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摘 要：教材例、习题的改编是创造性使用教材的一个重要方面，也是中考命题的常用方法之一. 同时，教材改编题命题背景公平、教学导向正确，是培养学生数学学科核心素养的重要载体和有力支撑. 文章拟从一道改编于教材的中考试题分析和解法探讨入手，谈一谈命题实践方面的启发.
关键词：教材改编题;解法探讨;命题启发
综观近几年浙江省各地的中考数学试卷，其中出现了很多改编自教材的试题. 这些试题基于课程标准，源于教材，又高于教材，既实现了对学生“四基”“四能”的考查，又对一线教学起到了示范和引领作用.
我们常说，课程标准是纲，教材是本;课程标准是方向，教材是载体. 但教师往往很少深入研究课程标准，领悟课程标准，参悟教材，吃透教材. 这极大地影响了数学教学效果. 叶圣陶先生曾说：教材是教课的依据，要想教得好，使学生受益，还得靠教师的善于运用. 言下之意，我们的教学和评价都要重视教材、研究教材. 而基于教材例、习题的改编作为中考命题的常态化方法，正是创造性使用教材的一个缩影. 同时，教材改编题命题背景公平、教学导向正确，既有亲切感，又有挑战性，是培养学生数学学科核心素养的重要载体和有力支撑.
本文拟从一道改编于教材的中考试题分析入手，探讨解法，并且尝试用这种改编方法命制新题，为命题实践提供一些思路.
一、试题呈现
题目 （2019年浙江·嘉兴卷）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC = 6，AD = 4，求正方形PQMN的边长.
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在边BC上，N′在△ABC内，连接BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN. 小波把线段BN称为“波利亚线”.
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形.
（4）拓展：在（2）的条件下，于波利亚线BN上截取NE = NM，连接EQ，EM（如图3）. 当tan ∠NBM=3/4时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明.
试帮助小波解决“温故”“推理”“拓展”中的问题.
二、改编评析
1. 母题简析
立足教材进行试题改编，既是当下的命题导向，也是教学导向，旨在引领教师利用好教材、研究好教材，对教材例、习题的讲解重过程、抓本质、讲方法、养思维，引导学生学会类比、加工、改造、延伸、拓展，达到“异中求同，同中寻变”的效果.
上述中考试题改编自浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第149页的作业题5.
母题 如图4，有一块三角形余料ABC，它的边BC = 120 mm，高线AD = 80 mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. 问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？
这是一道经典的三角形内接矩形问题，图中已知条件较多，线段位置关系明显，有多对“A”型相似，又涉及三角形和正方形的高，故此题全面覆盖三角形相似的性质等核心知识. 图形简而不凡，意蕴深厚，思维含量较高，拓展空间较大，受到广大命题者的青睐. 近几年，以此习题为母题，改编成相关三角形内接矩形问题的中考试题比比皆是.
2. 改编简析
前述中考试题就是在上述母题的基础上，通过改变问题形态、增加几何元素、扩充定义类型、改变设问方式、提升思维含量等方法，直达改编的新境界，改编形式灵动而巧妙，改编方法大胆而有新意，改编后的中考试题属于阅读学习型问题，也是近几年的高频中考试题类型，内容丰富、构思新颖，以培养学生的主动学习能力和高阶思维养成为目的. 试题主要考查学生的阅读理解能力、自主探究能力、分析推理能力和知识迁移能力，此类学习型试题的一般架构以“给出材料—类比探究—迁移运用”為模式展开，而此题由“温故”“操作”“推理”“拓展”四部分循序推进，在母题的基础上，逐步引申、追问、强化、升华. 第（1）小题“温故”，即为母题原题，只改变数据，入口浅、难度小;第（2）小题“操作”，通过画辅助正方形衍生一个新正方形和一条新线段，引出新定义“波利亚线”，考查学生的实践操作能力和观察阅读能力;第（3）小题“推理”，要求说明新正方形由来的依据，考查学生的即时学习能力和分析推理能力;第（4）小题“拓展”，是此题的精华部分，也是试题的压分点，添加两条线段，增加设问，提升难度，体现中考试题的甄别功能，考查学生的知识迁移能力和创新运用能力.
三、解法探讨
限于篇幅，本文主要对试题第（4）小题的解题思路进行梳理.
思路1：巧设线段用相似.
由已知，设MN = 3k，BM = 4k，则BN = 5k，BQ = k，BE = 2k. 通过证明△BQE ∽ △BEM，易得∠QEM = 90°.
思路2：添加垂线证全等.
如图5，作NF⊥EM于点F. 同思路1，可知△BQE ∽ △BEM. 再证△MQE ≌ △NMF（ASA）. 可得∠QEM = ∠MFN = 90°.
思路3：构造垂直证直角.
如图6，作EF⊥BC于点F. 同思路1，设NM = 3k，BM = 4k，则MQ = NE = NM = 3k，BE = 2k，BQ = k. 由△BEF ∽ △BNM，可得EF，BF，QF，MF等相关线段长. 进而证得△EFQ ∽ △EFM. 所以∠QEM = ∠QEF + ∠FEM=∠QEF+∠EQF=90°.或进一步求出[QE=3√5/5k，EM=6√5/5k， 利用勾股定理逆定理，可得∠QEM = 90°. 思路4：借双等腰推直角.
如图7，延长ME交PQ于点H，BE交PQ于点G. 设MN = 3k，BM = 4k，则BN = 5k，BQ = k，BE = 2k. 可得GQ=3/4k，BG=5/4k. 所以GE=3/4k. 所以△GQE和△GHE为等腰三角形. 由此可得∠HEG + ∠GEQ = 90°，即∠QEM = 90°.
思路5：建系转化求直线.
如图8，以点Q为坐标原点，BC所在直线为x轴，QP所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy. 设NM = 3k，易得Q（0，0），E（0.6k，1.2k），]M（3k，0）. 可得直线QE和直线EM的解析式分别为y = 2x和y = -0.5x + 1.5. 所以QE⊥EM，即∠QEM = 90°.
思路6：三角函数结合勾股定理.
此题解法多变、构图多样、思路广进，可以直接证明直角，可以证明两个锐角互余，可以逆用勾股定理，也可以用解析法证明两直线垂直. 试题的本质是由边的关系探究角的关系，综合运用了直角三角形和等腰三角形的性质、三角形全等或相似、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、三角函数、直线解析式求法等知识. 比较分析发现，上述思路可以分两类：一是构造三角形，证明相似或全等;二是证明角为90°或两条线段的夹角等于90°.
我们提倡试题的一题多解，给试题的命制或改编提供了方向，也是试题命制或改编所追求的目标，试题的第（4）小题解法丰富、百花齐放，充分显示了它特有的教育价值：可以巩固所学知识和方法;可以训练思维的灵活性和发散性;可以从多解中寻求联系，透过现象看本质;有助于培养学生的求异、求新思维，促使学生形成科学的学科认识与学习品质，从而直指核心素养的落地.
四、命题启发
基于上述母题，从2019年浙江嘉兴卷中考试题的改编思路中获得一定启发，尝试从以下三个方面对三角形内接矩形问题进行进一步探索和改编.
1. 改进问题条件，关注几何联想
改编题1：如图9，在△ABC中，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在边AB，AC上，作PE⊥AB交MN点E.
（1）证明：BQ = EN;
（2）若在线段QM上存在点D，使得QD + NE = DP，证明PE为∠NPD的平分线.
【命题解析】三角形的内接矩形问题以解答题形式呈现的居多，或者赋予问题现实情境，要求学生解决生活中的问题. 大部分是利用相似三角形的性质或判定列出比例式求解问题. 此改编题着眼于几何联想，保持三角形中内接矩形的大背景不变，将直角三角形的全等判定、等腰三角形的性质及正方形的性质联系起来，考查学生的知识综合能力、几何联想能力、逻辑思维能力，以及基本几何图形运用能力.
解：（1）易证△BPQ ≌ △EPN（ASA），
所以BQ = EN.
（2）由（1），得△BPQ ≌ △EPN.
所以∠B = ∠NEP，∠BPQ = ∠EPN，BQ = EN.
由QD + NE = DP，
可證得△DBP为等腰三角形，
易得∠EPN = ∠DPE.
所以PE为∠NPD的平分线.
2. 改变问题形态，变更题型结论
改编题2：如图10，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在边AB，AC上.
【命题解析】此改编题的命题思路源自相似三角形中的“A”型相似，故图形与母题基本雷同，数据有微调，题型改变，有计算，侧重几何推理. 考查目标定位于相似三角形判定与性质的运用. 例如，相似三角形中的相似基本图形、相似比等于高之比，以及面积之比等于相似比的平方等性质. 此题属于三角形内接正方形问题的拓展延伸，渗透转化思想和方程思想，旨在对学生的逻辑思维能力、推理能力和运算能力等进行考查.
3. 改变问题类别，增设新定义型
改编题3：如图12，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，垂足为点E，F. 如果DE/DF=sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正平分线. 已知AB=120，边AB上的高为80.
【命题解析】此改编题改变母题的题型和呈现方式，保留三角形和内接正方形大背景，以“新定义”问题类型出现，令人耳目一新，备受关注. 此题聚焦的知识点有三角形、矩形、相似三角形、三角函数等，主要考查学生的阅读理解和分析推理能力，旨在培养学生的深度思考习惯和创新变通意识.
五、结束语
中考数学试题的命制方法有很多，基于教材经典例、习题的改编长盛不衰，这是对“回归教材，坚守课程标准”理念的传承. 命题者只有重视挖掘教材中例、习题的潜能，方能在对例、习题进行拓展变式时游刃有余. 波利亚认为，变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的想法，产生了和我们问题有关元素接触的新的可能性. 这就需要命题者以独特的视角看待教材中的数学问题，发现数学背景和数学素材，别出心裁地命制与时俱进的试题，从而使“老题”发出“新芽”、长出“新枝”、结出“新果”.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李云萍，徐伟建. 借“题”发挥，提高教学实效性：基于教材例、习题的再设计研究[J]. 中国数学教育（初中版），2019（7 / 8）：114-117，123.
关键词：教材改编题;解法探讨;命题启发
综观近几年浙江省各地的中考数学试卷，其中出现了很多改编自教材的试题. 这些试题基于课程标准，源于教材，又高于教材，既实现了对学生“四基”“四能”的考查，又对一线教学起到了示范和引领作用.
我们常说，课程标准是纲，教材是本;课程标准是方向，教材是载体. 但教师往往很少深入研究课程标准，领悟课程标准，参悟教材，吃透教材. 这极大地影响了数学教学效果. 叶圣陶先生曾说：教材是教课的依据，要想教得好，使学生受益，还得靠教师的善于运用. 言下之意，我们的教学和评价都要重视教材、研究教材. 而基于教材例、习题的改编作为中考命题的常态化方法，正是创造性使用教材的一个缩影. 同时，教材改编题命题背景公平、教学导向正确，既有亲切感，又有挑战性，是培养学生数学学科核心素养的重要载体和有力支撑.
本文拟从一道改编于教材的中考试题分析入手，探讨解法，并且尝试用这种改编方法命制新题，为命题实践提供一些思路.
一、试题呈现
题目 （2019年浙江·嘉兴卷）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展.
（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC = 6，AD = 4，求正方形PQMN的边长.
（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在边BC上，N′在△ABC内，连接BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN. 小波把线段BN称为“波利亚线”.
（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形.
（4）拓展：在（2）的条件下，于波利亚线BN上截取NE = NM，连接EQ，EM（如图3）. 当tan ∠NBM=3/4时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明.
试帮助小波解决“温故”“推理”“拓展”中的问题.
二、改编评析
1. 母题简析
立足教材进行试题改编，既是当下的命题导向，也是教学导向，旨在引领教师利用好教材、研究好教材，对教材例、习题的讲解重过程、抓本质、讲方法、养思维，引导学生学会类比、加工、改造、延伸、拓展，达到“异中求同，同中寻变”的效果.
上述中考试题改编自浙教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第149页的作业题5.
母题 如图4，有一块三角形余料ABC，它的边BC = 120 mm，高线AD = 80 mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. 问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？
这是一道经典的三角形内接矩形问题，图中已知条件较多，线段位置关系明显，有多对“A”型相似，又涉及三角形和正方形的高，故此题全面覆盖三角形相似的性质等核心知识. 图形简而不凡，意蕴深厚，思维含量较高，拓展空间较大，受到广大命题者的青睐. 近几年，以此习题为母题，改编成相关三角形内接矩形问题的中考试题比比皆是.
2. 改编简析
前述中考试题就是在上述母题的基础上，通过改变问题形态、增加几何元素、扩充定义类型、改变设问方式、提升思维含量等方法，直达改编的新境界，改编形式灵动而巧妙，改编方法大胆而有新意，改编后的中考试题属于阅读学习型问题，也是近几年的高频中考试题类型，内容丰富、构思新颖，以培养学生的主动学习能力和高阶思维养成为目的. 试题主要考查学生的阅读理解能力、自主探究能力、分析推理能力和知识迁移能力，此类学习型试题的一般架构以“给出材料—类比探究—迁移运用”為模式展开，而此题由“温故”“操作”“推理”“拓展”四部分循序推进，在母题的基础上，逐步引申、追问、强化、升华. 第（1）小题“温故”，即为母题原题，只改变数据，入口浅、难度小;第（2）小题“操作”，通过画辅助正方形衍生一个新正方形和一条新线段，引出新定义“波利亚线”，考查学生的实践操作能力和观察阅读能力;第（3）小题“推理”，要求说明新正方形由来的依据，考查学生的即时学习能力和分析推理能力;第（4）小题“拓展”，是此题的精华部分，也是试题的压分点，添加两条线段，增加设问，提升难度，体现中考试题的甄别功能，考查学生的知识迁移能力和创新运用能力.
三、解法探讨
限于篇幅，本文主要对试题第（4）小题的解题思路进行梳理.
思路1：巧设线段用相似.
由已知，设MN = 3k，BM = 4k，则BN = 5k，BQ = k，BE = 2k. 通过证明△BQE ∽ △BEM，易得∠QEM = 90°.
思路2：添加垂线证全等.
如图5，作NF⊥EM于点F. 同思路1，可知△BQE ∽ △BEM. 再证△MQE ≌ △NMF（ASA）. 可得∠QEM = ∠MFN = 90°.
思路3：构造垂直证直角.
如图6，作EF⊥BC于点F. 同思路1，设NM = 3k，BM = 4k，则MQ = NE = NM = 3k，BE = 2k，BQ = k. 由△BEF ∽ △BNM，可得EF，BF，QF，MF等相关线段长. 进而证得△EFQ ∽ △EFM. 所以∠QEM = ∠QEF + ∠FEM=∠QEF+∠EQF=90°.或进一步求出[QE=3√5/5k，EM=6√5/5k， 利用勾股定理逆定理，可得∠QEM = 90°. 思路4：借双等腰推直角.
如图7，延长ME交PQ于点H，BE交PQ于点G. 设MN = 3k，BM = 4k，则BN = 5k，BQ = k，BE = 2k. 可得GQ=3/4k，BG=5/4k. 所以GE=3/4k. 所以△GQE和△GHE为等腰三角形. 由此可得∠HEG + ∠GEQ = 90°，即∠QEM = 90°.
思路5：建系转化求直线.
如图8，以点Q为坐标原点，BC所在直线为x轴，QP所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy. 设NM = 3k，易得Q（0，0），E（0.6k，1.2k），]M（3k，0）. 可得直线QE和直线EM的解析式分别为y = 2x和y = -0.5x + 1.5. 所以QE⊥EM，即∠QEM = 90°.
思路6：三角函数结合勾股定理.
此题解法多变、构图多样、思路广进，可以直接证明直角，可以证明两个锐角互余，可以逆用勾股定理，也可以用解析法证明两直线垂直. 试题的本质是由边的关系探究角的关系，综合运用了直角三角形和等腰三角形的性质、三角形全等或相似、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、三角函数、直线解析式求法等知识. 比较分析发现，上述思路可以分两类：一是构造三角形，证明相似或全等;二是证明角为90°或两条线段的夹角等于90°.
我们提倡试题的一题多解，给试题的命制或改编提供了方向，也是试题命制或改编所追求的目标，试题的第（4）小题解法丰富、百花齐放，充分显示了它特有的教育价值：可以巩固所学知识和方法;可以训练思维的灵活性和发散性;可以从多解中寻求联系，透过现象看本质;有助于培养学生的求异、求新思维，促使学生形成科学的学科认识与学习品质，从而直指核心素养的落地.
四、命题启发
基于上述母题，从2019年浙江嘉兴卷中考试题的改编思路中获得一定启发，尝试从以下三个方面对三角形内接矩形问题进行进一步探索和改编.
1. 改进问题条件，关注几何联想
改编题1：如图9，在△ABC中，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在边AB，AC上，作PE⊥AB交MN点E.
（1）证明：BQ = EN;
（2）若在线段QM上存在点D，使得QD + NE = DP，证明PE为∠NPD的平分线.
【命题解析】三角形的内接矩形问题以解答题形式呈现的居多，或者赋予问题现实情境，要求学生解决生活中的问题. 大部分是利用相似三角形的性质或判定列出比例式求解问题. 此改编题着眼于几何联想，保持三角形中内接矩形的大背景不变，将直角三角形的全等判定、等腰三角形的性质及正方形的性质联系起来，考查学生的知识综合能力、几何联想能力、逻辑思维能力，以及基本几何图形运用能力.
解：（1）易证△BPQ ≌ △EPN（ASA），
所以BQ = EN.
（2）由（1），得△BPQ ≌ △EPN.
所以∠B = ∠NEP，∠BPQ = ∠EPN，BQ = EN.
由QD + NE = DP，
可證得△DBP为等腰三角形，
易得∠EPN = ∠DPE.
所以PE为∠NPD的平分线.
2. 改变问题形态，变更题型结论
改编题2：如图10，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在边AB，AC上.
【命题解析】此改编题的命题思路源自相似三角形中的“A”型相似，故图形与母题基本雷同，数据有微调，题型改变，有计算，侧重几何推理. 考查目标定位于相似三角形判定与性质的运用. 例如，相似三角形中的相似基本图形、相似比等于高之比，以及面积之比等于相似比的平方等性质. 此题属于三角形内接正方形问题的拓展延伸，渗透转化思想和方程思想，旨在对学生的逻辑思维能力、推理能力和运算能力等进行考查.
3. 改变问题类别，增设新定义型
改编题3：如图12，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，垂足为点E，F. 如果DE/DF=sin∠CAB，那么我们把AD叫做△ABC关于∠CAB的正平分线. 已知AB=120，边AB上的高为80.
【命题解析】此改编题改变母题的题型和呈现方式，保留三角形和内接正方形大背景，以“新定义”问题类型出现，令人耳目一新，备受关注. 此题聚焦的知识点有三角形、矩形、相似三角形、三角函数等，主要考查学生的阅读理解和分析推理能力，旨在培养学生的深度思考习惯和创新变通意识.
五、结束语
中考数学试题的命制方法有很多，基于教材经典例、习题的改编长盛不衰，这是对“回归教材，坚守课程标准”理念的传承. 命题者只有重视挖掘教材中例、习题的潜能，方能在对例、习题进行拓展变式时游刃有余. 波利亚认为，变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的想法，产生了和我们问题有关元素接触的新的可能性. 这就需要命题者以独特的视角看待教材中的数学问题，发现数学背景和数学素材，别出心裁地命制与时俱进的试题，从而使“老题”发出“新芽”、长出“新枝”、结出“新果”.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]李云萍，徐伟建. 借“题”发挥，提高教学实效性：基于教材例、习题的再设计研究[J]. 中国数学教育（初中版），2019（7 / 8）：114-117，123.