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摘要：数学教学不但要教授学生数学知识，最重要的是培养学生的数学思维意识。线性代数教学中蕴含了一定的数学思维内容，还需要教师深入挖掘，采用合理的教学方式，最终达到培养学生数学思维意识的目的。对此，本文分析了在线性代数教学中培养学生数学思维意识的几点建议，以期为相关从业人员提供参考。
关键词：线性代数 教学 数学思维意识 思考
中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2018）16-0154-02
现代社会更需要培养创新型人才，尤其是对大学教学来说，是学生即将步入社会的关键阶段，因此培养他们的创新意识和能力至关重要，能够为其走向社会后的发展奠定基础。任何大学都不可能将所有的知识都传授给学生，因此教学的最高境界就是教授学生终身学习的能力。[1]这就需要教师在教学的过程中，对学生进行潜移默化的影响。数学理论是人们站在量的角度对现实世界所有研究所获取的客观性规律，数学作为所有学科的基础，数学方法是人们研究问题、处理问题的必要条件，也是培养学生创新思维的关键所在。在线性代数教学中存在了一定的抽象思维和逻辑思维，蕴含了多种数学思想方法，是培养学生数学思维意识的重要内容。
一、从教学内容出发，与专业特点相结合
在实际教学中，一些学生虽然知道学习数学有用，但是却存在不会用、用不了的现象。对此，教师在教学过程中，还应注意与学生专业特点相结合，寻找利于学生接受的切入点，针对知识点在实际应用的特点，激发学生的学习兴趣。比如，针对电子工程学院对矩阵理论的学习，可以将分析电路作为例子，依照矩阵表征的电路特点，然后再应用矩阵理论对电路的特征、结构等展开研究；针对经济管理学的学生对矩阵理论的学习，可以将经济成本与管理决策内容作为例子；针对信息工程学院的学生对矩阵理论的学习，可将有关线性代数与图像的关系作为例子；针对机械学院的学生对矩阵理论的学习，可将现代飞行器外观设计以及机械人设计方法作为例子。[2]如此，便可激发学生的学习兴趣，达到学以致用的效果，同时也培养了学生良好的数学思维，为其日后的应用奠定基础。
（1）以经济相关专业对矩阵的学习为例，采用相关经济成本的例子作为讲解对象。
例：服装加工厂想要大批量生产两种款式衣服，分别为M和N。其中M款生产价值为100美元，需耗费25美元的原材料费用，45美元的管理费、15美元的劳动费；生产100美元的N款服装，需耗费原材料45美元，25美元管理费，10美元劳动费，即a 、b ，将a与b定义为M和N两种款式服装的“单位美元产出成本”，问：①如何解释向量100a经济？②假设该服装加工厂想要生产的M款服装为x美元，想要生产N款服装为y美元，对该服装加工厂的原材料费用、管理费用和劳动费用作出向量。
（2）以信息工程学院学生授课为例，可将特征向量在网页中的排序搜索作为例题。
例：百度该怎样将搜索到的n个网页做好排序呢？对此可采用好中心网页指向好权威网页，好权威网页被好中心网页指向的方式。将第i个网页的中枢值与权威值分别记作xi和yi，将中枢值分量与权威值分量的列项量分别用x和y表示，用A表示网页间的链接矩阵。如第i页连接到第j页，则Aij值为1，否则则为0；矩阵AAT与ATA最大特征值的特征向量分别为x和y，以y分量为依据对搜索到的网页加以排序。
上述举了两方面的例子，将线性代数和学生专业相结合能够激发学生对数学的学习兴趣，学生经过不断的学习形成良好的数学思维。这就要求教师在实际教学过程中不断积累教学经验，对教材加以充分总结归纳，为学生设置特定的教学情境，建立起一套线性代数教学案例库，为学生提供针对性的教学服务。
二、加强理论教学
教学理论与方法是数学思维与特征的载体，只有充分掌握数学基本理论，才能进一步对数学及其思维有更好的了解，进而达到培养学生数学思维的目的。因此，在教学过程中，还应让数学理论发挥自身的主体作用，促使学生掌握数学基本理论与思维方法。培养学生的数学思维、数学素养都需建立在数学基本理论与数学方法的基础之上。
在当前的大学数学理论教育中，很多学生在对大学课程学习的过程中，仅仅是应用其自身的学习经验，而没有注重对数学理论和概念的理解，只是关注数学题型和技巧，认为只要认识题型和掌握相应的数学技巧便会做题，却不知数学题型与技巧都是由数学理论发展而来，没有认识到数学理论和概念的意义。[3]除此之外，在就业与实用的影响下，大部分商科、理工科以及经管类的学生都无法静下心对数学进行学习，甚至产生恐惧心理，即便已经通过了数学课程考试，但是却并没有掌握相应的数学理论与方法。对于一些学习数学专业的学生也比较畏惧数学理论和证明，在撰写毕业论文时不愿将数学理论作为课题。这些都不利于学生对数学更好地学习，对培养学生数学思维造成不利影响。对此，教师还应对数学理论建构背景、理论框架以及数学思想、逻辑推演等内容进行重点讲解，同时教授学生一些应用例子和书数学理论间的关系等。比如，在教学矩阵教学时，便可利用理论教学培养学生的数学思维意识。
例：首先让学生认识到矩阵能够实现对一般线性方程组的求解，对比数的运算对矩阵的基本运算进行自然定义。同时，在教学过程中还应侧重于对新引入数学研究对象的深入讲解，采用类比研究法，但是本质却与数学对象完全不同，有自身独特的特點。比如矩阵乘法运算和数乘法运算、可逆矩阵记号和数学倒数等都有所不同，在对矩阵的初等变换进行讲解时，为了更好地让学生对初等变换来源进行探究，可对学生做如下引导：为对线性方程组所引入的矩阵加以解决，就需采用与Gauss消元法相应的内容进行等价变换，进一步引出矩阵的初等行变换；采用对称或者对偶的观点将初等列变换自然而然地引入[4]；给出矩阵的标准形、行最简形和行阶梯形，使学生更直观地看到从矩阵标准形变为非负整数-矩阵的秩的自然过程。最后在对矩阵的秩定义进行讲解，将线性方程组求解问题实现完整解答。采用这种方式教学能够帮助学生更好地了解数学理论的形成、变化过程，深入掌握数学理论的内涵。只有这样，才能实现数学理论的切实掌握，有助于培养学生的数学思维意识。 三、加强举例教学
采用举例教学可建立数学理论，同时也是培养学生数学思维意识的重要途径。实际上，多数数学知识理论都是经过数学研究者不断地对例子总结、分析所提炼而成。数学课本中的典型例题不仅体现出了数学基本框架，同时也体现了数学思想、方法以及实现路径。除此之外，通过一些典型例题也能帮助学生理解抽象的数学概念和理论。[5]数学习题不单单是学生掌握数学知识、数学理论和数学思想方法的途径，也是培养学生数学思维意识的必经之路。教师引导学生对习题独立处理，能够促使学生掌握相应的数学定理、数学方法、数学技巧等，久而久之便会形成良好的数学思想意识。
但是在实际教学中不难发现，很多学生虽然掌握了抽象的数学概念和定理，但是要举例子却有一定难度，没有掌握举例子的方法和技巧。另外，一些教师在教学过程中，只是对例子本身进行讲解，而忽视了对例子包含的数学理论、思想方法等进行讲解；学生对于例子的理解也只停留在表面，没有深挖；学生自主学习意识不强，通常直接参考别人答案，甚至直接抄袭。对于此类情况，为了培养学生的数学思维意识，教师还应从数学例子方面着手，在选取例子时应具有针对性、层次性[6]，引导学生独立思考完成。比如在教学1、2、3所有排列逆序数教学时，就可通过例子实现对学生数学思维意识的培养。
例：先将1、2、3的相关配列一一列出，可将这些排列页当作自然排列123置换而来。对这些排列的逆序数进行相关计算，根据逆序数的性质分成奇排列和偶排列两组，让学生找出这两组排列之间的关联性，很容易就发现1、2、3的所有奇（偶）排列都是通过某个偶（奇）配列置换而来，进一步形成（相邻）对换理论。另外，由于1、2、3中排列的奇偶分别为3个，接着引导学生对1、2、3......n的所有排列问题进行思考。通过这种举例子的方式不但能让学生对数学概念有更深的理解，同时也有助于学生形成属于自身的数学理论与感觉，进而形成数学思维意识。
四、采用多元化的考核方式
随着素质教育的实施，传统单一的以书面考试作为评价方式已经不适合当前学生发展需要，不利于培养学生的数学思维意识。对此，教师还应采取多元化的考核方式，在考试中渗透数学思维意识，可通过书面考试、课后访谈、大型作业以及小论文分析等形式进行考核。比如在布置数学建模课题时，促使学生撰写的论文以及报告必须獨立完成。在进行课题研究时，应引导学生对资源进行整合、加工和处理，经历“分析问题、建立模型、解决模型问题、检验拓展”的整个过程，以培养学生的创造型思维，从中获得成就感。[7]学生对数学知识、数学思想的灵活运用，分析、概括实际课题的过程，需要学生自身对所学知识进行提取、关联、转换和重组，提升学生的思维能力，同时也有助于培养学生的探索精神、协作精神，最终形成良好的数学思维能力。
五、结语
综上所述，培养学生的数学思维意识对其日后的发展至关重要，教师在教学过程中还应采取有效的教学方式。针对学生所学专业选取合适的教学例子；理论教学是数学知识的源头所在，因此还应加强理论教学，帮助学生了解知识的来龙去脉；加强举例教学能够强化学生的独立自主能力，形成良好的数学思维；最后采用多元化考核方式可促使学生充分思考，在不知不觉中形成数学思维。总之，线性代数教学中蕴含了丰富的培养学生数学思维的知识，还需教师深入挖掘，不断积累教学经验，采用合理的教学方式，促使学生更好地融入社会当中。
参考文献：
[1]任丽丽，欧阳君，胡鹏.MATLAB融入医学院校线性代数教学的应用与思考[J].太原学院学报（自然科学版），2016（3）：28-31.
[2]覃海英.在线性代数教学改革中融入数学建模思想的研究[J].散文百家旬刊，2016（1）：246.
[3]安润秋.搞好线性代数教学培养学生数学能力[J].好家长，2017（48）：95.
[4]杜润梅，郭明浩，孙瑶.把数学模型思想融入到线性代数教学中的思考[J].数学学习与研究，2016（9）：93.
[5]李俊华，陈艳菊.浅谈数学思想在线性代数概念教学中的应用[J].教育教学论坛，2015（10）：181-182.
[6]刘建强.谈线性代数课程中的素质教育——通过与后继课程及实际应用联系的教学实施[J].西部素质教育，2015（17）：36-37.
[7]潘大勇.线性代数教学中的应用意识培养[J].湖北工业职业技术学院学报，2016，29（6）：77-80.
责任编辑：杨国栋
关键词：线性代数 教学 数学思维意识 思考
中图分类号：O151 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2018）16-0154-02
现代社会更需要培养创新型人才，尤其是对大学教学来说，是学生即将步入社会的关键阶段，因此培养他们的创新意识和能力至关重要，能够为其走向社会后的发展奠定基础。任何大学都不可能将所有的知识都传授给学生，因此教学的最高境界就是教授学生终身学习的能力。[1]这就需要教师在教学的过程中，对学生进行潜移默化的影响。数学理论是人们站在量的角度对现实世界所有研究所获取的客观性规律，数学作为所有学科的基础，数学方法是人们研究问题、处理问题的必要条件，也是培养学生创新思维的关键所在。在线性代数教学中存在了一定的抽象思维和逻辑思维，蕴含了多种数学思想方法，是培养学生数学思维意识的重要内容。
一、从教学内容出发，与专业特点相结合
在实际教学中，一些学生虽然知道学习数学有用，但是却存在不会用、用不了的现象。对此，教师在教学过程中，还应注意与学生专业特点相结合，寻找利于学生接受的切入点，针对知识点在实际应用的特点，激发学生的学习兴趣。比如，针对电子工程学院对矩阵理论的学习，可以将分析电路作为例子，依照矩阵表征的电路特点，然后再应用矩阵理论对电路的特征、结构等展开研究；针对经济管理学的学生对矩阵理论的学习，可以将经济成本与管理决策内容作为例子；针对信息工程学院的学生对矩阵理论的学习，可将有关线性代数与图像的关系作为例子；针对机械学院的学生对矩阵理论的学习，可将现代飞行器外观设计以及机械人设计方法作为例子。[2]如此，便可激发学生的学习兴趣，达到学以致用的效果，同时也培养了学生良好的数学思维，为其日后的应用奠定基础。
（1）以经济相关专业对矩阵的学习为例，采用相关经济成本的例子作为讲解对象。
例：服装加工厂想要大批量生产两种款式衣服，分别为M和N。其中M款生产价值为100美元，需耗费25美元的原材料费用，45美元的管理费、15美元的劳动费；生产100美元的N款服装，需耗费原材料45美元，25美元管理费，10美元劳动费，即a 、b ，将a与b定义为M和N两种款式服装的“单位美元产出成本”，问：①如何解释向量100a经济？②假设该服装加工厂想要生产的M款服装为x美元，想要生产N款服装为y美元，对该服装加工厂的原材料费用、管理费用和劳动费用作出向量。
（2）以信息工程学院学生授课为例，可将特征向量在网页中的排序搜索作为例题。
例：百度该怎样将搜索到的n个网页做好排序呢？对此可采用好中心网页指向好权威网页，好权威网页被好中心网页指向的方式。将第i个网页的中枢值与权威值分别记作xi和yi，将中枢值分量与权威值分量的列项量分别用x和y表示，用A表示网页间的链接矩阵。如第i页连接到第j页，则Aij值为1，否则则为0；矩阵AAT与ATA最大特征值的特征向量分别为x和y，以y分量为依据对搜索到的网页加以排序。
上述举了两方面的例子，将线性代数和学生专业相结合能够激发学生对数学的学习兴趣，学生经过不断的学习形成良好的数学思维。这就要求教师在实际教学过程中不断积累教学经验，对教材加以充分总结归纳，为学生设置特定的教学情境，建立起一套线性代数教学案例库，为学生提供针对性的教学服务。
二、加强理论教学
教学理论与方法是数学思维与特征的载体，只有充分掌握数学基本理论，才能进一步对数学及其思维有更好的了解，进而达到培养学生数学思维的目的。因此，在教学过程中，还应让数学理论发挥自身的主体作用，促使学生掌握数学基本理论与思维方法。培养学生的数学思维、数学素养都需建立在数学基本理论与数学方法的基础之上。
在当前的大学数学理论教育中，很多学生在对大学课程学习的过程中，仅仅是应用其自身的学习经验，而没有注重对数学理论和概念的理解，只是关注数学题型和技巧，认为只要认识题型和掌握相应的数学技巧便会做题，却不知数学题型与技巧都是由数学理论发展而来，没有认识到数学理论和概念的意义。[3]除此之外，在就业与实用的影响下，大部分商科、理工科以及经管类的学生都无法静下心对数学进行学习，甚至产生恐惧心理，即便已经通过了数学课程考试，但是却并没有掌握相应的数学理论与方法。对于一些学习数学专业的学生也比较畏惧数学理论和证明，在撰写毕业论文时不愿将数学理论作为课题。这些都不利于学生对数学更好地学习，对培养学生数学思维造成不利影响。对此，教师还应对数学理论建构背景、理论框架以及数学思想、逻辑推演等内容进行重点讲解，同时教授学生一些应用例子和书数学理论间的关系等。比如，在教学矩阵教学时，便可利用理论教学培养学生的数学思维意识。
例：首先让学生认识到矩阵能够实现对一般线性方程组的求解，对比数的运算对矩阵的基本运算进行自然定义。同时，在教学过程中还应侧重于对新引入数学研究对象的深入讲解，采用类比研究法，但是本质却与数学对象完全不同，有自身独特的特點。比如矩阵乘法运算和数乘法运算、可逆矩阵记号和数学倒数等都有所不同，在对矩阵的初等变换进行讲解时，为了更好地让学生对初等变换来源进行探究，可对学生做如下引导：为对线性方程组所引入的矩阵加以解决，就需采用与Gauss消元法相应的内容进行等价变换，进一步引出矩阵的初等行变换；采用对称或者对偶的观点将初等列变换自然而然地引入[4]；给出矩阵的标准形、行最简形和行阶梯形，使学生更直观地看到从矩阵标准形变为非负整数-矩阵的秩的自然过程。最后在对矩阵的秩定义进行讲解，将线性方程组求解问题实现完整解答。采用这种方式教学能够帮助学生更好地了解数学理论的形成、变化过程，深入掌握数学理论的内涵。只有这样，才能实现数学理论的切实掌握，有助于培养学生的数学思维意识。 三、加强举例教学
采用举例教学可建立数学理论，同时也是培养学生数学思维意识的重要途径。实际上，多数数学知识理论都是经过数学研究者不断地对例子总结、分析所提炼而成。数学课本中的典型例题不仅体现出了数学基本框架，同时也体现了数学思想、方法以及实现路径。除此之外，通过一些典型例题也能帮助学生理解抽象的数学概念和理论。[5]数学习题不单单是学生掌握数学知识、数学理论和数学思想方法的途径，也是培养学生数学思维意识的必经之路。教师引导学生对习题独立处理，能够促使学生掌握相应的数学定理、数学方法、数学技巧等，久而久之便会形成良好的数学思想意识。
但是在实际教学中不难发现，很多学生虽然掌握了抽象的数学概念和定理，但是要举例子却有一定难度，没有掌握举例子的方法和技巧。另外，一些教师在教学过程中，只是对例子本身进行讲解，而忽视了对例子包含的数学理论、思想方法等进行讲解；学生对于例子的理解也只停留在表面，没有深挖；学生自主学习意识不强，通常直接参考别人答案，甚至直接抄袭。对于此类情况，为了培养学生的数学思维意识，教师还应从数学例子方面着手，在选取例子时应具有针对性、层次性[6]，引导学生独立思考完成。比如在教学1、2、3所有排列逆序数教学时，就可通过例子实现对学生数学思维意识的培养。
例：先将1、2、3的相关配列一一列出，可将这些排列页当作自然排列123置换而来。对这些排列的逆序数进行相关计算，根据逆序数的性质分成奇排列和偶排列两组，让学生找出这两组排列之间的关联性，很容易就发现1、2、3的所有奇（偶）排列都是通过某个偶（奇）配列置换而来，进一步形成（相邻）对换理论。另外，由于1、2、3中排列的奇偶分别为3个，接着引导学生对1、2、3......n的所有排列问题进行思考。通过这种举例子的方式不但能让学生对数学概念有更深的理解，同时也有助于学生形成属于自身的数学理论与感觉，进而形成数学思维意识。
四、采用多元化的考核方式
随着素质教育的实施，传统单一的以书面考试作为评价方式已经不适合当前学生发展需要，不利于培养学生的数学思维意识。对此，教师还应采取多元化的考核方式，在考试中渗透数学思维意识，可通过书面考试、课后访谈、大型作业以及小论文分析等形式进行考核。比如在布置数学建模课题时，促使学生撰写的论文以及报告必须獨立完成。在进行课题研究时，应引导学生对资源进行整合、加工和处理，经历“分析问题、建立模型、解决模型问题、检验拓展”的整个过程，以培养学生的创造型思维，从中获得成就感。[7]学生对数学知识、数学思想的灵活运用，分析、概括实际课题的过程，需要学生自身对所学知识进行提取、关联、转换和重组，提升学生的思维能力，同时也有助于培养学生的探索精神、协作精神，最终形成良好的数学思维能力。
五、结语
综上所述，培养学生的数学思维意识对其日后的发展至关重要，教师在教学过程中还应采取有效的教学方式。针对学生所学专业选取合适的教学例子；理论教学是数学知识的源头所在，因此还应加强理论教学，帮助学生了解知识的来龙去脉；加强举例教学能够强化学生的独立自主能力，形成良好的数学思维；最后采用多元化考核方式可促使学生充分思考，在不知不觉中形成数学思维。总之，线性代数教学中蕴含了丰富的培养学生数学思维的知识，还需教师深入挖掘，不断积累教学经验，采用合理的教学方式，促使学生更好地融入社会当中。
参考文献：
[1]任丽丽，欧阳君，胡鹏.MATLAB融入医学院校线性代数教学的应用与思考[J].太原学院学报（自然科学版），2016（3）：28-31.
[2]覃海英.在线性代数教学改革中融入数学建模思想的研究[J].散文百家旬刊，2016（1）：246.
[3]安润秋.搞好线性代数教学培养学生数学能力[J].好家长，2017（48）：95.
[4]杜润梅，郭明浩，孙瑶.把数学模型思想融入到线性代数教学中的思考[J].数学学习与研究，2016（9）：93.
[5]李俊华，陈艳菊.浅谈数学思想在线性代数概念教学中的应用[J].教育教学论坛，2015（10）：181-182.
[6]刘建强.谈线性代数课程中的素质教育——通过与后继课程及实际应用联系的教学实施[J].西部素质教育，2015（17）：36-37.
[7]潘大勇.线性代数教学中的应用意识培养[J].湖北工业职业技术学院学报，2016，29（6）：77-80.
责任编辑：杨国栋