乘法、减法等内容助力。
2. 在数学规则中建模——以一当十。
数学规则指的是在小学数学学习中，大量有关数的四则计算法则、运算定律与性质、计算公式等内容。这些内容是现实生活中数量关系、空间形式、计算规律的概括与总结，具有模型意义。因此，在教学中，应当不失时机引导学生观察、探索，经历推理、归纳等数学化的过程，尝试用简练、准确的数学语言、符号语言来建构、表达模型，掌握模型主干，领悟模型的结构化，解决问题一大片，激发学生学数学、用模型的兴趣。
例如，在苏教版三下的“年、月、日”单元中，有一节“求简单的经过时间”的学习内容。这部分内容是学生认识了“1日=24时”，掌握了钟面24时在具体生活情境中的记录方法后，解决与时间知识有关的实际问题。通过解决这类问题，让学生具体感受时间的实际意义，体会数学与日常生活的广泛联系。那么，如何在学生求经过时间时体现模型思想呢？
【教学片段二】
一、初“模”：整时到整时的经过时间（时针转动）
1. 出示“节目预告”单，明确问题。
师：通过前面的学习，我们知道“节目预告”采用的是24时记时法。谁再来播送一遍？
师：同学们，就在这些节目播放的记录中，还蕴藏着与时间有关的数学问题呢！（出示问题“《动画剧场》播放了多长时间？”）你们知道吗？有办法知道吗？
2. 探索方法，交流反馈。
师：《动画剧场》是怎么播放的？（从14：00开始播放到16：00结束）播放了多长时间也就是哪段时间？（14：00到16：00这一段时间）实际多长时间，怎么得到的？
钟面上数 时间尺上看
师：看，无论是到钟面上数，还是从时间尺上看，播放的时间就是时针在钟面上转动的2大格所表示的时间，也就是从14时到16时的经过时间。（板书：经过时间）
3. 列式计算，初步表达。
师：结合刚才的所思所想，播放多长时间能不能通过列式计算解决？（16-14=2小时）
追问：16表示什么？14呢？最后结果2表示什么？
小结：结束时间-开始时间=经过时间。
二、用“模”：1小时内的经过时间（分针转动）
1. 问题：《智慧树》播放多长时间呢？试着画图求出播放时间。
2. 师生一起画线段图得到《智慧树》播放的时间。
3. 钟面上感知，实质是分针在钟面上转动经过的时间。
4. 列式计算表示：40-10=30分钟。
5. 总结建模：同学们，刚才我们一起通过讨论解决了两个节目播放时间的问题。发现节目播放时间多长就是节目从开始到结束那段经过时间，也就是相当于时针或分针在钟面上转动经过的时间。求经过时间可以直接用“结束时间-开始时间”列式计算。
三、应用巩固“模”
1. 口答：借书时间、营业时间等。（展示实际生活中出现的各种时间公示栏）
2. 关系结构化训练。
出示：老师今天早上7：00上班，工作到上午11：00，工作了多长时间？（11-7=4小时）
任务：将上面的问题改编成求其中一个条件的实际问题。
（1）求结束时间：老师今天早上7：00上班，工作了4小时，工作到什么时间结束？用24时记时法表示是（ ）。
（2）求开始时间：老师今天上午工作了4小时，工作到11：00。你知道老师是什么时间开始工作吗？
教学借助现实情境和几何直观搭起了开始时间与结束时间的桥梁，再加上语言的描述，让学生理解经过时间概念的本质，即经过时间实质是钟面时针、分针的转动所用的时间，为抽象概括“结束时间-开始时间=经过时间”这一主干关系模型厘清了思路。在应用巩固模型环节，也不是就题论题，而是启迪学生在掌握主干模型的基础上，通过编题去领悟整个模型的结构化，感悟模型的联系，提升思维含量，体会数学结构的魅力，实现做一题带一片。
3. 在解决问题中建模——举一反三。
模型思想蕴含一般化的思想。渗透模型思想的教学是通过“问题情境—建立模型—求解验证—总结应用”的模式展开的，也就是说，教师引导学生在解决一些实际问题时，通过比较、观察分析，抽象出更为一般的模式表达，将一个问题的解决，拓展为一类问题的解决，举一反三，使学生体会到“原来这些题目可以这样变，万变不离其宗”。
最为典型的就是吴正宪老师执教的“解决问题——连加”，吴老师将教材中的显性知识和隐性知识有机结合，运用“图示法”，使学生经历从实际问题中建立模型的过程，张扬了学生的个性和创造力，培养了学生的符号化意识和解决问题的创新能力。
【教学片段三】
一、复习铺垫
1. 出示小猴采桃问题：猴弟弟采了4个桃，猴哥哥采了7个桃，一共采了多少个桃？
2. 追问：为什么用加法算？
3. 表征：（1）手势表示——同学们举起双手做“把两个数合在一起”的合拢动作;（2）符号表示——板书“□+□=和”。
二、新知建模
1. 变一变出例题：猴哥哥采了7个桃，会怎么对弟弟说？顺势把“猴哥哥采了7个桃”换成“猴哥哥比弟弟多采了3个”。
2. 读题、审题、思考：要解决这个问题，想想先做什么，再做什么。你有什么要提醒大家的？
3. 请学生用画图的方式表达。
吴老师让每个进行板演的学生表达自己的想法，然后引导总结，列式计算。
最后，师生一起用手势总结——举左手表示弟弟采的桃子数，右手表示哥哥采的桃子數。右手这边没有直接告诉你是多少，就要先算出来再相加。
4. 符号表示：□+□=和，其中一个加数没有告诉我们，就要先求出来。这儿先算的是加法，以后还会遇到先算减法、乘法……
三、回顾总结：我们怎么解决问题的？有什么新的收获？
纵观整个建模过程，吴老师通过创设“小猴采桃”故事情境，给足学生表达的时间和空间，引导学生充分展现各自的思维过程，帮助每一个学生最终独立完成“连加”的建构活动，渗透了模型思想和符号意识。
（作者单位：江苏省江阴市实验小学教育集团
江苏省江阴市璜塘实验小学）